§3 分数与有理数

在中国的分数理论成熟之前，国外分数理论的发展很慢。巴比伦的六十进制分数、古埃及的单位分数都没有形成理论。在古希腊，由于将数和量严格区分，使用数过于小心谨慎，故分数理论的发展是不完善的。丢番图是古希腊正视分数的第一人，然而，丢番图也未能建立系统的分数理论。由于西方经历了漫长的中世纪的黑暗时代，所以古希腊人没能对分数理论做出什么贡献。印度人直到公元8世纪才提出了分数的有关理论，而且他们在诸多方面与中国是十分相似的，这是否继承于中国还有待考证。总的来说，最先建立起现代意义下的分数概念及其运算方法的是中国。

3.1 分数的产生

原始的分数概念来源于连续量的分割。分数的拉丁文是fraction，它源于frangere，是分割、断裂的意思。分数的法文为nombre rompre，意为折断的数。中世纪的俄文和英文则称分数为破碎的数。在汉文中，分数的分割意义则更明显。据郭沫若《甲骨文字的研究·释五十》:“八者别也，分也。”即殷商甲骨文中的“八”字为“分”之意。《说文·八部》称：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”把“分”的意义说得更明确。自殷商至战国出现了许多古汉字的数词如半、参，作为细分所得的更小度量单位。但此时，即使把它们看作分数，在量的度量意义上，它仍然是当作一整体来看待的。至迟在战国末期，分数概念便有了新的发展。如睡虎地秦墓竹简中出现了大量分数：十分之一、三分取一等。其意义已不再是“度量单位的细分”，而是指物之量几等分后，取其多少份，这已与我们今天日常生活中的理解相一致了。

分数概念的数学定义是由自然数的除法运算产生的。《九章算术》方田章合分术称：“实如法而一。不满法者，以法命之。”即被除数除以除数，如果不能除尽，便定义了一个分数。在中算家看来，分数是为了使除法得以普遍施行而引进的新数，除与乘具有互逆关系，正如刘徽所说：“譬犹以三除十，以其余分三分之一，而复其数可举。”《张丘建算经》又称：“上实有余为分子，下法从而为分母，可约者约以命之，不可约者因以名之。通分而母入者，出之则定。”张丘建不仅认为分数产生于整数的除法，是整数的自然发展与扩充，其表示形式为分子在上，分母在下；而且他还认为运算结果应化为分子、分母无公因子的形式，若分子大于分母应将假分数化为带分数。这就提出了最简分数的定义与要求。

3.2 分数的运算

由于中国古代是用算筹为计算工具的，而算筹记数基于“单位”的积累，因而它能直接表示的是自然数。分数只能被还原为一对整数来分别计算。分数作为测量或运算的结果它是一个独立的数，而在运算过程中被看成是“法”与“实”（即分母与分子）一对整数的比率。这样，一方面分数的形式就不拘一格，可以根据需要写成上下结构或左右结构，具有更大的灵活性；另一方面还可以把分数的理论建立在比率理论基础之上，用比率的性质来解释分数算法，表现出理论的严谨性。特别是，可由比率性质立刻推出分数的基本性质，为分数的运算提供了前提。

《九章算术》方田章已给出了分数的四则运算法则，此后刘徽的注又用率的理论阐明了这些运算的原理，这说明分数的运算理论至迟在《九章算术》成书及刘徽作注之时已经完备。南北朝时期《张丘建算经》中不仅给出了许多带分数的乘除问题，而且还给出了许多十分复杂的分数混合运算问题。这又说明至迟在公元四五世纪，中算家对分数的混合运算已经很熟练了。

必须强调，分数的四则运算是人们按照自己的意志而确立的，我们可以随意地规定它们，如可规定，但它将导致，从测量的观点看，是荒谬的。这种形式的规则，虽然在逻辑上是可行的，但将使算术脱离实际。智慧的自由创造，往往为某种客观的需要所指引，进而创造出一种适宜的手段以把握测量。

我们的教科书中，数的扩充方法是添加元素或引入新的符号，以扩充数的范围，使在原有范围内适用的定律在较大范围内依然成立，这是数学中扩充原理的一个特征，与数的交错发展是不同的。自然数扩充为有理数，同时满足理论上和实践上的要求，在理论上它取消了减法和除法的限制，在实践上它用于表示测量的结果。有理数同时满足这两方面的需要，乃是有理数真正的意义。从几何上讲，取定一条规定了正方向的直线，截取从0到1的线段作单位长，并可任意选定，于是正整数和负整数可以用数轴上的一组等间距的点来表示，正整数位于点的右方，负整数位于点的左方，为了表示分母为n的分数，我们将每个单位长的线段划分为n个相等部分；于是用分点表示分母为n的分数，如果对于每个整数n，我们都这样做了，那么所有的有理数便可用数轴上的点来表示，我们称这些点为有理点，并且术语“有理数”与“有理点”将互相通用。于是，自然数的大小关系在数轴上便有了模拟表示。并易于发现下列事实：有理数在直线上是稠密的，即无论多么小的区间中总存在有理点。