第3章 荷马大定理

荷马·辛普森乐于发掘他的发明才能。例如，在“波基母亲”（2001）中，他创造出了“荷马博士的神奇脊柱圆桶”，也就是一个破旧的垃圾桶，上面的随机凹痕“可以完美地匹配人类脊柱的轮廓”。他声称，他的发明可以治疗背痛，尽管没有任何证据支持他的说法。春田的脊椎按摩师担心荷马抢走他们的病人，因此威胁说要毁掉荷马的发明。这样一来，他们就可以再次垄断背部疾病市场，快乐地宣传他们的错误治疗方法。

在“常青平台的巫师”（1998）中，荷马对发明的探索达到了高峰。这一集的标题效仿了一位新闻记者为托马斯·爱迪生（Thomas Edison）起的绰号“门罗公园的巫师”，因为爱迪生的实验室坐落于门罗公园。爱迪生在1931年去世时，他已经成了一个发明传奇，拥有1,093项美国专利。

在这一集里，荷马下决心追随爱迪生的脚步。他制造了各种物件，从每三秒响一次、以便告诉你一切正常的闹钟，到将化妆品直接喷射到脸上的霰弹枪。在他创造欲高涨的研究和开发阶段，我们看到了这样一幕：荷马站在黑板前，迅速写下了一些数学公式。这应该不是一件令人吃惊的事情，因为许多业余发明家也是优秀的数学家，许多数学家也从事过发明。

以《辛普森一家》的“荷马最后的尝试”（1993）一集中偶然提到的艾萨克·牛顿爵士（Sir Isaac Newton）为例。牛顿不仅是现代数学的先驱之一，也是一位业余发明家。一些人认为，是他设计了第一个简单的无板猫洞——也就是门板底部的一个洞，供他的猫随意进出。奇怪的是，他还为幼猫量身定做了一个小洞！牛顿真的有可能这样古怪而心不在焉吗？这个故事的真实性存在争议。不过，J. M. F．赖特（J. M. F. Wright）在1827年说过：“不管这种说法是否正确，一个无可争辩的事实是，那扇门上目前的确有两个被堵住的洞，它们的大小分别适合猫和幼猫进出。”

在“常青平台的巫师”中，荷马在黑板上写下的数学内容是由戴维·S．科恩添加到脚本中的。科恩是20世纪90年代中期加入《辛普森一家》，新一代具有数学头脑的编剧之一。同阿尔·让和迈克·瑞斯一样，科恩也在小时候表现出了真正的数学天赋。在家里，他经常阅读父亲的《科学美国人》，研究马丁·加德纳每月专栏中的数学谜题。此外，当他在新泽西州恩格尔伍德市德怀特莫罗高中读书时，他还是数学小组的队长之一，这个小组在1984年赢得了州冠军。

他与高中的朋友戴维·希米诺维奇（David Schiminovich）和戴维·鲍敦（David Borden）组成了一个名为“故障大师”的青少年计算机程序员团队，共同创造出了他们自己的计算机语言FLEET，用于在Apple II Plus上开发高速的图形和游戏应用。与此同时，科恩保持了对喜剧写作和漫画书的兴趣。他精确地指出，他的职业生涯始于他在高中时画的连环画，他把这些画以一便士的价格卖给了姐姐。

在哈佛大学学习物理时，他仍然保持着对于写作的兴趣，并且加入了《哈佛妙文》。最终，他成了该杂志社的社长。和阿尔·让一样，随着时间的推移，科恩对喜剧和写作的喜爱胜过了他对数学和物理的喜爱。他放弃了学术生涯，成为《辛普森一家》的编剧。不过，科恩并没有忘记他的出身，他常常在动画片中夹带数学内容。荷马在黑板上写下的符号和图示就是一个很好的例子。

在这个例子中，除了数学，科恩还想加入一些科学公式，因此他联系了高中时的朋友戴维·希米诺维奇。希米诺维奇没有离开学术道路，成了哥伦比亚大学的天文学家。

黑板上的第一个等式主要是希米诺维奇的成果，它预测了希格斯玻色子的质量M(H0)。希格斯玻色子是人类1964年首次提出的一个基本粒子。这个等式幽默地将各种基本参数结合在了一起，包括普朗克常数、重力常数和光速。如果你查找这些数值，将其代入等式中，你就可以得到775GeV（千兆电子伏）的预测值，它比人类2012年发现希格斯玻色子时得到的125GeV的估计值大得多。不过，775GeV并不是一个糟糕的预测。不要忘了，荷马只是一个业余发明家；而且，在他进行这项计算的14年以后，欧洲核子研究组织的物理学家才发现了这个神出鬼没的粒子。

第二个等式……让我们暂时将其放到一边。它是黑板上最有趣的数学内容，因此暂时的等待是值得的。

第三个式子涉及宇宙的密度，它对宇宙的命运具有重大影响。如果Ω(t0)大于1，就像荷马一开始在黑板上写的那样，这意味着宇宙最终将会在自身重量的压力下内爆。为了在本地层面反映这个宇宙结果，在观众看到这个式子后不久，荷马的地下室里似乎发生了一次小型内爆。

接着，荷马改变了不等号，将Ω(t0)＞1改成了Ω(t0)＜1。从宏观上说，新的式子表示一个永远膨胀下去的宇宙，会导致与永恒的宇宙爆炸类似的现象。故事情节对这个新的式子做出了反应，因为当荷马将不等号颠倒过来的时候，地下室里立即发生了一次大型爆炸。

黑板上的第四行是由四幅图组成的图示，表示一个甜甜圈转变成球体的过程。这一行涉及拓扑学这一数学分支。为了理解这些图示，我们需要知道，根据拓扑规则，正方形和圆是一样的。它们被视作同胚图形，即拓扑等价图形，因为画在橡皮上的正方形可以通过仔细的拉伸转变成圆形。实际上，拓扑学有时被称为“橡皮几何学”。拓扑学家不关心角度和长度，因为它们显然会随着橡皮的拉伸而变化。拓扑学家关心的是更为基本的性质。例如，从基本性质来看，字母A是带有两只脚的圆环。字母R也是带有两只脚的圆环。所以，字母A和R同胚，因为画在橡皮上的A可以通过仔细的拉伸转变成R。

不过，任何拉伸都无法将字母A转变成字母H，因为两个字母之间存在根本的区别：A由一个圆环和两只脚组成，H则没有圆环。要想把A转变成H，你只能在A的顶端将橡皮切开，将圆环破坏。不过，拓扑学是不允许切割的。

橡皮几何的原则可以拓展到三维，这引出了一个笑话：拓扑学家无法分辨甜甜圈和咖啡杯的区别。换句话说，咖啡杯只有一个由把手形成的洞，甜甜圈也只有中间的一个洞。因此，由橡皮泥制作的咖啡杯可以通过拉伸和扭转变成甜甜圈的形状。所以，它们是同胚的。

不过，甜甜圈无法转变成球体，因为球体没有洞，任何拉伸、挤压和扭转都无法将甜甜圈固有的洞消除。实际上，甜甜圈和球体在拓扑学上是不同的，这是一个得到证明的数学定理。不过，荷马黑板上的图示似乎实现了不可能的事情，因为这些图示显示了甜甜圈成功转变成球体的过程。这是怎么回事？原来，虽然拓扑学禁止切割，但荷马认为啃和咬是可以接受的。毕竟，最初的物体是甜甜圈，谁能抵挡住大快朵颐的诱惑呢？经过足够多次的啃咬加工，甜甜圈变成了香蕉的形状。接着，通过标准的拉伸、挤压和扭转，你可以把它变成球形。如果主流拓扑学家看到他们珍视的定理之一以这种方式被推翻，他们可能不会感到激动。不过，根据荷马的个人拓扑规则，甜甜圈和球体是等价的。也许，正确的术语不是同胚（homeomorphic），而是“同荷马”（Homermorphic）。

荷马黑板上的第二行也许是最有趣的一行，因为它包含下面的等式：

3,98712+4,36512=4,47212

 

乍一看，这个等式平淡无奇。不过，如果你对数学史有所了解，你可能会愤怒地折断你的计算尺。荷马似乎得到了不可能得到的结果，他似乎发现了神秘而著名的费马大定理的一个解！

在大约1637年，皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）首次提出了这个定理。虽然费马是一位只在空闲时间解题的业余数学爱好者，但他却是历史上最伟大的数学家之一。他在法国南部的家中独自研究数学问题。他唯一的数学伴侣是生活在亚历山大的丢番图在公元3世纪写下的《算术》一书。在阅读这本古希腊著作时，费马在一个章节中发现了下面的方程：

x2+y2=z2

 

这个方程与毕达哥拉斯定理关系密切，但丢番图对三角形及其边长不感兴趣。相反，他邀请读者寻找这个方程的整数解。费马对于寻找这种解所需要的技巧已经非常熟悉了。他知道，这个方程有无数个解。这些所谓的毕达哥拉斯三元组的解包括：

32+42=52

52+122=132

1332+1562=2052

 

费马对丢番图的问题感到厌倦，因此他决定对这个问题做出改动。他希望找到方程

x3+y3=z3

 

的整数解。

费马绞尽脑汁，但他只能找到包含零的平凡解，比如03+73=73。当他试图找到更有意义的解时，他所得到的最好的等式差了一个1，比如63+83=93-1。

此外，当费马进一步提高x、y和z的幂次时，他的求解努力一次又一次地碰壁。他开始觉得下列方程没有整数解：

x3+y3=z3

x4+y4=z4

x5+y5=z5

·

·

·

xn+yn=zn，其中n＞2

 

最终，他取得了突破。他没有找到适合上述某个方程的任何一组数字，但他证明了这样的解是不存在的。他在丢番图《算术》一书的页边用拉丁文写了两个很吊人胃口的句子。他首先指出，上面无数个方程中的任何一个都没有整数解。接着，他自信地加上了第二句话：“Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.”（我发现了一个非常神奇的证明方法，但是这里的页边太窄，写不下了。）

皮埃尔·德·费马发现了一个证明方法，但他不屑于将其写下来。这也许是数学史上最令人沮丧的注释了。而且，费马还把他的秘密带进了坟墓。

费马的儿子克莱芒·萨米埃尔（Clément-Samuel）后来发现了父亲的《算术》一书，并且注意到了这个令人感兴趣的页边注释。他还发现了许多类似的页边注释，因为费马习惯于声称自己可以证明某个值得注意的结论，但他很少写下证明过程。克莱芒·萨米埃尔决定将这些注释保留下来，他在1670年出版了《算术》的新版本，其中包含了他的父亲在原始文本上写下的所有页边注释。从此，数学界开始寻找书中缺失的所有证明过程。人们一个接一个地证明了费马当初的说法。不过，没有人能够证明方程xn+yn=zn（n＞2）无解。于是，这个方程被称为费马最后的定理，即费马大定理，因为它是费马唯一未被证明的说法。随着时间的推移，人们一直无法证明费马大定理，因此这个定理变得更加有名，人们证明它的愿望也变得更加强烈。实际上，到了19世纪末，这个问题已经引起了数学界以外许多人的兴趣。例如，德国实业家保罗·沃尔夫斯凯尔（Paul Wolfskehl）1908年去世时，他捐出了10万马克（相当于今天的100万美元），用于奖励费马大定理的证明者。根据一些人的说法，沃尔夫斯凯尔厌恶他的妻子和其他家庭成员，因此他想用遗嘱来冷落他们并奖励数学家，因为他一直非常喜爱数学。其他一些人认为，沃尔夫斯凯尔希望通过这个奖项来感谢费马，因为据传当他徘徊在自杀边缘时，他对这个问题的兴趣使他获得了活下去的理由。

不管动机为何，沃尔夫斯凯尔奖使费马大定理获得了公众的关注。到了最后，它甚至成了流行文化的一部分。在亚瑟·波格斯（Arthur Porges）1954年的短篇小说《魔鬼和西蒙·弗拉格》中，英雄弗拉格与魔鬼订立了一个浮士德式的约定。要想拯救自己的灵魂，弗拉格唯一的希望就是提出一个令魔鬼无法回答的问题。因此，他请对方证明费马大定理。魔鬼在认输后说道：“你知道吗？就连远远领先于地球的其他星球上最优秀的数学家都无法解决这个问题。土星上有个小伙子，他似乎是少有的天才。他可以通过口算得到偏微分方程的解。不过，就连他也放弃了对费马大定理的证明。”

费马大定理同样出现在了小说（斯蒂格·拉尔森的《玩火的女孩》）、电影（布兰登·弗雷泽和伊丽莎白·赫利的《神鬼愿望》）和戏剧（汤姆·斯托帕德的《阿卡迪亚》）中。关于这个定理最有名的桥段也许出现在1989年《星际迷航：下一代》的“皇室血统”一集中。当时，让-卢克·皮卡德上校（Captain Jean-Luc Picard）在剧中将费马大定理称为“我们也许永远无法解决的问题”。不过，事实证明，皮卡德上校的说法是错误的，因为这一集的情节设置在24世纪，但普林斯顿大学的安德鲁·威尔斯（Andrew Wiles）已经在1995年证明了费马大定理。

威尔斯从十岁时起就梦想着解决费马留下来的问题。他对这个问题痴迷了30年。到最后，他在完全保密的情况下研究了7年时间。最终，他证明了方程xn+yn=zn（n＞2）无解。他所发表的证明过程长达130页，上面写满了数学公式。这件事的有趣之处在于，一方面，它说明威尔斯的成果具有庞大的规模；另一方面，威尔斯的逻辑链条过于复杂，不可能在17世纪被人发现。实际上，威尔斯使用了许多现代工具和技巧，因此他对费马大定理的证明过程不可能是费马头脑中的那个证明过程。

英国广播公司2010年的电视剧《神秘博士》提到了这一点。在“危急时刻”一集中，演员马特·史密斯（Matt Smith）作为重生的第十一任博士首次亮相，他必须向一群天才证明他的身份，以便说服他们接受他的建议，拯救世界。当他们即将拒绝他时，博士说道：“在你们拒绝我之前，看看这个。费马定理的证明方法。我是说真正的证明方法。人们从未见过它。”换句话说，博士默认了威尔斯的证明方法，但他觉得那不是费马“真正的”证明方法。这种观点是有道理的。也许，博士回到了17世纪，直接从费马那里拿到了证明方法。

现在让我们来总结一下。在17世纪，皮埃尔·德·费马声称，他可以证明方程xn+yn=z（n n＞2）没有整数解。1995年，安德鲁·威尔斯发现了一种新的证明方法，验证了费马的结论。2010年，神秘博士揭示了费马最初的证明方法。每个人都相信，这个方程是无解的。

因此，在“常青平台的巫师”中，荷马似乎否定了近四个世纪以来世界上最伟大的头脑得出的结论。费马、威尔斯甚至神秘博士都认为费马的方程是无解的，但荷马却在黑板上给出了一个解：

3,98712+4,36512=4,47212

 

你可以用计算器亲自进行检验。计算3,987的12次方，将其与4,365的12次方相加，然后计算结果的12次方根，你就得到了4,472。

至少，这是你在任何只能显示十个数位的计算器上得到的结果。不过，如果你拥有更精确的计算器，如果它能够显示十几个数位，你就会得到不同的答案。实际上，如果将第三项计算得更加准确，这个等式应该近似写成：

3,98712+4,36512=4,472.000000007057617187512

 

这究竟是怎么回事呢？实际上，荷马的等式是费马方程的近似解，这意味着3,987、4,365和4,472几乎可以使方程成立——等号左右两边的差异几乎可以忽略。不过，在数学上，一个方程要么有解，要么没有解。近似解实际上并不是解，这意味着费马大定理仍然成立。

戴维·S．科恩和观众开了一个数学玩笑。如果观众的反应足够快，并且拥有足够的知识，他们就可以发现这个等式，并且意识到它与费马大定理之间的联系。当这一集在1998年播出时，威尔斯的证明方法已经发表了三年，因此科恩非常清楚费马大定理已被攻克的事实。他本人与这个证明之间还存在一定的联系，因为他在加州大学伯克利分校读研期间听过肯·里贝特（Ken Ribet）的讲座，而里贝特为威尔斯对费马大定理的证明提供了一个重要工具。

科恩显然知道费马的方程无解，但他希望找到一个非常近似的解，这个解在仅仅使用简单的计算器进行检验时似乎可以使方程式成立。他想用这种方式向皮埃尔·德·费马和安德鲁·威尔斯致敬。为了找到这个近似解，他写了一个计算机程序，以便对x、y、z和n的值进行扫描，找到可以使方程式近似成立的数值。最终，科恩选择了3,98712+4,36512=4,47212这个解，因为它的误差范围很小——等式左边只比右边大0.000000002%。

这一集播出以后，科恩立即查看了网上留言板，看看是否有人注意到了他的恶作剧。他最终发现了这样一条帖子：“我知道这违反了费马大定理，但我用计算器进行了检验，发现它是成立的。这到底是怎么回事？”

意识到全世界的青年数学家有可能对他的数学悖论产生兴趣，他感到很愉快：“我很高兴，因为我的目标是获得足够的精度，使人们无法通过计算器发现这个等式的错误。”

科恩对于他在“常青平台的巫师”中设计的板书内容非常自豪。实际上，他在许多年里引入《辛普森一家》的所有趣味数学内容使他获得了极大的满足感：“我对此感到很高兴。当你在电视领域工作时，你在瓦解社会既有价值观，因此你很难对自己的工作感到满意。所以，当我们有机会提升节目的层次时——尤其是有机会赞美数学时——这些工作抵销了我编写那些三句不离屎尿屁的笑话时产生的罪恶感。”