3.2 存在“谈判破裂风险”的讨价还价过程

两人轮流出价的讨价还价过程并不总是以某一方接受对方的要求而告结束，在不少场合会存在一个外生的因素使得谈判以正概率终止，也就是说，谈判存在破裂的风险。譬如，两人讨论的问题是分享一块冰淇淋蛋糕，冰淇淋的迅速融化促使某个局中人下决心终止讨价还价，同意对方获得一份符合“心理底线”的蛋糕，而自己的所得小于原先指望的理想值。这种使谈判破裂的“外生因素”可能发生在谈判中的每一方。例如，一个专门人才与老板之间关于工资的讨价还价，双方都存在让谈判破裂的机会，老板如果发现有可能出现其他类似的人才并且那个人愿意接受稍微低一些的工资，那么老板会终止与面前的这个专门人才之间的谈判，那个专门人才也可能由于其他可以尝试并且有希望获得更高待遇机会的出现而终止与老板之间的谈判。当然也可能出现其他使谈判破裂的可能。

现在，我们对上述类似的情况试图建立模型，我们假定，这里的讨价还价的延迟成本不再是盈利的贴现因子，而是由外生的正概率所导出，于是在每一轮出价之后，如果仍然没有接受报价，这个讨价还价过程将以这个正概率终止在某个状态，这个状态显然不是讨价还价之后双方达成的结局，它是一个双方意见不一致从而无法达成协议的“点”。

设（F, v）为一个正则的两人讨价还价问题，假设p1, p2∈（0,1），局中人1在奇数时刻报价，在每个奇数时刻，局中人1的报价可以被局中人2接受，此时博弈结束；如果局中人2拒绝局中人1的报价，那么讨价还价将以概率p1结束于一个双方无法达成一致协议的状态：其中局中人2得到盈利v2，局中人1得到的盈利w1满足条件w1≤m1（F）（即，w1不超过局中人1的理想值）；当然还有1-p1的可能将轮到局中人2在下一轮（偶数时刻）报价，对于这个报价，局中人1有两种选择：要么接受（此时博弈结束），要么拒绝。一旦局中人1拒绝，讨价还价将以概率p2结束于一个双方无法达成一致协议的状态，其中局中人1得到盈利v1，而局中人2得到的盈利w2满足条件w2≤m2（F）（局中人2得到的盈利不超过自己在博弈中的理想值）。当然存在1-p2的概率使得局中人1可以在下一轮（奇数时刻）报价。

由于我们无法确定讨价还价到何时停止，因此这可以认为是一个“无限”的过程，我们的目的是寻求这个无限博弈的子博弈完美均衡。同第一节的情况一样，可以认定从奇数时刻开始的所有子博弈（这类子博弈总是由局中人1首先报价）与原来的博弈有着相同的子博弈完美均衡集合，因为它们有着完全相同的结构。同样地，从任何一个偶数时刻开始的子博弈（这类子博弈总是由局中人2首先报价），它们都有着相同的子博弈完美均衡集合。下面，我们分析在子博弈完美均衡中，双方的报价需要满足什么样的条件：

借用第一节的记号，G1（类型）表示局中人1首先报价的一类子博弈，令Q1表示局中人1在G1（类型）的所有子博弈完美均衡中所可能得到的期望盈利集合的上确界，q1表示局中人1在G1（类型）的所有子博弈完美均衡中所可能得到的期望盈利集合的下确界；G2（类型）表示局中人2首先报价的一类子博弈，令Q2和q2分别表示局中人2在G2（类型）的所有子博弈完美均衡中所可能得到的期望盈利集合的上确界和下确界。

现在考虑在G1（类型）的任何一个子博弈完美均衡中，在奇数时刻，对于局中人1的报价，只要给予局中人2的盈利不小于（1-p1）Q2+p1v2，局中人2总是能够接受，因为如果他不接受的话，他在该时刻分到v2的可能性为p1，还有1-p1的可能性使得他可以在下一时刻报价，让他在那个时刻得到使自己满意的盈利，当然根据假设，这个盈利不会超过Q2。这样，他在拒绝局中人1的报价之后最多得到的可能期望盈利为（1-p1）Q2+p1v2。假如以h1（x2, F）表示当局中人2得到x2时，局中人1在F中能得到的最大盈利（注意：我们这里考虑局中人未必是风险中性的，因此效用函数未必是线性的），那么局中人1在G1（类型）的任何一个子博弈完美均衡中的所得不应当比h1（（1-p1）Q2+p1v2, F）来得差。这说明，局中人1在G1（类型）的所有子博弈完美均衡中所可能得到的期望盈利至少有个下界，即

下面，我们将证明（3.13）中的不等号其实只可能成立等号。由于Q2是上确界，因此对于任意一个ε＞0，在G2（类型）的子博弈中，存在一个子博弈完美均衡使得局中人2的预期所得盈利至少在Q2-ε以上，于是局中人2在该时刻之前的G1（类型）的子博弈完美均衡中可以确保自己至少获得盈利（1-p1）（Q2-ε）+p1v2，相应地，局中人1的预期所得盈利不会超过h1（（1-p1）（Q2-ε）+p1v2,F）。这是因为，F是凸的闭集，由于wi≤mi（F）（i=1,2），因此可行配置集必定位于凸闭集F的边界的下方，而局中人1关于局中人2的预期所得的最优预期点（（1-p1）（Q2-ε）+p1v2,h1（（1-p1）（Q2-ε）+p1v2,F））位于F的边界上。显然，当局中人2的预期所得盈利大于（1-p1）（Q2-ε）+p1v2时，局中人1的预期所得盈利应当小于h1（（1-p1）（Q2-ε）+p1v2,F）。（对于数学比较困难的读者可以参看第2章的图2.11，就不难在直观上明白其中的道理。）出于正数ε的任意性，再结合式（3.13），我们得到，当局中人1首先报价时，他在G1（类型）的所有子博弈完美均衡中所可能得到的期望盈利集合的下确界q1为

现在，转到由局中人2首先报价（偶数时刻）的G2（类型）子博弈，对于局中人2的报价，只要分配给局中人1的盈利不小于（1-p2）Q1+p2v1，局中人1总是表示接受，其理由与G1（类型）时的讨论完全一样。于是，完全类似的论证可以得到

其中h2的含义与h1类似。

迄今为止，我们已经给出了q1和q2的表达式，现在我们需要关心Q1和Q2的表达式。再从G1（类型）开始，局中人1报价，如果分给局中人2的盈利小于（1-p1）q2+p1v2，那么局中人2绝对不会接受，道理很简单：只要局中人2拒绝，他立即得到v2的概率为p1，还有概率为1-p1的可能性可以容许他在下一时刻自己报价，至少他可以为自己争取到盈利q2，也就是说，（1-p1）q2+p1v2是局中人2通过拒绝局中人1的报价而在子博弈完美均衡中预期得到的最小的期望盈利。当分给局中人2的盈利恰好等于（1-p1）q2+p1v2时，局中人1自己最多只能得到h1（（1-p1）q2+p1v2, F）（根据h1的定义），如果分给局中人2的盈利更多，显然局中人1自己所得到的越少（回忆图2.11就可以知道这一点），在G1（类型）子博弈的完美均衡中，局中人1当然想让局中人2接受自己的报价，因此，在子博弈完美均衡中，局中人1得到的盈利不可能比h1（（1-p1）q2+p1v2, F）更多，这表明，Q1至少不会比h1（（1-p1）q2+p1v2, F）大。即，

与讨论q1的情况一样，我们将证明式（3.16）只可能成立等号。对于任意的正数ε，由于q2是下确界，所以，在G2（类型）的子博弈中，存在一个子博弈完美均衡，使得局中人2的预期盈利小于q2+ε，因此局中人2在前面一个（奇数）时刻会接受给予他（1-p1）（q2+ε）+p1v2的任何报价，而在这个均衡中局中人1得到的盈利为h1（（1-p1）（q2+ε）+p1v2, F），同样由ε的任意性（令ε→0）再加上式（3.16），我们得到

又，在G2（类型）的子博弈中，由局中人2首先报价，局中人1绝不会接受分给他的盈利小于（1-p2）q1+p2v1的报价，于是类似的讨论使我们得到

式（3.15）—式（3.18）给出了q1, q2, Q1和Q2的表达式，在正则的两人讨价还价问题中，这些上、下确界在有界闭集F上可以达到，式（3.15）告诉我们，对应局中人1的q1时局中人2分到的盈利（不妨记为x2）应该为

显然，分配方案（q1, x2）位于F的有效前沿，即F的边界（参看图2.11不难明白）。类似地，与q2相对应的局中人1分得的盈利（不妨记为y1）为

与Q1相对应的局中人2分得的盈利（不妨记为）为

与Q2相对应的局中人1分得的盈利（不妨记为）为

同样，都位于F的有效前沿。考虑G1（类型）子博弈，它的子博弈完美均衡至少应该位于F的有效前沿的（q1, x2）与这两个点之间的部位，因此，局中人1的报价中分给局中人2的盈利应该在x2与之间才会使局中人2有可能接受。如果假设局中人1的均衡报价为，在G2（类型）中局中人2的均衡报价为，于是

倘若局中人2拒绝并且出现进入到下一时刻的可能，局中人2的均衡报价为自己留下的份额为y-2，发生这件事的概率为（1-p1），所以，事实上局中人2因拒绝局中人1的报价而得到的期望盈利应为。所以，为了确保自己的利益最大化并且让局中人2愿意接受，局中人1分给局中人2的盈利应该等于

同理，考虑由局中人2首先报价的子博弈，那么可以得到

由于和是假设的，需要解决两个问题：（1）是否存在符合条件（3.24）和（3.25）的和?（2）这样的和是否满足个人理性和有效性，并且是否唯一？

首先，和的存在性应该不成任何问题，譬如，在由局中人1首先报价的子博弈中，，而，它们位于F的有效前沿上，因此是个人理性的和有效的。此时，由式（3.20）和式（3.21），我们有

显然和符合条件（3.24）和（3.25）。

其次，在由局中人2首先报价的子博弈中，和。利用式（3.19）和式（3.22），不难验证它们也符合条件（3.24）和（3.25），读者可自行验证之。

可见，符合条件（3.24）和（3.25）的、个人理性的和有效的配置和是存在的。并且我们得到了两对这样的向量。现在，我们试图证明符合条件（3.24）和（3.25）的和是唯一的。为了解决这个问题，将条件（3.24）和（3.25）转换成如下形式：

显然，这两个公式的右边都为非负，反映了一个最基本的事实：要求每个局中人只要“先动”——首先报价，他分配给自己的份额一定不会少于下一时刻对方分给他的份额！这就是所谓的“先动优势”。不妨考虑G1（类型）的子博弈，由于局中人1首先报价，他总是希望分配给自己的份额越多越好，设想他试图把从v1向自己的理想值m1（F, v）方向增加，毫无疑问，此时必定从m2（F, v）向v2方向减少，于是，式（3.27）的右边单调向0递减，即单调向0递减。然而，当从v1向m1（F, v）方向增加时，式（3.26）的右边单调增加，即单调增加。注意到在这种增加的过程中，点和是沿着F的有效前沿移动的，如果这样的移动合理，则说明和可能不是唯一的，因此，我们必须论证这样的移动在逻辑上是行不通的。这一点只要注意到当增加且跟着单调增加时，由于点和是沿着凸集F的有效前沿移动的，因此事实上必定也在单调增加，这与前面所说的事实矛盾！所以，不允许自行增加。这足以说明是唯一的，同时也可以说明也是唯一的。既然和是唯一的，我们在前面得到的两对和应该只是一对，唯有Q1 =q1和Q2 =q2时方能成立这件事实。不妨令和，于是得到

上面所述的内容，是从子博弈完美均衡的要求出发，指出了子博弈完美均衡所需要满足的条件，从而我们构造了个人理性的和有效的和（同时是唯一的），现在我们需要验证以式（3.28）作为两个局中人的报价的有关策略构成了博弈的子博弈完美均衡，为此，我们不妨用定理的形式来叙述这个策略以及相应的结论：

定理3.2存在谈判破裂风险的两人轮流报价的讨价还价问题中（假定w1=v1,w2=v2，此时我们称（v1,v2）为破裂点），具有唯一的子博弈完美均衡，其中局中人1总是以配置报价，局中人2总是以配置报价。局中人1将接受任何至少分给自己的报价，而局中人2将接受任何至少分给自己的报价。因此，这个博弈在第一时刻就以达成协议（假定局中人1首先报价）而结束。和本身是F中的（强）有效配置，满足如下条件：

我们仅需要证明这样的策略剖面是子博弈完美均衡（在这个子博弈完美均衡中，如果由局中人1首先报价，那么他一定能得到期望盈利，而如果是由局中人2首先报价，那么他一定能得到期望盈利）。在从第二个时刻开始的子博弈的均衡中，局中人2预期得到。如果局中人1在前面时刻偏离上述策略剖面，可能的偏离有两种情况：一种偏离是他的报价分配给局中人2的份额高于，毫无疑问，局中人2会接受，但是这样的偏离使局中人1得不到而蒙受损失；另一种偏离是他的报价分配给局中人2的份额低于，这样会遭到局中人2的拒绝，于是局中人1的期望盈利应为，由于我们假定了w1=v1，因此，这个期望盈利不会比好，可见局中人1不愿意偏离，根据一步偏离准则，这个策略剖面是子博弈完美均衡。

这里，我们对w1和w2作了一些限制，我们认为，适当的限制是必要的，否则，过高的w显然会影响到讨价还价的最后结果。

博弈中另外一个影响谈判结果的参数是破裂概率p1和p2，这些概率是在报价遭到拒绝后的局中人终止谈判而使讨价还价立即导致一个最终结果的可能性，因此有人称它反映了局中人关于谈判的一种“承诺力”或者“许诺力”（power of commitment）。这两个概率之比将直接关系到讨价还价达成的协议中有关分配的相对份额。一般地，我们总是假设p1和p2比较小，这个假设是有实际意义的，因为我们毕竟是在研究两人（无限期）的轮流出价的讨价还价问题，因此总是假设谈判破裂的可能性虽然存在，但是不会很大。在这个基础上，可以假定存在正数α, β以及相当小的ε＞0，使得

1 -p1=（1 -ε）α≈ εα

1 -p2=（1 -ε）β≈ εβ

于是，根据条件（3.29），不难得到

式（3.30）与式（3.31）的右边是相同的，这意味着

这里，破裂点相当于无法达成意见一致的点，而和是两个局中人分别提出的符合个人理性的和有效的报价方案，它们当然位于F的有效前沿上。式（3.32）表示，和又位于广义纳什积的等值线上。所以和其实是F的有效前沿与广义纳什积（x1-v1）α（x2-v2）β的一个等值线的两个交点。因此以α和β作为参数的广义纳什讨价还价解一定位于与之间的F的有效前沿上（因为将等值线的值提高直到等值线与F的有效前沿只有一个交点，这个交点就是广义纳什讨价还价解，所以这个点在与之间的F的有效前沿上）。固定α和β不变，令ε→0，那么p1→0,p2→0，引起（由式（3.26））和（由式（3.27））。于是，这个轮流出价讨价还价问题唯一的子博弈完美均衡的结果收敛于使广义纳什积（x1-v1）α（x2-v2）β达到最大的纳什讨价还价解，显然，我们有

上述叙述实际上揭示了轮流出价讨价还价问题与广义纳什讨价还价解之间的关系。

按照上述叙述，不妨从局中人1首先报价考虑问题，如果他的报价遭到拒绝，尽管p1与p2相当小，只要p1相对地比p2大，那么收敛于广义纳什讨价还价解的子博弈完美均衡的结果将对他有利，反过来，倘若他拒绝对方的报价，那么，那个时候的谈判破裂概率p2只要相对远远小于p1，其结果显然对他有利。事实上，根据唯一的子博弈完美均衡的描述，即使p1相对地比p2大，一旦局中人1的报价被局中人2拒绝，假如谈判破裂，局中人1只能得到v1，假如他等待局中人2的报价并接受局中人2提供给他的，这个量肯定要比v1好。由此可见，相对大的p1并不意味着鼓励局中人1终止谈判。然而，设法让对手了解如果拒绝自己的报价，谈判破裂的可能性将很大，由此产生的后果将对他不利，从而敦促对手接受自己的报价，这无疑是个好策略。

由于我们讨论的是“无限期”的轮流报价的讨价还价问题，因此完全不考虑贴现因子有些欠妥。下面我们将稍微关心一下具有破裂风险且带有贴现因子的两人轮流报价的讨价还价问题。也就是说，在本节的符号基础上，还需要增添上一节的贴现因子符号。令δ1和δ2分别表示局中人1与2延迟一个时刻关于效用的贴现因子。有如下结论：

定理3.3存在谈判破裂风险的并且带有贴现因子（δ1,δ2）的两人轮流报价的讨价还价问题中（假定w1=v1,w2=v2，此时我们称（v1,v2）为破裂点），具有唯一的子博弈完美均衡，其中局中人1总是以配置报价，局中人2总是以配置报价。局中人1将接受任何至少分给自己的报价，而局中人2将接受任何至少分给自己的报价。因此，这个博弈在第一时刻就以达成协议（假定局中人1首先报价）而结束。和本身是F中的（强）有效配置，满足如下条件：

定理3.3的证明几乎是定理3.2证明的翻版，不同的地方仅仅在于，一旦某个局中人（譬如局中人1）的报价遭到拒绝，那么拒绝他报价的局中人2要么在这一时刻以概率p1获得v2，要么以概率（1-p1）在下一时刻得到为自己提出的，不过要考虑贴现因子δ2，所以局中人2做出拒绝的决策之后所指望得到的期望盈利为。要使局中人2接受自己的报价，局中人1在报价中分给局中人2的部分自然不能少于，假如将y-2考虑为在子博弈完美均衡中局中人2所获盈利的上（下）确界，那么可以得到类似（3.13）、（3.16）这样的关于局中人1的均衡盈利的不等式，在其余的讨论中，只要遇到下一时刻，都要考虑到贴现因子，基本步骤与定理3.2证明中的一样，具体的证明就不再在这里重复。读者可以完全仿照定理3.2的证明补全定理3.3的证明，顺便更进一步地理解这些定理的奥妙之处。