2.8 其他讨价还价解

2.8.1 卡莱 斯莫罗迪斯基解

纳什讨价还价解是根据纳什提出的公理体系而得出的唯一解，公理能获得许多人的认可，但是未必能使所有人完全信服，对公理本身可能会存在争议。譬如，纳什公理体系中的无关选择独立性就受到了卡莱和斯莫罗迪斯基（Kalai and Smorodinsky,1975）的批评。他们提出，对于两个两人讨价还价问题（F, v）和（G, v）（其中G⊆F），如果一个局中人（假如是局中人1）在（F, v）和（G, v）中的个人理性盈利范围完全相同，并且对于局中人1的任何一个可行的个人理性盈利，另一个局中人（即，局中人2）在（F, v）可能得到的最高盈利不会小于他在（G, v）中所能得到的最高盈利，那么局中人2在（F, v）中讨价还价的结果就不应该比他在（G, v）中的讨价还价结果差。卡莱和斯莫罗迪斯基称这个性质为“单调性”。它的合理性是无可置疑的。但是，由于纳什公理体系中没有“单调性”，所以，纳什讨价还价解有可能会违背“单调性”。下面的一个例子证实了这个问题。

例2.8 纳什讨价还价解的非单调性

图2.10中，线段Av, BE与CD都垂直于水平轴。F为vACD构成的凸闭域，G为由vABD构成的凸闭域，显然F⊇G。它们各自的“意见不一致点”都是v。不难看出，（F, v）的纳什讨价还价解是C，而（G, v）的纳什讨价还价解是B。这两个讨价还价问题的区别在于，当局中人1得到E与D之间的值时，（G, v）中的局中人2可能得到的值必定位于线段BD的下方，而（F, v）中的局中人2可能得到的值显然应该位于线段BD的上方。至于如果局中人1得到的是vE之间的值，无论是在（G, v）或者是在（F, v）中，局中人2尽可能达到的最大值是一样的。因此，当局中人1的取值位于v与D之间时，（F, v）中的局中人2比（G, v）中的局中人2，其所得应该只有大于和等于的可能，而没有小于的可能（这就是所谓的“单调”性质）。根据卡莱和斯莫罗迪斯基的观点（其实也是人们的直观感觉），对于局中人2来讲，（F, v）的解应当比（G, v）的解更为有利。但是，正如我们看到的，由于AC是一条斜向下的线段，所以对于局中人2,（F, v）的纳什解C明显地劣于（G, v）的纳什解B。这个现象并不违背“无关选择独立性”，因为φ（F, v）=C∉G，然而它与“单调性”相悖。针对不合常理的上述情况，卡莱和斯莫罗迪斯基提出“单调性”公理来取代“无关选择独立性”公理。

公理6单调性

令表示在（F, v）中局中人i（i=1,2）在个人理性可行配置集中可能得到的最大盈利，也称为局中人i的个人理想值。两个局中人的个人理想值所构成的点称为“理想点”。假设（F, v）和（G,v）是两个两人讨价还价问题，并且F⊇G，又（m1（F,v）,m2（F,v））=（m1（G,v）,m2（G,v）），那么，φ（F,v）≥φ（G,v）。

卡莱和斯莫罗迪斯基证明了存在一个点，并且也只有一个点满足Pareto（强）有效性公理、刻度同变公理、对称性公理和单调性公理。他们的结果是针对一类正则的两人讨价还价问题进行讨论的。

什么样的两人讨价还价问题是正则的呢？一个两人讨价还价问题是正则的，其充分必要条件是：（F, v）是实质的，即，F中至少存在一点y，使得y＞v。并且对于F中的任何一个向量（或配置）y=（y1, y2），如果yi＞vi，则存在z（i, j）∈F，使得vi≤zi＜yi，且zj＞yj，这里i≠j,（i, j）=（1,2）或（2,1）。而且z（i, j）未必等于z（j, i）。

上述充要条件相当于说，在一个正则的两人讨价还价问题中，存在一个可行配置，对每个局中人而言，都严格地优于他的“底线”。而且只要有一个局中人得到的盈利严格地大于他在“意见不一致点”时的“底线”盈利，那么这个局中人可以做到通过减少自己的期望盈利（当然不会少于“底线”）而使另一个局中人的期望盈利得到增加，或者干脆说，该局中人存在“让步”的余地和可能性。这是“正则”最有意义的地方，它可以使得谈判有伸缩的弹性，使得讨价还价有实际意义上的操作性和可能性。正是由于有人愿意让步，谈判有成功的希望，也正是由于对方有让步的可能，才使另一方对合作抱有兴趣。

事实上，卡莱和斯莫罗迪斯基对任何一个正则的两人讨价还价问题（F, v），证明了卡莱和斯莫罗迪斯基解为F中唯一满足下面等式的点x=（x1, x2）：

从几何角度来看，卡莱和斯莫罗迪斯基解恰好位于Pareto最优曲线和连接意见不一致点与理想点的直线的交点。

例2.9 （续例2.3）

例2.3讲述了两家保险公司希望缔结一项协议，通过交换部分业务量，从而改善公司的状况。这是一个两人合作博弈的典范，不过两人合作的目的不是为了增加各自的期望收益，而是为了尽可能地缩小方差（从而降低风险）。显然，使得两家公司都能降低风险的（α, β）可以有许许多多，有些（α, β）更有利于公司1，但有些（α, β）则更有利于公司2。局中人在达成合作协议的过程中，都希望尽量地使协议有利自己，为此双方之间将对（α, β）有一个讨价还价的谈判。这个博弈充分体现了局中人为了利益而合作，而在合作的过程中又存在冲突和矛盾。

令互换业务之后两家公司的方差缩减量分别为p1与p2。这样就将模型转化为“局中人i（i=1,2）通过谈判以达成合作协议，使自己的pi尽可能地大”的情况。

首先计算互换业务之后两家公司的方差：

于是，公司1与2的方差缩减量为（注意到Var（x1）=4, Var（x2）=8）：

我们试图寻找Pareto最优曲线，即，对于每个确定的p1，求相应的最大的p2，通常使用Lagrange方法。令

分别对α, β求偏导数并使之等于0：

综合式（2.36）中的两个方程式，不难得到

因此，Pareto最优曲线的参数式方程为

进而，可以由式（2.38）得到Pareto最优曲线的隐函数表示式：

可行配置是由式（2.19）的Pareto最优曲线与p1≥0, p2≥0组成的闭凸集：

博弈的“意见不一致点”显然是（0,0）。（F, （0,0））的纳什讨价还价解是在α+β =1的约束条件下使得纳什积p1p2达到最大值的（α, β）。依据式（2.18），使下式达到最大：

利用一阶条件，易得

由于α∈[0,1]，因此得到唯一的解为

α=0.613, β =0.387，和p1=2.203, p2=3.491

现在，我们来求卡莱和斯莫罗迪斯基解，由于“意见不一致点”是（0,0），而理想点为（4, 8），又知卡莱和斯莫罗迪斯基解恰好位于Pareto最优曲线和连接（0,0）与（4,8）的直线的交点。因此，只需要在Pareto最优曲线上求满足的点：

解得α=0.58578643，因此（p1, p2）=（1.94112542,3.8822511）。

人们可以发现，对于局中人2来说，卡莱和斯莫罗迪斯基解要比纳什讨价还价解令他满意一些，这是因为卡莱和斯莫罗迪斯基解的结构考虑到了局中人2的方差缩减理想值比局中人1的理想值大一倍的缘故。

本例题中有一个有趣的解是使得p1+p2达到最大值的（p1, p2）。容易求得此时（α, β）=和p2=5。如果我们考虑两人的整体效果，那么这是一个很不错的选择。不过，此时局中人1的获利远远不及局中人2，倘若在谈判的过程中，考虑到这一点而使达成的合作协议能协调到局中人2稍微作一点点的让步，那么合作的效果将更好。

2.8.2 最大化广义纳什积的解

例2.4中，两个局中人瓜分30元，风险中性的局中人得到20元，风险厌恶的局中人得到10元。这种配置的合理性是基于双方的风险效用度量并且使风险效用的乘积达到最大化。现在，不妨对这个问题的解赋予另外一种解释：这是两个家庭之间关于30个货币单元的一次分配。家庭甲拥有两个人，家庭乙只有一个人，两家人合作完成一件工作，每个人都很卖力地干活，结果创造了30个货币单元的盈利，然而分配是以家庭为单位进行的，分配给家庭甲y1个单元，家庭乙得到余下的（30-y1）=y2个单元。人们很自然地认为合理的分配应当满足y1=2（30-y1）。这是以人为单位的平均主义，但不是以家庭为单位的平均主义。这样的配置显然不能通过通常的最大化纳什积的办法获得。换个思路来考虑问题：倘若

只要y1≠0与y1≠30（合理的分配必定排斥这两种极端情况），于是，上式相当于

注意，上式是由

对y1求导并使之等于0而得到。即对关于y1求导并使之等于0而得到。这等于求的极大值点。然而，的极大值点与的极大值点是一回事。因此，只要使最大化的配置（y1, 30-y1）就是我们觉得合理的分配方案。

更一般地拓宽上述思路：如果甲乙两家之间分配他们的共同创造的财富A单元货币，甲拥有a个人，乙拥有b个人，这些人在创造财富的工作中几乎同等地努力。焦点仲裁人希望分配能使得每个人的得益相同。于是，由导致by1=a（A-y1），或者，从而导致需要最大化的乘积为。这样的“拓宽”有一定的实际意义，在两人合作的问题中，每个人在“投资”（无论是财力还是精力等各方面）方面有着不同的“权重”，在讨价还价的谈判中面临的就不是一般的纳什积，而是如下面那样的排除了“对称性公理”之后的广义的纳什积，不过排除了“对称性公理”，必须假定两人讨价还价问题（E, （0,0））的解是某个有效的点（α,β）＞（0,0）。（这里，（E,（0,0））类似纳什讨价还价解证明中的（E,（0,0）），我们在下面将具体地给出E的形式。）

任何一个实质性的两人讨价还价问题的解，一定是F中所有个人理性点x范围内使得广义纳什积

达到最大化的那个点。称为非对称的纳什讨价还价解。

从纳什讨价还价解到非对称的纳什讨价还价解，主要是后者“废除”了对称性公理。在论证纳什讨价还价解的过程中，唯一用到对称性公理的地方是φ（E, （0,0））=（1,1）。如果弃除对称性公理，那么就广义纳什积（2.47）而言，φ（E,（0,0））可能是（α, β）。现在，由于假定两人讨价还价问题是实质性的，我们将曾经用过的仿射变换改为：

这里，（x1, x2）是使广义纳什积（2.47）达到最大的点。定义映射函数L如下：

显然，这个变换仍然将（v1, v2）映射到（0,0）。F的映像F*={L（y）|y∈F}必定也是一个有界闭凸集。并且

由于x=（x1, x2）是使广义纳什积（2.47）达到最大的点，所以，L（x）一定是在F*中使得（z1）α（z2）β达到最大值ααββ的点。而

在z平面上，曲线（z1）α（z2）β=ααββ（注意，它不是通常意义下的双曲线了）必定过（α, β）这一点，并且在（α, β）处的斜率计算如下：

易见在（α, β）处有。即（z1）α（z2）β=ααββ在（α, β）处的斜率为（-1）。斜率为（-1）且过（α,β）的直线方程为z1+z2=α+β。该直线是（z1）α（z2）β=ααββ与F*中的边界的切线。因此，令E={（z1,z2）∈ℜ2|z1+z2≤α+β}，显然，F*⊆E。与纳什讨价还价问题论证一样，我们考虑讨价还价问题（E,（0,0）），由假设，φ（E,（0,0））=（α,β）。我们虽然排除了“对称性公理”，但是仍然需要其他几个公理，因此下面需要完成的证明过程完全与纳什定理的证明过程一样，我们可以得到φ（F,v）=x。不过，这个x是使广义纳什积达到最大值的点。