附录3.1 赫克歇尔 欧林模型的代数推导

在这个附录中我们求解一个2×2×2结构的HO模型。假定服装的生产函数为X=，饮料的生产函数为Y=。这两个生产函数都是柯布—道格拉斯形式。在柯布—道格拉斯生产函数中，生产要素变量的指数等于该生产要素的收入份额，也反映出该要素在生产中的使用密度（这些结论在这里就不证明了）。以上两个生产函数式假设了服装为劳动密集型产品，饮料为资本密集型产品。HO模型假定各国拥有相同的生产技术，所以上面两个生产函数式对于中国和美国是一样的。假定中国的劳动力总量为L=1000，资本总量为K=100。美国的劳动力总量为L*=200，资本总量为K*=500。根据这些数字， K/L＜K*/L*，所以中国是劳动力丰裕国，美国是资本丰裕国。

中国的封闭经济均衡

对两个生产函数求偏导，我们获得劳动和资本边际产出的表示式：

用饮料作为度量衡，设饮料的价格等于1。用P代表服装的价格， w代表工资，r代表资本收益率。在市场均衡时，r=P·MPKX=MPKY， w=P·MPLX=MPLY。替代后获得：

HO模型假定充分就业，所以KX+KY=K=100, LX+LY=L=1000。引入符号u=LX/L，这两个充分就业等式可合并写成

将式（A3.1）和式（A3.2）相除可得kY=9kX。代入式（A3.3）可解出

上式中的u反映出劳动力资源在两个生产部门的配置。可以看出，当服装业扩张时（即u上升），两个生产部门的资本密集度kX和kY都会相应上升。

如何解出u呢？我们需要引入消费者需求。在均衡时生产部门的资源配置必须和消费者的需求相吻合。假定消费者的效用函数为U=。这个效用函数意味着消费者花一半收入在服装上，另一半在饮料上。所以PCX=CY。在封闭经济均衡时CX=X, CY=Y。由此可得PX=Y。因为，所以PX=Y可写成

从式（A3.1）得到代入式（A3.5），我们得到：

将式（A3.4）中的kX和kY代入式（A3.6）可解得u=。代回式（A3.4）中解得kX=,kY=。由此我们可以解出：LX=750,LY=250,KX=25,KY=75,P=0.32, w=0.10,r=1.01,X=320,Y=101，国民福利水平为U=5.19。同样我们可以解出美国在封闭经济均衡时的产量为X*=143,Y*=226，国民福利水平为U*=5.19。

自由贸易均衡

HO模型的自由贸易均衡等同于全球一体化经济的状况。全球劳动力数量为1200，资本数量为600。劳动力和资本的充分利用意味着

将式（A3.1）和式（A3.2）相除可得kY=9kX。代入式（A3.7）可解出

将式（A3.8）中的kX和kY代入式（A3.6）可解得u=。代回式（A3.8）中解得kX=, kY=。由此我们可以解出：LX=750, LY=250, KX=125, KY=375, P=0.866, w =0.339, r=0.678, X=479, Y=339。这些是世界经济的数值。

中国的劳动力总量为1000，资本总量为100。在自由贸易均衡中，w=0.339,r=0.678，所以中国的国民收入总额约为406.8。根据效用函数，收入的一半用于服装，另一半用于饮料。服装价格为P =0.866，所以CX=235。饮料价格为1，所以CY=203。由此可计算出中国的国民福利水平等于UCHN=5.39。美国的劳动力总量为200，资本总量为500。在自由贸易均衡中，w=0.339,r=0.678，所以美国的国民收入总额约为406.8。因为中美效用函数被假定为相同，所以计算出的美国的国民福利水平也等于UUSA=5.39。中美两国在自由贸易条件下获得的国民福利水平都高于其在封闭经济时获得的国民福利水平。