3 正确推理
逻辑研究的一个目的，是区别正确的推理与不正确的“推理”。首先需要说明，这里所谓正确的推理，不是说推理的前提为真，也不是说它的结论为真。前提和结论本身是真是假，或者你对它们有什么信念、感觉或体察，都不是逻辑所关心的问题。一个推理是正确的，从直观上讲，意味着一旦你（或其他任何人）接受了它的前提，就必须接受它的结论。因此，一个正确的推理，说的是它的前提和结论之间有某种确定的关系。虽然正确的推理不一定都能说服你（你可能不接受它的前提），但你显然应该只让正确的推理说服。
那么，是什么东西保证了一个推理是正确的呢？凭着我们的某种“逻辑直觉”，我们就可看出上面的1）、2）都是正确的推理，而且，下面这个“推理”：
是错误的。可是，我们的确有时候在推理上犯错；比如，我们可能一厢情愿地使用了某个错误的“规则”，或者像那个卖矛和盾的楚人一样，自己的某个说法推出矛盾了，还是茫然无知。所以，即使为实用的目的，我们也不应仅仅依赖直觉。更重要的是，我们需要对所有推理的正确与否有一整套清晰明白的把握。直觉当然不是这里的可靠标准，我们因而有必要探讨判断推理对错的严格的理论标准。
逻辑学家大体上用两种标准来确定一个推理是否正确。第一种是从语形上来考虑，就是说，考虑组成推理的命题的逻辑形态，确定从前提到结论的哪些“变形”是可以接受的，哪些是不能接受的。这就需要某种类似语法的规则，来规定正确的变形，排除错误的。一旦确立了这些规则，一个推理是否正确，就取决于它是否合乎有关的规则。第二种是从语义上考虑，即从前提和结论的真假方面考虑。一个推理在这个意义上正确，意味着不可能它的前提（都）真而结论假。按逻辑的术语，这称为推理的有效性。让我们稍微细致一些讨论一下这两种标准。
3.1 合规则性
为什么1）是正确的推理？你大概会说，这再明显不过了：既然没有矛能刺破这张盾，就是说，所有的矛都不能刺破这张盾，那么这支矛自然不能例外。按同样的道理，所有的人都会推理，（而韩非是人），所以韩非也会推理；一切东西都会变化，（我眼前的桌子是一样东西），所以我眼前的桌子也会变化；……这些都是正确的推理。如此看来，1）之所以正确，跟其中的命题描述什么情形，跟矛和盾有什么性质等等实质性的东西无关，而只跟上面这些推理共同具有的某种形式结构有关。你于是总结出一个“套路”，它说的是，所有具有如下形式的推理都是正确的基本推理：
这就是一个推理规则。一般而言，一个推理规则首先明确一个基本推理的形式，然后规定：具有这种形式的推理都是合乎此规则的。我们的推理当然不止需要一个规则。若干推理规则组成一个逻辑系统。一个推理的每一步（其中的每个基本推理）如果都合乎这个系统中的某个规则，则称这个推理在这个系统中是合规则的，否则称它在其中不合规则。一个逻辑系统采取的推理规则，只能直接或间接地肯定某些推理形式，未被它肯定的，便是这个理论不接受的形式。因此，对于一个逻辑系统而言，一个推理是正确的，当且仅当它在这个系统中是合规则的。我们为了方便，有时把推理规则直接表述为它所肯定的推理形式。
但是，究竟什么是一个推理形式呢？我们从上例看到，正如推理由命题组成，推理形式也是由命题形式组成的，而命题形式是由相应的命题表达式通过删除其中一些“有实义的”部分（即容许这些部分用其他的同类语言单位替换）构成的。比如，我们可以把命题
所有的人都会思考
中的“人”（语法上的主语部分）和“会思考”（语法上的谓语部分）删除，留下空位，或代之以“这样的”、“那样的”等没有明确指称的代词，而得到这个命题的某种形式：
所有这样的都是那样的。
再把“韩非”换成不定代词“某某”，由同样过程分别得到命题“韩非是人”和“韩非是会推理的”的形式：
某某是这样的；
某某是那样的。
这三个命题形式就组成上面的推理形式4）。
注意，命题中不同类型的部分，如代表性质的（“会思考”）和代表个体的（“韩非”），要由相应的不同类型的代词（如“那样的”、“某某”）来替换，而同一个命题或不同命题中相同的部分，要由相同的不定代词替换（如两个命题中的“韩非”都由相同代词“某某“替换）。
由于数学语言中的变项和自然语言中的不定代词有类似的功能，我们可以在自然语言中增加一些变项符号，进一步把命题形式中的代词换成一些变项符号，如把“某某”换成x，把“这样的”换成A，把“那样的”换成B等等。选择什么样的变项符号，完全是一种约定。但不同的代词需要用不同的符号替换。命题形式中未经变项符号替换的部分（如“所有的”），我们称为逻辑常项。
比如，推理形式4），借助变项表示，就是：
因此，一个推理，如果把其中作前提和结论的命题分别代换成相应的命题形式，就得到这个推理的形式。要明确一个推理的形式，关键要看如何分析命题的形式，即确定命题表达式的哪些部分是可以替换为变项的，哪些部分是不可以这样替换的。换言之，我们要确定命题的哪些部分是逻辑常项。这个问题，需要对命题结构做出适当分析后才能解决。但这里我们不妨先看一下几个逻辑史上的例子。
亚里士多德建立的三段论学说，把简单命题——即述说某个、某些或所有的某类东西具有某种性质的命题——分析为四种形式：
所有的S都是P。（全称肯定）
所有的S都不是P。（全称否定）
有些S是P。（特称肯定）
有些S不是P。（特称否定）
其中的逻辑常项是：“所有的”（全称量词）、“有些”（存在量词）、“是”和“不是”，而命题的主项和谓项是可以替换的（分别替换为S和P两个变项，或随便什么变项）。对于“韩非是人”、“这支矛不能刺破这张盾”这类的单称命题，传统逻辑把它们分别归到全称肯定和全称否定的形式里。这称为命题的主—谓形式分析。
这样，若把“所有的人都会推理”的形式表达为“所有的M是P”，则“韩非是人”的形式就可表达为“S是M”，“韩非会推理”的形式表达为“S是P”。于是，三个命题组成一个推理，其形式为：
这是三段论第一格的第一式。由此便得到一个规则：所有合乎这个形式的推理都是正确的。把这个推理形式中的变项M、S、P反过来换成任意合适的词，都得到一个具体的推理，而这个推理便具有这个形式，也即合乎这个规则。比如，推理1）便合乎这个规则。一般地讲，从每一个推理形式都能够类似地得到一些具体推理，而每一个这样得到的具体推理就叫做这个形式的一个实例，这个形式也称作它的诸实例的一个模式。在同样的意义上，每一个命题形式也称作它的实例——就是所有具有这个形式的命题——的模式。
因此，一个推理合乎某个规则，又可以说成，这个推理是这个规则规定的推理形式的一个实例。
有些推理的正确与否，是由命题之间的联结关系（而非简单命题内部的结构）所决定的，单独研究这种推理的称为命题逻辑，它是整个逻辑的一部分，在历史上，它的出现稍晚于亚里士多德的三段论。命题逻辑不分析简单命题的形式，只分析复合命题的联结形式，所以其中的变项是代表命题的。比如，用p、q等代表命题，复合命题
如果这支矛能刺破所有的盾，则这支矛能刺破这张盾
的形式就可以表达为：
如果p，则q；
而命题“并非这支矛能刺破这张盾”的形式为：
并非q。
在这里，简单命题直接处理成变项，而逻辑常项为“如果……则……”、“并非”等命题联结词。
命题逻辑的规则，我们举几个例子，第一个传统上称为肯定前件式，或分离规则（modus ponens）：
而推理
是它的一个实例。命题逻辑还有一个称为否定后件式的规则（modus tollens）：
推理2）是它的一个实例。
但是，我们前面凭直觉否定了的3），就不合乎任何推理规则。它的形式：
没有被命题逻辑的任何规则所直接或间接地肯定。
但是，推理到底应该有哪些规则呢？或者说，我们应该建立怎样的逻辑系统，选择哪些规则来约束推理呢？这个问题是本书的主题之一，我们晚些时候才能回答它。这里我们只想指出，逻辑学家对此问题的回答不尽一致。比如，从经典逻辑的观点来看，排中律——从任何前提都能推出形如“p或者非p”的结论——是一个普遍可接受的规则。但20世纪出现的有些非经典逻辑，如直觉主义逻辑，却不接受一般形式的排中律。以后我们会看到，这相当于把前面提到的RAA一分为二，只接受归谬法规则——如果从p推出矛盾，则得到非p；而不接受反证法规则——如果从非p推出矛盾，则得到p。对不同规则的取舍，导致了从小到大的一系列有趣的逻辑系统，其中经典逻辑是最大的。
3.2 有效性
我们还可以不考虑推理规则，而仅从语义的角度来评价推理，就是说，从前提和结论的真假关系方面判断一个推理是否正确。在这里我们假设所有的命题都有真假，而且非真即假。这个假设实际上是排中律的语义版本。因此，我们在这里假设了经典逻辑的立场——以下如果未加说明，我们总是站在这个立场上。
前面提到，一个推理是否正确（合规则），不单纯取决于它的前提或结论是否为真。我们考虑下面的例子：
① 让我们姑且假设这个统计数字是正确的，就是说，这个前提是真的。
这些是不是正确的推理？显然，5）是正确的，虽然它的一个前提是假的（另外它也合乎三段论规则）。至于6），直觉告诉我们，它不正确，因为它的前提不足以“支持”它的结论，即使它的前提和结论都真。换句话说，5）的前提100％支持它的结论，而6）的前提对结论只有1％的支持度。如果我们把6）的第一个前提改成“没有希腊人是哲学家”，则这两个前提对结论就没有任何支持，或者说支持度为0。
因此，从语义上判断一个推理是否正确，要看它的前提如何支持它的结论。前提100％支持结论的，我们称为有效的推理，否则称为非有效的。研究推理的有效性的称为演绎逻辑。与演绎逻辑相对的研究领域一般称为归纳逻辑，它关心前提对结论的不同支持程度。本书不讨论归纳逻辑，凡提到“逻辑”之处，皆指演绎逻辑。正是在演绎逻辑里，我们把推理的正确性等同于有效性。
但是，这里的有效性究竟是什么呢？前提100％支持结论，严格来说应如何理解呢？我们先考虑什么是“前提支持结论”。所谓前提支持结论，说的就是：如果前提为真，则结论为真；或者，并非（前提都真而结论假）。所以，“前提都真，而结论假”足以决定一个推理不是有效的。排除了这种情况，前提和结论的真假情形，就剩下下列三种：
a．前提都真，结论也真；
b．前提中有假的（包括前提都假的情形），结论真；
c．前提中有假的，结论假。
三种情况中，都可以出现正确的推理。（请读者对这三种情形，各举一个正确推理的例子。）但是，a、b、c任何一种条件，都不能决定一个推理是正确的。（请读者对这三种情况，各举一个不正确推理的例子。）
所以，单是“并非（前提都真而结论假）”或“前提支持结论”这个条件，还不足以决定有效性。这里还缺少一个“100％支持”的程度概念。
前提100％支持结论，确切来说是：
不可能（前提都真而结论假）。
我们做一点解释。
第一，这里的“可能”是逻辑意义上的（不是物理意义或其他意义上的）可能概念。假设p代表任意一个命题。命题“可能p”说的是在某种情形之下，p是真的。所谓情形，就是任意一种可以无矛盾地设想的境况。每种情形，都被一组（在其中为真的）命题所描述。现实世界（的所有事实）构成一种情形——我们当然可以无矛盾地设想它。但可以设想的，不必都是现实世界上的事实。例如，总可以设想一些境况（逻辑学家称其为可能世界），在其中“所有的希腊人都是哲学家”、“太阳从西边升起”甚至“世界是5分钟前被创造的”等等命题为真。因此这些命题就都是可能的，虽然它们在现实世界里为假。这相当于说，一个命题p，如果它的形式在某个可能的情形中有一个真的实例，则p总是可能的，或者，“可能p”是真的。
第二，因此，命题“不可能p”就是说在任何情形之下，p都不真。这样的p是一种什么样的命题呢？它只能是矛盾的。不矛盾的命题其形式总可以在某个可能的情形中找到真的实例，因此都是可能的。但矛盾不可能。我们不能设想一种情形，在其中亚里士多德既是哲学家又不是哲学家，或这支矛既能刺破这张盾又不能刺破这张盾等等。无论你把“亚里士多德”、“哲学家”、“这支矛”、“这张盾”这些名称和概念设想或解释成什么，换言之，无论你构造以上命题形式的什么实例，你都同时得到一个命题和它的否定，二者不能同时为真。
我们把在任何可能的情形中都没有真实例的命题形式称为矛盾式，把矛盾式的实例称为逻辑上假的命题（或矛盾）。反之，在任何可能的情形中都只有真实例的命题形式是有效式，有效式的实例是逻辑上真的命题。显然，逻辑上真（假）的命题在一切情形下都是真（假）的。一命题是逻辑上真（假）的，当且仅当它的否定是逻辑上假（真）的。许多命题，如“亚里士多德是哲学家”等等，既不是逻辑上真的，也不是逻辑上假的，它们在一些情形下为真，在另一些情形下为假。
第三，假设一个推理D的前提为A1，…，An，结论为B。把命题“A1，…，An为真，且B不真”前面加上“不可能”，就得到推理D有效的刻画，按前面的说明，这个刻画可以表达为：
在任何情形之下，并非（A1，…，An为真，且B不真）。或者，
在任何情形之下，如果A1，…，An为真，则B为真。
我们把这两种表达看作等价的。在日常语言里，“如果……则……”有多种意思或用法，如表示自然规律（“如果给金属加热，则它会膨胀”）、反事实条件（“如果我是你的话，我就不会那么做”）等等，这里我们取的是它与推理相关的一种简单意义，即把
“如果p，则q”读为
“并非（p且非q）”。
这种意义上的“如果……则……”称为实质蕴涵。
第四，如上定义的推理的有效性，只涉及前提和结论的真假，不要求它们之间一定有内容上的联系，但这并不损害我们关于推理的正确性的直观概念。比如，一个推理如果含有逻辑上假的前提，则它的前提在所有情形下都无法全体为真，这时它满足“在任何情形之下，并非（前提都真而结论不真）”这个条件，所以是有效的，不管它的结论是什么。这符合“矛盾推出一切”的直观规则。⑤另一方面，一个推理如果有逻辑上真的结论，则根据同样道理，这个推理也是有效的，不管它的前提是什么。这符合“永真结论被任何前提推出”或“永真结论不须任何前提”的直观理解。
显然，非有效的推理是这样的：
在某种情形之下，它的前提都真而结论为假。
前面的例子3）和6）不是有效的。容易设想一些情形，在其中它们的前提都真，而结论为假。一般而言，对前提为A1，…，An，结论为B的推理D，如果能找到命题形式“A1，…，An为真，且B不真”的实例，则D就不是有效的。每一个这样的实例，都称为D（的有效性）的一个反例。
我们现在有了两种决定一个推理是否正确的标准：语形上的合规则性与语义上的有效性。自然会出现这样一个问题：对于一个特定的逻辑系统而言，合规则性和有效性这两个概念是否吻合？就是说，这个系统的全部合规则的推理是否恰好是全部有效的推理？这个问题的提出使我们能够对于本书的主题做进一步的表述：我们现在面临着这样的任务，建立一个逻辑系统（设计一组推理规则），使得其中合规则的推理都是有效的推理，而且全部有效的推理在其中都是合规则的。可是，要严格地表述这个任务，还需将其中涉及的一系列概念做进一步的澄清。我们以后会看到，经典逻辑的规则足以实现全部有效的推理，而较弱的如直觉主义逻辑，其规则只能实现部分有效的推理。这是因为直觉主义逻辑不接受我们这样定义的有效性标准，特别地，它不承认排中律在任何情形下都成立。