前 言
本书脱胎于北京大学哲学系本科“数理逻辑”课程的讲义,书名从课名。原讲义在实际使用中,经过了多次删改与修补,最后成书时,我们做了进一步的加工,重写了若干部分,增加了一些内容,以求能够满足更大范围的读者的需要。
下面就本书的内容及编写方式做几点说明。
第一,这是一本入门教材,针对逻辑学的初学者,尤其是初学逻辑的学生,而不要求读者有数学方面的预备知识。在内容方面,本书只介绍一阶逻辑的最基本的知识和技术,包括一阶语言的语形和语义、一阶推演系统、一阶逻辑的完全性定理等。这些知识和技术已经成为逻辑入门的必要装备,也因此构成目前大学教育的一个基础部分,在哲学、语言学等文科专业和数学、计算机科学等理科专业里,普遍列为必修或选修的内容。当然,按照一种比较理想的要求,大学生对逻辑的了解,还应该包括更深层次的内容,如适当部分的模型论、基本的不可判定性结果、哥德尔不完全性定理的证明等。但这些更深层次的内容适合于在更加专门的课程中介绍。按照许多学校的安排,在逻辑的入门课之后,还有相应的进深课程,供有兴趣的同学选修。我们在课程设置上,也采取了这个策略。在这样的安排之下,本书的内容,对应于大学本科的第一门“数理逻辑”或“符号逻辑”课程。
第二,根据我们的经验,本书的主要部分,如果安排得紧凑一些,可以构成一学期的教学内容,以每周4学时的进度讲述完毕。如果使用者面临不同的情况和不同的需要,可以有所取舍,而不必按部就班地涵括全部章节。比如,第一章绪论可以做不同程度的减缩;对于已经具备素朴集合论基础知识的读者,第二章可以省略;第三章关于项和公式的读法唯一性的部分,有些教师也许认为不必讲述严格的证明,只要提一下结果即可;另外,如果只注重经典逻辑,则第五章的极小逻辑和直觉主义逻辑部分,就不需独立讨论,而它们与经典逻辑的关系,以及第六章中对于直觉主义逻辑完全性的证明,都可省略。这样省下来的时间,可以加在某些重点章节上,也可以用于弥补一些薄弱环节。比如,一些教师愿意在语义学部分花更多的时间,或认为自然语言与形式语言之间的翻译方面,需要单独提出来,进一步加强练习。
第三,如前所述,本书除经典逻辑外也介绍了一点非经典逻辑,重点是直觉主义逻辑。这是出于以下的考虑:直觉主义思想在数学哲学和语言哲学中占有重要地位,它的方法和技术在逻辑的一些分支及其实际应用中也有广泛的价值,因此,学生和一般读者都有了解直觉主义逻辑的需要。另外,直觉主义逻辑既然可以处理为经典逻辑的一个子系统,那么对于它的介绍,就不需要另做铺陈,而可以在介绍经典逻辑的进程中顺带展开,相比较而进行。这或许也有助于加深对经典逻辑的了解。
第四,许多通行的逻辑教材,把命题逻辑与谓词逻辑分开处理,先讲前者,再过渡到后者。这个顺序有很多好处,既突出了命题逻辑,又符合由简入繁、循序渐进的教学原则。但本书采取了另一种“套路”,即把命题逻辑“嵌入”一阶逻辑里,起头便提出整个一阶语言,而不单独介绍命题逻辑语言,在讨论联结词的语义解释时再借助公式的“布尔形式”引出命题逻辑语言,到推演系统一章才用联结词规则自然地定义相对独立的命题逻辑推演。我们之所以这样做,主要是考虑到对于文科同学而言,一开始就与命题逻辑这样一个代数系统打交道,多少有脱离语言直观的感觉,反而如果是从谓词、量词等入手,则较容易维持一种“实在感”和学习的动机。另外,这种“笼统”的做法也许强调了一阶语言和一阶逻辑的整体性。
第五,在推演系统部分,我们选择了自然推演,而没有介绍公理系统。这也是为了在最大程度上保持读者在日常推理中积累的经验和直观。另一个原因是,自然推演传达了这样一种理解:逻辑是推演规则(而数学的或其他的理论的公理都是非逻辑的)。这个理解符合某种传统的看法,也切合逻辑在数学等领域的实际应用。自然推演可以有多种形式,我们采取的是较为传统的Gentzen树形推演。这种形式,与其他形式比较,写起来或许稍麻烦,但每一步的前提和结论的关系一目了然,是各个引入或消去规则的最直观的图示,理论上既优美,使用起来也并不格外困难。
最后,整体而言,本书在介绍基础知识的同时,强调了几种基本的技术和方法,包括语形对象(项、公式、推演等)的归纳定义以及由此而来的归纳证明,一致公式集的极大扩张以及建立项结构的自然的方法(Henkin方法)等。对于这些抽象的知识与方法,我们试图在不失精确性的前提下,尽量做相对直观的讨论,以求明确其背后的思想,不使读者迷失在技术的细节中。另外,本书的习题编排在各个段落里,而不是各章的末尾。它们是相关内容的延续:有些习题,是对前面内容的直接补充;还有些习题,本身就是新的内容,若是跳过,便影响对后面段落的理解。这种编排,是为了“迫使”读者在阅读中动手做题。逻辑的学习,与数学的学习一样,只有通过练习才能加深对于相关概念的理解。
北大哲学系本科2003、2004和2005级的同学使用这本讲义修习了“数理逻辑”课程,并对讲义的编写慷慨地贡献了自己的问题和意见。刘壮虎、周北海和叶峰等教研室同事审阅了本书的初稿,订正了一些不妥之处。北大出版社的吴敏耐心地检查、修正和加工了全书的文字和符号。编写者对他们致以衷心的谢意。本书的编写,还受到教育部“十五”国家级规划教材项目的资助,在此一并致谢。
邢滔滔
2007年9月