4．囚犯的错误和抽奖者的难题
现在让我们来看一下运用贝叶斯定理进行条件概率计算的两个“疑难”。
先看一个囚犯的错误。
非洲草原上的部落酋长抓住三个贸然闯入领地的入侵者。他们是史密斯、琼斯和费奇。酋长决定明天将处决他们之中的两个。究竟处决哪两个，由酋长来决定，并且已经做出决定。谁被选中，酋长以及看守是知道的，三个囚犯在处决前是不知道的。当地的法律规定不允许看守透露给囚犯该囚犯是否被选中的任何信息。这三个囚犯被分别关押，彼此不通消息。
晚上，费奇恳切地询问看守，明天自己是否将被处死。看守考虑到不管费奇是否被选中，另外两人之中的一个总要被处决。所以看守说：“我们不能告诉你，你是否被处死，但琼斯将被处决。”在看守看来，告诉费奇“琼斯将被处死”并没有向费奇透露任何与他有关的信息。
但是，费奇听到看守说出“琼斯将被处决”，非常高兴。他推断，他逃脱厄运的概率已经从1/3提高到1/2。
对同一句话“琼斯将被处决”，费奇与看守看法出现了不同：在看守看来，这句话对费奇没有任何信息内容，而费奇则认为这句话里包含新的信息。事实上，这两个人的推断不可能均正确。谁的推断有错？是费奇的还是看守的？
本人认为，费奇的推理出现错误，错误在于费奇对条件概率的计算不正确。
酋长决定三个中处决两个，此时费奇被处决的概率为2/3。我们用F表示费奇，J表示琼斯，S表示史密斯。那么第二天被处死的可能是三个组合“J-S”“F-S”“F-J”中的一个。任何一个人，包括费奇，有理由认为，这三个组合是等可能的，因此，每个人被处死的可能性为2/3。
当看守告诉费奇，“琼斯将被处死”，费奇看到，“F-S”的组合将不可能。费奇有“理由”认为，自己被处死的可能性降低了，由2/3降低到1/2。然而，这是不正确的。
费奇计算了“琼斯被处决的条件下”，自己被处死的概率，此时费奇被处死的可能性确实降低了。但这里的条件不是“琼斯将被处决”而是“看守告诉费奇‘琼斯将被处决’”。这是两个不同的条件。由于看守是守法的，看守想，琼斯和史密斯之中必定有一个将被处死，而这也是费奇知道的，看守认为，他只不过将费奇知道的事情告诉费奇而已。因此，错误在费奇的推理。看守的话并没有增加费奇不被处决的概率。
我们来看另外一个与此相仿的例子——抽奖者的难题。
有这样一个博弈，有三个门：A、B、C。三个门中有一个门的后面有一辆汽车，另外两个门的后面一无所有。现在让一个人来选，如果他选的门后面有汽车，他将得到汽车；如果他选择的门的后面一无所有，他将一无所得。
假定该选择者选择了一个门，比如C门。由于他所选择的门的后面无论有无汽车，另外的两个门中的一个门的后面肯定没有汽车。主持人知道每个门后面的情况，现在主持人打开了另外两个门中的一个——该门的后面没有汽车，比如B门。对于主持人来说，这没有告诉选择者的任何信息。现在主持人告诉选择者还可以改变选择，即在已选择的C门和未打开的A门之间进行选择。问：选择者应不应该改变他的选择？
主持人打开其中一扇门，使得选择者原来选择的门即C门后面有汽车的概率增加了，即从1/3增加到1/2。或者，没有增加选择者选择C门后面有汽车的概率，即选择C门后面的有汽车的概率仍为1/3，这样，A门后面有汽车的概率增加了——从1/3增加到2/3。哪一种看法对呢？
这里，主持人的行为增加了选择者的知识——B门后面有汽车的可能性得以排除，这是确定无疑的，但是主持人的行为增加了选择者已经选择的门（C门）的概率，还是增加了另外一个门（A门）的概率？
这里，如同上面的例子一样，主持人的行为并没有增加他原来选择的门（C）后面有汽车的概率，即C后面有汽车的概率仍为1/3，但是主持人的行为使A门后面有汽车的概率增加了：从原来的1/3增加到2/3。因此，选择者选择从原来的选择C门改变到A门是合理的选择，得到汽车的概率从原来的1/3增加到2/3。即选择者应当改变他的选择。
这里的概率有其客观基础，而不是纯粹的心理信念。这里的概率为“频率”。我们设想一下，如果让选择者重复选择的话，那么，他选中汽车的次数与总的选择次数之比为1/3！既然如此，在每次的选择过程之中，他应当相信，他所选的门后面有汽车的可能性为1/3，而不管主持人是否打开另外的一个空门。即，当主持人打开空门时，选择者已经选择的门后面有汽车的可能性仍为1/3，主持人的行为只是增加了另外一个没有打开的门后面有汽车的概率：由1/3增加到2/3。如果问选择者是否改变他的选择，选择者当然应当调换他的选择。这如同你去抽奖：假定一百万张彩票中有一张有奖，你随机买了一张。假定举办者知道哪张彩票有奖，他对你说：其他999998张彩票中没有奖，你手里的一张彩票和另外一张彩票中必有一个有奖——他不说假话。规则规定你可以与另外的彩票“调换”。举办者问你：你应当继续持有你手里的这张彩票还是换另外一张彩票？你面临着这样的选择。此时，你当然要选择“调换”：如果选择“调换”，你中奖的可能性为999999/1000000; “不调换”的话，你中奖的可能性为1/1000000。你信还是不信？
这两个所谓选择难题是由于人们对概率或概率的改变的不正确理解造成的。