牛顿-莱布尼茨公式：小心求证与大胆假设

从本质上看，牛顿与莱布尼茨的微积分并没有根本的区别。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也被称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿和莱布尼茨之前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别被加以研究的。一些知名数学家得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果是孤立、不连贯的。虽然他们已开始考虑微分和积分之间的关系，但只有莱布尼茨和牛顿（各自独立地）将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这正是建立微积分学的关键所在。

在创立微积分方面，莱布尼茨与牛顿功绩相当。他们各自独立地发现了微积分基本定理，并建立起一套有效的微分和积分算法；他们都把微积分作为一种适用于一般函数的普遍方法；都把微积分从几何形式中解脱出来，采用了代数方法和记号，从而扩展了它的应用范围；都把面积、体积及以前作为和来处理的问题归结到积分（反微分）。这样，四个主要问题，即速度、切线、极值、求和，便全部归结为微分和积分。

牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学考虑的。牛顿是从x和y的无穷小增量之比出发作为求流数或导数的手段，他是从流的变化率来考虑的，这里实际要用到无穷小增量之比的极限。但是，牛顿并没有清晰地定义极限概念，所以产生了一系列问题。而莱布尼茨则直接用x和y的无穷小量（即现代的微分）求出它们的关系。这个差别反映了牛顿的物理方向。牛顿是从力学应用着手的，变化率源于速度、加速度等力学问题的要求。牛顿的微积分明显带着从力学脱胎而来的物理模型的痕迹，以机械运动的数学模型出现，其中的基本概念，如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都来自机械运动，是机械运动瞬间状态的数学抽象。他建立微积分的目的是为了解决特殊问题，强调的是能推广的具体结果。莱布尼茨是一个哲学家，他的无穷小量（微分）的思想与他的哲学单子（物质的最终的微粒）论观点是一脉相承的。关于积分的理解，他们两个人也各有侧重。牛顿把“流”定义为给定的流数所由生成的量，或者说是流数的逆，实际上是以导数为基础的，他以求导过程及其逆来解决各种问题。莱布尼茨则主要从求和出发，所以他的重点是定积分，而牛顿重点研究的是不定积分。莱布尼茨在符号的选择上花费了大量的时间，发明了一套富有提示性的符号系统。他把sum（和）的第一个字母S拉长表示积分，用dx表示x的微分，这套简明易懂又便于使用的符号一直沿用至今。

牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是莱布尼茨却比牛顿早3年发表微积分著作，这导致两位伟大的科学家之间就微积分发明的优先权产生了激烈的争论。

牛顿是“小心求证”，莱布尼茨是“大胆假设”。牛顿是经验的、具体的和谨慎的；而莱布尼茨是敢想敢干、大胆张扬。牛顿认为微积分是纯几何的自然延伸，关心的是微积分在物理学中的应用。而莱布尼茨关心的是广泛意义下的微积分，力求创造建立微积分的完善体系。他富于想象，喜欢推广，大胆而且有思辨性，所以毫不犹豫地宣布了新学科的诞生。

微积分对人类认识自然做出了巨大的贡献，解决了很多实际问题，对科学、历史和人类发展也起了重大的推进作用。但是，我们不能就此认为微积分思想是永世不变的认识方法。

无论是经典的欧几里得几何，还是上古和中世纪的代数学，都是一种常量数学，微积分才是真正的变量数学，是数学中的大革命。微积分是高等数学的主要分支，不只是局限在解决力学中的变速问题，它驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。

微积分学的创立，极大地推动了数学的发展。微积分的方法在解决实际问题中非常有效，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。微积分直接导致了物理定律伟大的现代解释，即用微分方程来描述物理定律。应该指出，和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上说法不一，十分含糊。牛顿的最初比和最后比的比值，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨也不能对特征三角形如何变成无限小自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。