3.3 计算题

1．已知效用函数为U=Xa+Ya，求X=10, Y=5时的M RS X Y、M RSY X。

解：

因为

所以，

当X=10, Y=5时，

2．若无差异曲线是一条斜率是-b的直线，价格为Px、Py，收入为M时，最优商品组合是什么？

解：预算方程为：Px·x+Py·y=M，其斜率为

由于无差异曲线是直线，这时有角解。

当时，角解是预算线与横轴的交点，如图3-1所示。

这时，y=0

由预算方程得，

最优商品组合为

当时，预算线上各点都是最优商品组合点。

当时，角解位于预算线与纵轴的交点，这时x=0, ，最优商品组合为。

3．若甲的效用函数为U=XY，试问：

（1）X=40, Y=5时，他得到的效用是多少？过点（40,5）的无差异曲线是什么？

（2）若甲给乙25单位X的话，乙愿给甲15单位Y。进行这个交换，甲所得到的满足会比（40,5）的组合高吗？

（3）乙用15单位Y同甲换取X，为使甲的满足与（40,5）组合相同，乙最多只能得到多少单位X？

解：

（1）当X=40, Y=5时，U=XY=40×5=200。过点（40,5）的无差异曲线为XY=200

（2）甲的商品组合为（40,5），现在进行交换，他得到15单位Y，失去25单位X，商品组合变为（15,20）。这时他的效用可由效用函数算得

U=XY=15×20=300

原来商品组合（40,5）提供的效用是200，现在交换后的商品组合（15,20）提供的效用是300。显然，甲的满足提高100。

（3）仔细分析一下，所要问的问题实际上是这样一个问题：在无差异曲线XY=200上，与商品组合（40,5）相比，甲要想多消费15单位Y，那么他要放弃多少单位的X商品。

由于XY=X ·（5+15）=200，所以，X=10

甲必须要放弃（40-10）=30单位X。也就是说，乙最多只能得到30个单位的X。

4．消费者的需求曲线为p=a-bq, a、b＞0，假定征收100t %的销售税，使得他支付的价格提高到p（1+t）。证明他损失的消费者剩余超过政府征税而提高的收益。

解：设价格为p时，消费者的需求量为q1，由p=a-bq1，得

又设价格为p（1+t）时，消费者的需求量为q2，由p=a-bq2

得

政府征税而提高的收益=（1+t）pq2-pq1

消费者剩余亏损-政府征税而提高的收益

因为b、t、p＞0

所以

因此，消费者剩余损失总是超过政府征税而提高的收益。

5．假定效用函数为U=q0.5+2M, q为消费的商品量，M为收入。求：

（1）需求曲线；

（2）反需求曲线；

（3）p=0.05, q=25时的消费者剩余。

解：

（1）根据题意可得，商品的边际效用为

货币的边际效用为

若单位商品售价为P，则单位货币的效用λ就是商品的边际效用除以价格，即

于是得，，即

进而得，这就是需求曲线的表达式。

（2）由，得，这就是反需求曲线的表达式。

（3）当p=0.05, q=25时，

6．假定下列商品的组合（见表3-1）对消费者来说是等效用的。问：

（1）Y对X的边际替代率是多少？

（2）当消费的X比Y多时，边际替代率是如何变化的？这在事实上可能吗？

解：

（1）第7商品组合的

同样可算得第6、第5、第4、第3、第2、第1商品组合的M RSYX=-1

（2）当消费的X比Y多，即X为7单位、8单位、9单位、10单位时，Y依次是5单位、4单位、3单位、2单位，边际替代率都是-1，没有变化。一般说来，这实际上是不可能的。因为随着X消费量的增加，其边际效用是递减的，而Y的边际效用随其消费量的减少而递增，两者不可能总是相等的。所以，MRS为-1, X的边际效用始终是等于Y的边际效用是不可能的。然而，如果X和Y是完全替代品时，也会发生这种情况，这时，无差异曲线为一向右下倾斜的直线。

7．把40元的收入用于购买两种商品A和B。A每单位需10元，B每单位需5元。

（1）写出预算方程。

（2）若把收入全部用于购买A，能买多少单位A？

（3）若把收入全部用于购买B，能买多少单位B？并绘出预算线。

（4）假设商品A的价格降到5元，而其他商品的价格不变，写出预算方程并绘出预算线。

（5）又设收入降到30元，两种商品价格都是5，写出预算方程，并绘出预算线。

在图3-2中，以水平线的阴影部分表示用（5）的预算能购买的、但用（1）预算不能购买的商品组合；再以垂直线的阴影部分表示用（1）的预算能购买的、而用（5）的预算不能购买的商品组合。

解：

（1）预算方程为：10A+5B=40或B=8-2A

（2）把收入全部用于购买A，即B=0。这时，10A=40，由此得，A=4

（3）同理，把收入全部用于购买B，即A=0。这时，5B=40，由此得，B=8

（4）预算方程为：5A+5B=40或B=8-A

（5）预算方程为：5A+5B=30或B=6-A

8．乙消费100单位的X和50单位的Y，若Px从2元上升到3元，Py仍然不变，为使消费情况不变，他的收入需增加多少？

解：设需增加ΔM。

由预算方程得：100×2+50 Py=M和100×3+50 Py=M+Δ M

解得ΔM=100（元）

为使消费情况不变，乙的收入需增加100元。

9．某人消费商品X和Y的无差异曲线为，问：

（1）组合（4,12）点的斜率是多少？

（2）组合（9,8）点的斜率是多少？

（3）M RSxy是递减的吗？

解：对于，有，即

（1）当x=4时，，故在点（4,12）处的斜率是-1

（2）当x=9时，，故在点（9,8）处的斜率是

（3）由于，而，故M RSxy是递减的。

10．某人现消费20单位的X和20单位的Y，图3-3是他的无差异曲线。问：

（1）若此人放弃每单位Y会得到一单位X，他愿意吗？

（2）若此人放弃每单位X会得到一单位Y，他愿意吗？

（3）以什么样的交换率此人才能保持现行的消费水平？

解：

（1）无差异曲线BC段的

即此人愿意用一单位Y交换二单位X。

无差异曲线在C点以右的M RSYX=-∞，即X的消费已达到饱和状态。

故在原消费为（20,20）组合的情况下，放弃每单位Y，换得一单位X，此人不愿意。

（2）无差异曲线BA段的，即此人愿意以二单位的X交换一单位的Y。

无差异曲线A点以上的，即Y的消费已达饱和状态。

故在BA段，放弃每单位X换得一单位Y，他愿意；而在A点以上，他就不愿意了。

（3）为了使此人保持现行的消费水平，交换只能在AC段进行。

由于AC段，故X交换Y的比率只能是1∶2。

11．请从下列某产品的总效用曲线推导出它的需求曲线（见表3-2）。

解：从公式P=MU/λ，我们可算出每一消费量时的价格，如表3-3所示：

需求曲线如图3-4所示。

12．已知效用函数为U=log a X+log aY，预算约束为：PxgX+PygY=M。求：（1）消费者均衡条件；（2）X与Y的需求函数；（3）X与Y的需求的点价格弹性。

解：

（1）由U=log aX+logaY可得，, 消费者均衡条件为：，整理得XPx=YPy

故对X的需求函数为；对Y的需求函数为。

（3）对于有

对于，同理可得Ey=-1。

13．一位大学生即将参加三门功课的期终考试，他能够用来复习功课的时间只有6h。又设每门功课占用的复习时间和相应的成绩如表3-4所示：

现在要问：为使这三门课的成绩总分最高，他应怎样分配复习时间？说明你的理由。

解：我们先把时间占用为1、2、3、4、5、6h，经济学、统计学、数学相应的边际效用分别计算出来，并列成表3-5。

根据表3-5，经济学用3h，每小时的边际效用是10分；数学用2h，每小时的边际效用是10分；统计学用1h，每小时的边际效用也是10分。而且所用总时间=3+2+1=6（小时）。由消费者均衡条件可知，他把6h作如上的分配时，总分最高。

注意，如果经济学用4h，数学用3h，统计学用2h，每小时的边际效用虽也相等，都是8分，但所用总时间=4+3+2=9（小时）。超过6h，所以，此方案不取。

14．表3-6给出了某人对商品X和Y的边际效用。假定X和Y的价格都为4元，收入为40元，且全部用于购买X和Y。

试问：

（1）此人满足最大时，各购买多少X、Y商品？

（2）若“商品Y”换成储蓄，对他的行为有何影响？

（3）假设当此人消费的X增加时，MUx也连续增加（MUy仍保持不变），他将怎样进行消费以达到效用最大化。

解：

（1）购买6单位X、4单位Y时，此人的满足最大。因为，这时, ，而且Px · X+Py · Y=4×6+4×4=40。

（2）若“Y”换成了储蓄，MUy也就表示此人从他的收入的储蓄部分所得到的效用。这时消费者的行为不发生变化，仍然用24元去购买6单位X，而把余下的16元储蓄起来。

（3）若MUx连续上升，由于任何时候MUx＞MUy，所以，为使总效用最大，他将把全部收入都用于购买10单位X商品。

15．已知约翰每月收入120元，全部花费于X和Y两种商品，他的效用函数为U=XY, X的价格是2元，Y的价格是3元。求：

（1）为使获得的效用最大，他购买的X和Y各为多少？

（2）货币的边际效用和他获得的总效用各为多少？

（3）假如X的价格提高44%, Y的价格不变，为使他保持原有的效用水平，收入必须增加多少？

（4）假如约翰原有的消费品组合恰好代表全社会的平均数，因而他原有的购买量可作为消费品价格指数的加权数，当X价格提高44%时，消费价格指数提高多少？

（5）为使他保持原有效用水平，他的收入必须提高多少个百分率？

（6）你关于（4）和（5）的答案是否相同？假如不同，请解释为什么约翰的效用水平能保持不变？

解：

（1）由U=XY得：又知，Px=2, Py=3。进而MUx/Px=MUy/Py，得

由题意可知预算方程为：2X+3Y=120

解下列方程组：

可得

因此，为使获得的效用最大，他应购买30单位的X和20单位的Y。

（2）因为, Px=2

所以货币的边际效用为

总效用T U=XY=30×20=600

（3）现在Px=2+2×44%=2.88, M U x/Px=M U y/Py，也就为

又由题意可知，U=XY=600

将X=25, Y=24代入预算方程，可得，M=Px · X+Py · Y=2.88×25+3×24=144（元）

ΔM=144-120=24（元）

因此，为保持原有的效用水平，收入必须增加24元。

（4）消费品价格指数提高的百分率

（5）

（6）消费品价格指数提高22%，而收入提高了20%，两者显然不同。

因为X的价格提高44%，在Y价格不变的情况下，为取得同样效用，均衡购买量发生了变化。一方面，X的购买量从30降为25，因而减少支出为2.88×（30-25）=14.4；另一方面，Y的购买量从20增至24，因而增加3×（24-20）=12元的支出，两者相抵，净节省14.4-12=2.4（元），占原收入120元的。因此，当价格指数提高22%时，收入只需要提高20%就够了。

16．某消费者的效用函数和预算约束分别为和3X+4Y=100，而另一消费者的效用函数为U=X6Y4+1.5lnX+lnY，预算约束也是3X+4Y=100。求：

（1）他们各自的最优商品购买数量；

（2）最优商品购买量是否相同？这与两条无差异曲线不能相交矛盾吗？

解：

（1）对于有：。由预算约束3X+4Y=100可知，Px=3, Py=4;，即为

第一消费者最优商品购买为X=20、Y=10

对于U=X6Y4+1.5lnX+lnY有

由预算约束可知，Px=3, Py=4

第二消费者的最优商品购买也是X=20, Y=10

（2）两个人的最优商品购买是相同的，这样两条无差异曲线就经过同样的点，似乎与两条无差异曲线不能相交矛盾。其实，是不矛盾的。因为两个消费者都有自己的无差异曲线图，在各自的无差异曲线图中，两条无差异曲线是不相交的；但上述两个消费者的两条无差异曲线在不同的无差异曲线图中，不存在相交不相交的问题，只不过它们分别与同样的预算线3X+4Y=100相切，切点也相同，都是点（20,10）。值得注意的是，点（20,10）在两个人看来，所代表的效用是不一样的。

17．若效用函数为U=XrY, r＞0，则收入-消费曲线是一条直线。

解：收入-消费曲线是在商品价格和消费者的爱好不变的情况下，消费者收入变动，无差异曲线和预算线的切点的轨迹，它经过原点。设X的价格为Px, Y的价格为Py。对于U=XrY，有：

变形整理得

由于Px、Py是固定不变的，r为常数，且r＞0，故是一个大于零的常数。因此，是大于零的常数。

又因为收入-消费曲线过原点，所以就是曲线的斜率，而又是大于零的常数。因此，收入-消费曲线是一条过原点向右上方倾斜的直线。

18．一消费者消费X和Y两种商品，无差异曲线的斜率是Y/X, y是商品Y的量，x是商品X的量。

（1）说明对X的需求不取决于Y的价格，X的需求弹性为1。

（2）Px=1, Py=3，该消费者均衡时的M RS X Y为多少？

（3）对X的恩格尔曲线形状如何？对X需求的收入弹性是多少？

解：

（1）消费者均衡时，，那么，Px·X=Py·Y。令预算方程为Px·X+Py·Y=M，可得Px·X+Px·X=M。

因此，，这就是X的需求函数。

由此可见，对X的需求不取决于Y的价格Py。

对于，有

于是，

故X的需求弹性为1

（2）已知Px=1, Py=3

消费均衡时，

（3）因为，所以

因此，若以货币收入M为纵轴，以商品X的消费量为横轴，则表示X和M之间关系的恩格尔曲线是条向右上方倾斜的直线，而且是从原点出发的（因为当M为零时，X也为零）直线，其斜率是

对X的需求的收入弹性为：

19．某消费者的效用函数为U=XY, Px=1（元）, Py=2（元）, M=40（元），现在Py突然下降到1元。试问：

（1）Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的Y？

（2）Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应？收入效应使他买更多还是更少的Y？

（3）Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X？收入效应使他买更多还是更少的X? Y价格下降对X的需求的总效应是多少？对Y需求的总效应是多少？解：

（1）先求价格没有变化时，他购买的X和Y的量。这时已知，Px=1, Py=2, U=XY

因为

所以，即为

预算方程为：X+2Y=40

再求购买20单位的X、10单位的Y在新价格下需要的收入。

M=Px · X+Py · Y=1×20+1×10=30（元）

最后，求在新价格和新收入（30元）下他购买的X和Y的量。

因为Px=1, Py=1, MUx=Y, MUy=X

所以即为：

预算约束为：X+Y=30

因此，Y价格下降的替代效应使他购买更多的Y，多购买（15-10）=5单位，在图中从OY1增加到OY2。

（2）先求Y价格下降后，他实际购买的X和Y的量。

因为Px=1, Py=1, M=40, M U x=Y, M U y=X

所以预算方程为：X+Y=40

可见，Y价格下降的收入效应使他购买更多的Y即在图中从OY2增加到OY3，多购买（20-15）=5单位。

由于在新价格和新收入为30元时，他购买15单位的X、15单位的Y。在新价格下，要使他能购买20单位的X、20单位的Y的话，需增加10元收入，即收入为40元。所以，要增购5单位的Y的话，必须增加10元收入，即图中预算线上升到A＇B。因此，Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加10元收入的效应。

（3）Y的价格下降的替代效应使他买更少的X，少买（20-15）=5单位，即图中X的购买量从OX1降为OX2。收入效应使他购买更多的X，多买（20-15）=5单位，即图中X的购买量从OX2恢复到OX1。Y价格下降对X需求的总效应为零。

Y价格下降的替代效应使他多购买5单位Y，收入效应使他也多购买5单位Y。故Y价格下降对Y需求的总效应为10单位，即图中Y1Y3=Y1Y2+Y2Y3。

20．约翰的爱好是白酒，当其他商品价格固定不变时，他对高质量的白酒的需求函数为q=0.02M-2P。收入M=7500元，价格P=30元。现在价格上升到40元，问价格上涨的价格效应是多少瓶酒？其中替代效应是多少瓶？收入效应又是多少瓶？

解：当M=7500元，P=30元时，q=0.02m-2P=0.02×7500-2×30=90（瓶）。

价格上升到40元后，为使他仍能购买同价格变化前一样数量的白酒和其他商品，需要的收入M=7500+90×（40-30）=8400（元）

当M=8400元，P=40元时，该消费者事实上不会购买90瓶，他会减少白酒的买量，而用别的酒来替代。因此，这时白酒的购买量q=0.02M-2P=0.02×8400-2×40=88（瓶）

由于该消费者收入维持M=7500元的水平不变，而酒的价格涨为P=40元时，等于他的实际收入还下降了，因此，不仅替代效应会使他减少白酒的购买，收入效应也会使他减少白酒的购买，因此，事实上他对酒的购买量只有q=0.02M-2P=0.02×7500-2×40=70（瓶）。

可见，价格效应使他对白酒的需要减少（90-70）=20瓶，其中替代效应是减少（90-88）=2瓶，收入效应是减少（88-70）=18瓶。

在图3-6中，AB表示M=7500元，P=30元时的预算线。它和无差异曲线U1相切，决定酒的购买量为90瓶。LN表示当价格上升到40元时，为使他同样买到90瓶酒和其他商品的话需要提高收入的预算线。此预算线与U1相切决定了由于替代效应而使他只会购买88瓶。AB＇表示该消费者7500元收入未变而价格上升到40元时的预算线，它与一条新的无差异曲线U2相切决定了购买量为70瓶酒。于是价格效应（20瓶）为替代效应（90-80=2）和收入效应（88-70=18）之总和。