2.1 风险度量方法概述

随着市场规模、动态性和复杂性的增加，以及商品市场与金融市场的不断融合，商品价格风险的度量技术也变得越来越复杂。风险的度量方法研究主要集中于金融市场，但由于石油产品本身的战略重要性，以及石油市场的金融化发展，石油期货目前已成为全球期货市场最大的商品期货品种，石油产品越来越表现出显著的金融资产属性，因此，金融资产风险度量方法多数也都可以用来度量石油价格风险。

2.1.1 方差与下半方差

相邻两时间间隔内价格的相对变化，又称为价格收益率，价格收益率可以看做一个随机变量。随机变量是由概率统计理论引出的描述不确定性的量，它具有这样的性质：方差越大，不确定性就越大；方差越小，不确定性就越小。因此用方差或标准差度量价格风险是合适的。

方差（variance）或标准差（standard deviation）作为金融资产风险的度量指标被学术界和实务界广泛接受。在Harry Markowitz（1952）发表的论文《证券组合选择》中，Markowitz假定投资风险可以视为投资收益的不确定性，这种不确定性可以用统计学中的方差（variance）或标准差（standard deviation）加以度量。

运用方差或标准差度量风险优点在于直观地反映了风险特性，计算简便，且具有良好的数学特性。主要缺陷在于，首先，方差是收益率相对于均值对称性离散程度的衡量，对非正态分布的数据，用该指标衡量会产生偏差，偏差的大小与数据的分布密度函数有关（岳西泉，孔萍，许乃伟，2009）；其次，相对于正收益而言，投资者更注重损失的规避，即在风险管理中，更关注收益率低于均值的情形，因此用方差衡量风险与投资者对待风险的态度不相吻合。

针对上述两方面原因，Markowit（1959）对方差进行了改进，提出了下半方差概念，下半方差指低于均值部分个数的平均平方偏差，表达式如式（2-1）所示。

其中，RT为资产在第T期的收益率，E为收益率均值，K为投资周期。

此后Mao（1970）；Hogan, Warren（1974）；Harlow（1991）等就下半方差与方差在度量风险方面的优劣进行了研究，虽然结论普遍认为下半方差度量风险更合理、科学，但由于其计算复杂，结果缺乏对风险度量的直观性等原因，实际应用中仍然以均值-方差模型为主。

2.1.2 风险价值VaR

1.VaR概念

VaR（value-at-risk）也叫在险值，意为处在风险中的价值。

VaR定义：在一定的持有期，一定的置信水平下可能的最大损失。即在给定时期，有X%的可能性，最大的损失是多少。其严格的定义如下：

设R是描述组合收益的随机变量，f（R）是其概率密度函数，置信水平是c，那么收益小于R*的概率为

VaR有绝对风险值和相对风险值之分，绝对风险值是指相对于当前头寸的最大可能损失。

相对VaR是指相对于收益期望值的最大可能损失。

式中：μ是收益的期望值；W是头寸大小。实践中通常使用相对VaR。

VaR只关心超过VaR值的频率，不关心超过VaR值的损失分布情况，且在处理损失满足非正态分布（如厚尾现象及投资组合发生改变）时表现不稳定。

2.VaR计算方法

VaR计算方法很多，其中应用较多的是方差-协方差方法，2.3节的GARCHVaR模型也是在方差-协方差方法基础上的改进。下面介绍VaR计算的方差-协方差方法。

记{Pt}为某金融工具的价格的时间序列，Rt为收益，在金融市场价格的随机游动假说下，Pt服从独立的正态分布。由收益（Rt）的定义

可知，当Pt-1已知时，收益序列{Rt}服从独立的正态分布，设

令Zt=（Rt-μ）/δt，则有Zt服从标准正态分布

由式（2-2）对风险值的定义，得到式（2-8）

对给定的置信水平c，对应的标准正态分布的分位点为α（由标准正态分布表查表可得），所以有

简单推导可得

代入式（2-3）和式（2-4）VaR的定义，得到以下结果：

VaR作为一种新兴的风险度量工具，有诸多优点：

（1）它能以数值简明地表示投资者所面临的风险的大小，使得一些普通的投资管理者都可以通过VaR值对风险进行判定；

（2）它可以事前评估风险，能更好地帮助决策者制定决策；

（3）不同于传统的金融风险管理，根据VaR理论还能计算由多个金融工具组成的资产组合风险。

因上述诸多优点，VaR理论在金融领域得到广泛应用，但随着该理论在实践中的不断应用，也呈现出一些明显的缺陷：

（1）当风险因素服从正态分布时，VaR可以有效地评估风险，但当服从非正态分布时则有局限性；

（2）VaR不是一致性风险度量。VaR不满足次可加性，即资产组合的风险不一定小于资产风险之组合；

（3）VaR不一定满足凸性，以VaR为目标函数的规划问题一般不是凸规划，其局部最优解不一定是全局最优解；

（4）VaR的实质为一定置信水平下的分位数，即VaR只注重该分位点上的风险，而对该分位点以下的损失情况没有考虑。

2.1.3 条件风险价值CVaR

CVaR（conditional value at risk），即条件风险价值，是在风险值（VaR）基础上发展出的一种风险度量方法。为改进VaR在理论和应用上的不足，Rockafeller和Uryasev（2000, 2002）提出了条件风险价值的概念，被学术界认为是一种比VaR风险度量技术更为合理有效的现代风险度量方法。从数学意义上讲，CVaR是一个条件期望，是大于VaR的极端损失的平均值，反映了损失超过VaR值时可能遭受的平均潜在损失的大小，可以更好地体现潜在的风险价值。

CVaR在一定程度上克服了VaR度量方法的缺点，不仅考虑了超过VaR值的频率，而且考虑了超过VaR值损失的条件期望，有效改善了VaR模型在处理损失分布的厚尾现象时存在的问题。

设f（x, y）是一投资组合的损失函数，x为决策变量，y为随机向量。y的密度函数为p（y），令Ψ（x, a）=p（y）dy，即损失不超过阈值a的概率。则在置信水平β, β∈（0, 1）下的VaR（Rockafellar和Uryasev, 2000）和CVaR（Rockafellar和Uryasev, 2000, 2002）分别定义为

上述CVaRβ（x）的表达式中含有VaR函数VaRβ（x），除非VaR有一个解析表达式，否则对CVaR的求解很困难。Rockafellar和Uryasev证明可以通过求解CVaR函数的另一个等价形式来求解，即

其中，符号[t]+=max（t, 0）。Fβ（x, α）是关于α的连续可微的凸函数，因此可以方便地得到解答，在求解CVaR的同时，还能得到VaR的值。

若随机向量y的密度函数p（y）解析式不可得，则积分项可用情景分析法来逼近，即将表达式由连续形式转化为离散形式。设p（y）产生的情景样本为yi，相应的概率为πi, i=1, …, I，则函数Fβ（x, α）近似表示为

添加辅助变量Vi=[f（x, yi）-α]+，则Vi≥0, Vi≥f（x, yi）-α。上式可以表示为

本节介绍的方差、下半方差、VaR和CVaR是当前度量风险的四个常用工具，这些度量工具的指标意义和使用范围有所不同，同时评判的标准不同，优劣结果也不同，因此不能一概而论，而应视具体问题具体分析。