第一章 奇妙的数字

——提高对数字的敏感度

数字，顾名思义，就是表示数的书写符号。我们现在使用的标准数字是阿拉伯数字，但有意思的是，最初它们并不是由阿拉伯人创造的，而是起源于印度。后来，它们经由阿拉伯人传向四方，于是，便有了阿拉伯数字这样的名字。数字家族成员众多，它们排列整齐而有序，各自之间暗藏着变化、联系以及种种规律，它们构成了一个神秘而庞大的组织，渗透在我们生活中的方方面面。在本章，我们主要为大家列选了一些和数字规律有关的题目。

在实际解答此类题目的过程中，我们通常会根据相邻数之间的关系，找出存在其间的规律。例如，通过加、减、乘、除、平方、开方等方式让相邻数之间发生联系，产生规律，继而找出破解题目的捷径；再如，根据数列中每一个数字本身的构成特点，仔细观察、分析，最终得出各个数字之间的规律。

详细说来就是：

首先，观察数列特点，看是否存在隔项数列，如果是，那么相隔各项按照数列的各种规律来解答。

其次，如果不是隔项数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后，是否符合上述规律，然后得出答案。

最后，如果上述办法行不通，那么寻找数列中每一个数字在构成上的特点，寻找规律。当然，也可以先寻找数字构成的规律，再从数字相邻关系上的规律入手。

当你对各种基本题型和规律掌握后，很多题就可以直接通过观察和心算来得出答案了。

1．互不相连的数字

互不相连的数字：在这个图形里的每个正方形里填上数字1～8，但是相邻的数字互不相连，比如填上4的那个格子不应该靠着3和5。

2．如何给数字分组

把“100”分成12个数的和，使每个数中都有数字“3”。你知道怎么分吗？

3．数字里的兵营

问号处应为什么数字？

4．数字摩天轮

问号处应为什么数字？

5．找规律填数字

寻找算式规律，求问号所代表的数字。

6．猜点数

下图是1颗骰子，请你根据图中A、B、C、D所显示的点数，推算出问号处应是几个点。

7．魔术方阵

图中的数字，纵、横、斜向相加的和均为15，如7+5+3,6+7+2,6+5+4等。现在要做一个纵、横、斜向相加的和均为16的方阵，要求方阵中的9个数字完全不相同。请你画出这个方阵。

8．有多少个苹果

有一篮苹果，让3个人分剩2个，让5个人分剩3个，让7个人分还剩2个，你知道这个篮子里最少有多少个苹果吗？

9．有魔法的数字

写下任意三位数abc，重复数字，使之成为六位数abcabc。

将这个数除以13，余数忽略不计。

将所得的商除以17，余数忽略不计。

最后再除以11。

你注意到什么了吗？请解释这个现象。

10．双胞胎的秘密

49要乘上多少才能得到4949？

38要乘上多少才能得到383838？

请找出4个质数，它们与一个两位数ab相乘所得的乘积为ababab。研究一下，一个两位数ab与73×101×137的乘积会是多少？

11．从镜子里看数字

我们知道，从镜子里看到的东西都是相反的，从镜子里看数字也是一样，会看到与数字本身相反或完全相同的数字。现在有两组数字，共4个，在镜子里看时顺序正好相反，并且它们之间的差均为63。那么，你能想出这两组数字分别是什么吗？

12．字母与价格

在一些商场或超市里我们经常能看到用粗大醒目的数字标明价格，使人一目了然。然而在英国的一个地方，一些珠宝商和古玩商却不喜欢把价格这样明显地标出来，他们非常谨慎，即使是在小小的价格牌上，他们也使用字母码。这就是说，您想知道价格，您就非得开口询问不可。

这些谨小慎微的商人常使用的字母码是选择一个含有10个字母的单词，每个字母代表一个数字。例如：

这样，只有店主才知道HA表示57便士，或者SH/OW表示15.26镑。有一天，一个游人在当地的一家古玩店里买了两件古玩，有一件标着OF，另一件标着T/EA，总计6.41镑。他的朋友也买了两件，一件标着FB，一件标着I/RP，总计5.69镑。朋友的女儿买了两件小玩意儿，一件标着BT，一件标着LP，总计1.77镑。

通过这三位游人买的商品价格，你能推出这个商人用来标价格的字母码用的是什么单词吗？

13．双环填数

如图所示，将1～8这8个数填入双环中的小圆圈中，刚好使得每个环中的数字总和为21，且数字没有重复。那么，你能否将7～14这8个数填入双环中，使每一环中圆圈里的数字相加之和为51且数字没有重复吗？或者，你能否将13～20这8个数填入双环中，使每一环中圆圈里的数字相加之和为81且数字没有重复吗？

14．填数字

找出数字规律，在问号处填入正确的数值。

15．如何划分领地

沿着下图中的格子线画线，把下图划分成几个势力范围，使得每块势力范围内只有一个点，并且势力范围以这个点中心对称。然后把黑点所在的所有势力范围涂上灰色，能组成一个阿拉伯数字的轮廓。你会涂吗？

16．数字金字塔

算一算，金字塔的顶部是什么数？

17．骨牌中的数字

将下图划分成15个由两个格子组成的小长方形，使得这15个小长方形里的数字组合互不相同。即00,0,02,03,04,11,12……44各有一组。你能分出来吗？

18．房顶上的数字

根据第一栋房上的数值，找出第二栋房顶所缺失的数字。

19．第一百个数字

请在脑海中连续记自0开始的正整数。如0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,11,12,13,14,15……并倒记……15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5, 4,3,2,1,0，现在的问题是，请回忆一下，距开始和终了的第一百个数字是多少？

20．有多少个7

今天数学考试有一道题把小丽给难住了。题目是这样的：从0～99的100个数里面包含了多少个7？你可以告诉她答案吗？

21．想数字

小明正在想着一个介于99和999之间的数字。这时，小贝问她：“这个数字是否低于500? ”小明回答说：“是。”小贝又问：“这个数字是否是一个平方数？”小明又回答说：“是。”小贝又问：“这个数是否为一个立方数？”小明还是回答说“是。”然而，小明所回答的这三个结果中，只有两个是正确的。好在小明后来又诚实地告诉小贝：“这个数字的首位数和末位数是5、7或9。”

你知道这个数字是多少吗？

22．数字陷阱

有三个人去餐厅吃饭，每人各出10元钱，餐厅找回5元钱，让服务员转交给这三个人。服务员有点贪小便宜，他一想，三个人分5元钱，怎么也不能做到平均分，于是就自己拿走2元，剩下的3元钱正好退给每人一元。

这样计算乍看没有问题，但是，当有心人仔细算一下时就会觉得这个账有问题。我们知道，每人事先已经出了10元钱，共计30元。后来又给每人找回1元，相当于每人各出了9元钱，共计27元，加上服务员拿走的2元，计29元。这样一看，消费金额与这三个人拿出来的金额不一样。怎么会出现这种情况呢？这1元钱到哪里去了？

23．兄妹赛跑

哥哥和妹妹进行百米赛跑。当哥哥到达终点时，妹妹才跑了90米。为了让他们同时跑到终点，将哥哥的起跑线后移10米。试问，这样做能否达到预期的目的呢？如果将妹妹的起跑线前移10米，情况又会怎样？

24．最大得数是几

把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面的算式中，使得数最大。

大家计算一下，这个最大得数是多少呢？

25．年龄知多少

有个人说：“从我出生到现在，有1/5的时间是在A市度过的；而现有年龄的1/7加上5年是在B市度过的；其余的时间，就一直住在C市。回忆我结婚到现在，恰恰是我现在年龄的一半再加7年。我那个在5年前已经结婚的儿子，今天正好是我年龄的一半。”算一算，这位说话的人今年到底多少岁了？他儿子多大时结婚的呢？与他当年结婚时的年龄相差多少？

26．做作业

小马做事一向马马虎虎，你看他今天的作业，又把一个加数十位上的数字“5”写成了“3”，把另一个加数百位上的数字“6”写成了“9”，得到的结果是3217。

那么，亲爱的读者朋友们，你能帮助小马虎迅速判断出正确的答案吗？

27．报数游戏

小山和小明玩“得30”的报数游戏。规则是：从1开始轮流报数，每次可报一个或两个数。比如小山先报1，小明可以接着报2或2、3；小山接着报3或3、4，抑或4，或4、5。谁报到“30”这个数，谁就获胜。

小山每次都让小明先报数，结果是小山每次都赢。小明不服气，觉得这里面有“鬼”，于是小明让小山先报数。小山说那也行，咱们改个规矩，谁报30谁输行吗？小明一想也行，结果还是小山赢。你知道小山为什么每次都赢吗？

28．猜一猜是奇数还是偶数

有个人的左手和右手分别握有若干粒豆子，一边是偶数粒，一边是奇数粒。然后他将左手的豆子数乘以2，右手的豆子数乘以5，并将所得的两个积加起来，现在只告诉你和是多少，你们能猜出来哪只手里握着奇数粒豆子，哪只手里握着偶数粒豆子吗？

29．记不清门牌号

小明到小虎家去玩，已经走上他们那条街，却一时记不起小虎家的门牌号码。这可怎么办呢？

不过，常言道，急中生智。小明从各个角度努力回忆，从各方面积极想主意。他忽然想起，有一次自己曾经研究过这个门牌号码数。记得它是一个三位数，十位数字比百位数字大4，个位数字又比十位数字大4。根据这么一点零碎记忆，小明到底能不能算出小虎家的门牌号码呢？亲爱的读者朋友们，你们能算出来吗？

30．门牌号的难题

帕特里克和布鲁斯正将一个准备好的门牌钉在一扇新门上，这个房间的号码是4761。剩下的工作就是将4个金属数字钉在门上。帕特里克忍不住问布鲁斯是否能将数字钉在门上，组成一个不能被9整除的四位数字，以此来向他挑战。当这个难题解了之后，布鲁斯问帕特里克是否能将同样的数字组成一个不能被3整除的四位数字。这两个难题的答案是什么？都能被解决吗？

31．买票

美美打算买一张地铁票，于是递给在窗口卖票的售票员5元钱，售票员问她是不是买联票（有两种票：一种为5元的联票；一种为3元的普通票）。可是美美后面的人同样拿了5元钱买票，售票员却什么也没有问，给了那人一张联票。大家猜猜看，这是为什么呢？

32．农民卖梨

有一位农民带着两篮梨到市场上去卖，每一篮有30个梨。他想这样卖：第一篮每2个梨卖1元钱，第二篮每3个梨卖1元钱，估计共可收入25元。后来，他把两篮混在一起卖，以每5个梨2元钱的价格卖出，结果共收入24元。为什么会得到这样的结果呢？

33．考试

小王参加考试。试卷上共有30道选择题，要求从3个答案中选一个，每题各1分，15分以上就及格。从概率上来说，即使胡乱填写，也可答对其中的1/3，即10道，况且小王有绝对信心答对的有6道。小王认为，无论如何自己也会及格。这种想法可能实现吗？

34．两个朋友

菲尔有两个朋友——贝基和萨拉，分别住在城北和城南。有一天，菲尔很无聊，想去找这两个朋友玩，可是他不能确定该去找谁。于是决定随机到达车站时，看哪个方向的车先来，他就上哪趟车。向南的车是整点过后的15分、30分、45分发车，向北的车是整点过后的1分、16分、31分、46分发车。就这样过了一个月，菲尔感到命运似乎在告诉他什么，因为他只去看过贝基2次，却看了萨拉28次！大家知道这是为什么吗？

35．巧取珍珠

有一位小姐来到一珠宝商处，请求修理一条镶有珍珠的挂坠（如下图所示）。她当着珠宝商的面再三叮嘱说：“这个挂坠自上往下数有13颗珍珠；而自上往下数到半中间时便往左或往右数，也都是13颗。”这位小姐说完便回家了，而珠宝商在修理挂坠时，却把那挂坠上的珍珠取下2颗占为己有了！

后来，那位小姐来取货时，照先前那样的数法数了一遍，并没有发现短缺，于是便放心地拿回家了。那么，大家知道这个珠宝商是使用了什么手法取下2颗珍珠的吗？

36．波利亚设计的趣题

美籍数学家、数学教育家乔治·波利亚曾设计了这样一道题：

已知“她”是“他”的平方，求“她”。

我们知道，“她”和“他”在英语里分别是“she”和“he”，上题就是要解“方程”she=（he）2。he代表1个两位数，she代表1个三位数，s、h、e在1～9中取值，相同字母代表同一数。问s、h、e分别取什么数，才能满足数学上的等式？

37．宝石窃贼

查理曼大帝有一面镶有32颗宝石的镜子。镜框的上下和左右每边都有12颗宝石。皇帝的一个仆人偷走了其中的4颗，但很奇怪，镜框每一边的12颗宝石一颗不少。窃贼是怎么做到这一点的呢？

38．具有特殊性质的数字

479有一个有趣的性质，就是此数：

被6除余5，被3除余2，被5除余4，被2除余1，被4除余3。

请问具有此性质的最小数为多少？

在小于10000的数中有3个数含有下列性质，就是当它们被10、9、8、7、6、5、4、3及2除时，其余数总是比除数小1，你能找出这3个数吗？

39．四数之和

有4个不同的自然数，他们当中任意两数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数，为了使这4个数的和尽可能小，则这4个数的和为多少？

40．相同数字

在数字1985～4891之间的整数中，十位数字与个位数字相同的数有多少个？

答案

1．如下图：

2．首先是要由12个数字组成；其次是每个数字里都要包含数字“3”，比如3、23、30等；最后则是这12个数相加等于100，三个条件缺一不可。答案是：100=30+30+13+3+3+3+3+3+3+3+3+3。

3． A=24, B=28。每一个圈内，数字之和都是99。

4． 60。问号的两端直线连接的两个数字之积为60。

5． 17。（n-7）÷2。

6．根据图A、图B可推算出3的背面是4，从图B、图C可推算出5的背面是2，所以1的背面是6，问号处应是6。

7．如下图：

8．这个数用3除余2，用7除也余2，这个数就是3×7+2=23。23用5去除，余数正好是3。所以篮子里最少有23个苹果。

9．任何具有abcabc形式的六位数，都相当于1000×abc+1×abc，也就是1001×abc。由于1001=13×7×11，因此不会有余数。

10. 49×101=4949

38×10101=383838

10101=3×7×13×37

因此任何两位数ab乘以3，再乘以7，再乘以13，再乘以37，都会得到ababab。

73×101×137=1010101

因此ab乘上这些数字之后，会得到abababab。

11．这两组数字分别是18和81、29和92。这两组数字之间的差都为63。

12．字母码用的单词是：P R O F I T A B L E，其中每一个字母对应1、2、3、4、5、6、7、8、9、0。

13．答案如图所示：

14．答案是2。每个图形中间的数值等于左右两边的数值之和减去上下两个数值之和。

15．为了方便叙述，我们用（a, b）表示第a行第b列这个方格。

这个游戏比较简单，在（1,5）、（5,5）角落的白点说明它们的势力范围只有这一格，而像左上角那个白点的势力范围必须是四个格子组成的正方形。最后黑点势力范围形成的是数字“4”的轮廓。

16．答案是33。

17．先从可以确定的组合入手，例如11,33,44组合只有一个，所以它们一定是一组的；这样，02和04组合也可以确定了，然后是01和03……其中有一些被隔开的数字一定与它旁边的数字组成一组。就这样依次推理下去，即可解出整个答案。

18．第一间房的数字规律是：（17+14）×10=310。所以，第二间房的问号处应填的数字为：（12+23）×5=175。

19．距开始的第一百个数字是4，距终了的第一百个数字是5。从0开始计数时，前10位都是单数，后面的数字全是双数，而到第一百个数字还剩余90个，因此，这个数字一定是一个两位数正整数的第二个数字，经计算，这个两位数是54，因此，距开始的第一百个数字就是4。同理可得，距终了的第一百个数字是5。

20．答案是20个。需要注意的是：77包含两个7。

21．小明说数字低于500，显然是撒谎，因为首位数无论是5、7或9，都大于500。在99和999之间，平方数和立方数的末位数是5、7或9的数字是729。

22．之所以会出现这个问题，是因为这里面蕴含了一个数学陷阱“每人各出了9元钱”。细想一下，每人应交餐费为25/3元，而不是9元。即使服务员拿走了2元钱，也应该是三人分摊，各应出2/3元，再加上每人的餐费为25/3元，刚好是9元。可是在这27元中，已经计算了服务员的这2元，若是又加上2元的话，就等于把这个2元算了两次，而未把退回的3元算在内。于是这三人才不明不白地少了1元钱，而且让他们毫无察觉。

23．哥哥跑完100米，妹妹才跑到90米，他们奔跑的速度之比是10∶9。按照这个比率，将哥哥的起跑线后移10米，哥哥在跑到离终点10米的地方时，他便同妹妹并齐了，而当他跑到终点时，则妹妹又落后了1米。所以将哥哥的起跑线后移10米仍达不到预期目的。如果将妹妹的起跑线前移10米，那么妹妹跑完90米即到达终点，此时哥哥跑完100米。所以他们同时跑到终点。

24．要使得数最大，被减数（四位数）应当尽可能大，减数（□□×□□）应当尽可能小。由此可知，被减数为8765。下面要做的是把1、2、3、4分别填入□□×□□的4个“□”中，使乘积最小。要使乘积最小，乘数和被乘数都应当尽可能小。也就是说，它们的十位数都要尽可能小。因为：

12×34=408，而14×23=322,13×24=312（最小），

故算式为8765-13×24=8453。

25．这实际是一道求最小公倍数的问题。因为5、7、2的最小公倍数为70，这位说话人今年恰好是70岁。由此推算，这个人在28岁时结婚，而他儿子今年已35岁，因是5年前结婚的，所以结婚年龄为30岁，比父亲的结婚年龄大2岁。

26．一个加数十位上的数字“5”被写成了“3”，这个错误使这个加数比原来少了50-30=20。而另一个加数百位上的数字“6”被写成了“9”，就等于把600变成900，使另一个加数比原来大了300。

由于加数的变化，造成两数的和的变化，我们可以写成等式：3217-300+20=2937，即正确答案是2937。

27． 30是3的倍数，你能保证每轮结束时得到3的倍数就可以赢，但为了保证第一轮报完得到3，你必须让对手先报。而报到30算输，即“让30”的游戏，实际上是得29赢，29÷3余数为2，所以你必须每轮结束时得到除以3余2的数（2、5、8、11……）。第一轮要得到2这个数，你必须选报（1、2）才能赢。小山懂得这个规律，所以无论“得30”还是“让30”都会赢。只要我们仔细研究一下，明白所有自然数都可分为被3整除、除以3余1、除以3余2，就可以掌握主动权了。

28．左手中的豆子数不论是奇数还是偶数，乘以2后总得偶数；而右手中的豆子数乘以5后，奇偶性不变，于是两个乘积之和的奇偶性与右手中豆子的奇偶性相同（因为n+偶数与n的奇偶性相同）。例如，左手握5粒，右手握6粒，5×2+6×5=40。由此可知，右手握偶数粒，左手握奇数粒。

29．因为十位数字比百位数字大4，个位数字又比十位数字大4，所以个位数字比百位数字大8。但是三位数的百位数字至少是1，个位数字至多是9，要使两个数字的差是8，只可能百位是1、个位是9。由此得到十位数字是5。所以，小虎家的门牌号码是159。

30．由1、4、6、7组成的四位数字总是可以被9和3整除。因此，除非将6翻转成9，否则两个问题的答案都是不存在的。如果这个四位数字是由1、4、7、9组成，它将不可能被9整除，但总能被3整除。

31．地铁票分为5元的联票和3元的普通票两种。美美拿的是一张5元的，因而会被问买哪种票。后面那个人虽然也拿了5元，但不同的是，他手里拿着一张1元和两张2元的纸币，不用问肯定是联票。如果他要买普通票的话，就不必再拿另一张2元的纸币了。

32．卖梨的农民如果取出20个贵的梨和30个便宜的梨，每2个贵的加上3个便宜的为1份卖2元，则这50个梨可以卖20元。还余下10个贵的梨，按每2个1元卖出，又得5元，总共得25元，就不会出错了。现在，由于他把60个梨一律按5个2元的价格出售，这就等于把其中10个贵一些的梨以每个便宜0.1元的价格卖出去了，所以总共只卖得24元。

33．不可能。胡乱填写也能答对的概率虽为1/3，那是对于除去有信心答对的6道题后的24道题来说的。从概率上来，小王答对的是14道。这样考试就不及格了。

34．这不是什么命运的安排。因为菲尔随机到站，虽然向南的列车和向北的列车的车次与车次之间都间隔15分钟，但向北的车每班车都比向南的车晚1分钟，这间隔的1分钟，使菲尔随机赶上向北的车的可能性大大低于向南的车，于是他看萨拉的次数自然远远多于看贝基的次数。这只能说是“概率弄人”啊！

35．原来的挂坠是从上往下数到第八颗时，再向左或右分开数；而后来那位小姐却是从第九颗开始往左右分开数。这就使其看上去没有缺少珍珠，但实际上珍珠总数却由23颗减少到了21颗（如下图所示）。

36． she的个位数也是e，因此e只能在0、1、5、6中取值。由于（he）2是三位数，所以100≤（he）2＜1000，于是有1O≤he＜322（∵322=1024＞1000）。因此，这个两位数的可能值局限于下面10个数中：10,11,15,16,20,21, 25,26,30,31。这10个数的平方数分别为100,121,225,256,400, 441,625,676,900,961，可以发现只有25满足条件，（25）2=625。所以s=6, h=2, e=5。

37．窃贼的诡计之所以得逞，是因为镜框的每个角都同时属于两条边。所以，如果从每条边中间拿走一颗宝石，再取下一颗放到镜框角上，则每条边的宝石总数仍然为12颗。

38． 59是有此性质的最小数字。

解此题的关键点在于6、5、4、3及2的公倍数减1必可满足题目的要求，也就是形式为（60n-1）的数即合于所求，所以其中最小数就是6、5、4、3及2的最小公倍数（LCM）减1。

相同的道理：

LCM{10,9,8,7,6,5,4,3,2}=2520

所以任何形式为2520n-1的数都符合本题第2小题的解。其中小于10000的数字有2519、5039及7559。

39．由“它们当中任意两数的和都是2的倍数”可知这些数必都是偶数，或都是奇数。再由“任意三个数的和都是3的倍数”可知这些数都是除以3后余数相同的数（能被3整除的数视其余数为0）。如第一个数取3（奇数，被3除余0），接着就应取9、15、21……（都是奇数，被3除余0）；如第一个数取2（偶数，被3除余2），接着应取8、14和20……（都为偶数且被3除余2）。因为要让这4个数的和尽可能小，故第一个数应取1。所取的数依次应是：1、7、13、19，可知和为1+7+13+19=40。

40．每100个数里，个位和十位重合的有10个，所以1985～4885中这样的数就有290个，加上4888这个数就有291个。