硬币戏法

“昨天说好的魔术表演什么时候开始，用硬币的表演。”刚吃完早饭，我就迫不及待地找哥哥去了。

“这么一大早就开始吗？你可真磨人，那好吧，给我找一个空碗来。”

拿出空碗后，他丢了一枚硬币到那个碗里。

“盯着碗看，不要走神，也不要乱跑，更不要身体前倾。现在，应该能看到那枚硬币了吧。”

“能看到。”

哥哥移动了一下碗。

“那现在能不能看到呢？”

“现在硬币被遮住了大部分，只能看到边缘处了。”

哥哥又将碗移动了一下，直到我完全看不到那枚硬币才停了下来。

“现在你坐好了，别乱动，我把碗里加满水，你再看看硬币，现在怎么样了？”

“我又看到那枚完整的硬币了，这是怎么回事呀？竟然它跟碗底一起向上浮动了一段距离！”

哥哥拿起了笔，给我画出了一个装有硬币的碗的示意图（图3），我一下子恍然大悟。我们都知道光线是沿着直线传播，那么当硬币在没有水的碗里时，由于碗是不透明的，而又恰好隔在硬币和我的眼睛之间，所以任何一条从它反射出的光线都不能传到我的眼睛里。但是哥哥在碗里加满了水之后，情况就完全不同了，硬币反射出的光线从水中射入空气中时，产生了折射的现象，就是一种弯折，之后越过碗壁的最高处射入人的眼睛。大家如果按照光线的直线传播原理来试图解释这种现象，就会得出硬币升高了的错误结论，而我们认为的升高的位置实际上就是眼睛沿着折射后光线的那条直线逆向看到的地方。所以，我们就觉得碗底和硬币一起往上浮动了。

“当你在游泳的时候这个实验也是适用的哦，”哥哥继续补充，“当你认为在能看到水底的浅水处游泳时，千万不能忘记，由于有折射的缘故，所以你看到的位置一定会比实际的位置要高，而且大约能高出整个深度的14。就比如说，实际深度为1米时，你所看到的只有75厘米深。这也就解释了为什么在浅水处有更多孩子发生不幸。可见错误估算水的深度是多么可怕。”

“我还观察到一个现象，每次当我们驾驶着小船滑行在能看见水底的地方时，就会觉得深水区永远就在小船的正下方。并且随着小船的移动，深水区也不停地变动。而周围水域却一直让我们感觉很浅，这又是为什么呀？”

“根据我们上面探讨过的内容，这个问题应该就不难理解了。这其中最神秘的地方就在于深水处反射出的光线几乎都是垂直射出来，比其他地方的光线改变的幅度大为减小。所以水底反射出的垂直光线比反射出倾斜光线的地方看起来的水面移动位置要小很多。这就给我们造成一种错觉，深水处永远在船的正下方，但实际上水底是平的。我们继续来做一道题：现在有10个碟子和11枚硬币，你需要将所有硬币放到碟子中并且保证每个碟子只能放一枚硬币。”

“这是个物理实验吗？”

“不是哦，这只是一道心理学的题目，来试试看。”

“把11枚硬币放到10个碟子里面，并且每个碟子只能放一枚硬币——这——这根本不可能，我做不出来。”我显得很窘迫。

“试一试吧，我跟你一起做。我们首先把第一枚硬币放到第一个碟子里面，顺便暂时放进去第十一枚硬币。”

我听话地把两枚硬币放入了第一个碟子。我对接下来将要发生的事情很好奇。

“两枚硬币都按照我说的放了吗？那么接下来我们把第三枚硬币放到第二个碟子里面，第四枚硬币放到第三个碟子里，第五枚硬币放到第四个碟子……以此类推，全部放好。”

我完全照着哥哥的要求办了。但是当我把第十枚硬币放到第九个碟子里之后，我突然神奇地发现，还剩下一个碟子空着。

哥哥得意地把暂时寄存在第一个盘子里的第十一枚硬币取出来放到了第十个碟子里，边做边说：“现在，我们把那个多余的硬币放到这个空碟子里来。”

这简直难以置信，现在完全做完了那道题：11枚硬币放到10个碟子里，而且每个碟子都只有一枚硬币！

哥哥看出了我的疑惑，迅速收拾起了碟子和硬币，不打算向我解释这其中的奥妙。

“你自己来猜猜，这个过程可比我跟你直接说答案有趣得多呢，对你也更有益处。”

哥哥完全不搭理我的疑问，瞬间就准备安排新任务了。

“现在我给你6枚硬币，你需要把它们排成三列，每列三枚。”

“这很明显需要9枚硬币呀。”

“9枚硬币当然可以排列出来，但是今天你一定要用6枚硬币来完成。”

“这不会又是跟我开玩笑吧，太无厘头了。”

“你可不能这么轻言放弃！瞧着，我给你摆。”

哥哥不动声色地按照下面的方式把所有的硬币给排开了。

“你看看，这就是三列并且每列有三枚硬币。”哥哥边做边解释（图4）。

“那这三列硬币都互相交叉了！”我不服。

“那就让它们交叉呗，要求里可没有说不能让它们交叉哦（图5）。”

“你要是早点跟我说这条规则，那我肯定也能做得出来。”

“那你自己再琢磨琢磨吧，这道题还有别的解决方法呢，你待会儿再研究，不是现在。我再给你出三道同样类型的题目。请仔细听题。”

第一题：给你9枚硬币，把它们排成10列并且每列有3枚。

第二题：给你10枚硬币，你需要排成5列，让每列都有4枚。

第三题：我画一个大正方形，它由36个小正方形组成，你给这些正方形里面放置18枚硬币，记住每个小正方形中只能放一枚硬币，并且要保证每一横行和每一纵行都有3枚硬币。

等你完成这些题目，我们来做一个小游戏。”

说完，哥哥就摆出了三个碟子，还给第一个碟子里撒了一把硬币：最下面的是1卢布，上面依次压着的还有50戈比、20戈比、15戈比、10戈比。

“我们要按照以下三个规则把硬币全部转移到第三个碟子里去。”

第一个规则：每次你只能动一枚硬币。

第二个规则：不可以把小面值的硬币放到大面值的硬币的下面。

第三个规则：满足前两个规则之后，可以暂时把硬币放到第二个碟子里面。

但是要保证全部完成游戏之后，所有的硬币都在第三个碟子里，连次序都要按照第一个碟子里那样摆放。

规则就这么多，不复杂吧。现在就开始做吧。”

我立刻就开始了行动。首先，我在第三个碟子里放入10戈比的硬币，中间那个碟子里放入面值15戈比的硬币。随即，我的困惑来了，还剩下了一个20戈比的硬币，它的面值可比10戈比和15戈比都要大，应该把它放在哪里呢？

“遇到什么难事儿了？”哥哥走了过来，“你看着，如果先把10戈比的硬币放在15戈比的硬币的上面，也就是中间那个碟子，那么就能把20戈比的硬币放置到最后一个碟子里了。”

我立刻试了一下。刚刚解决这个难题，又一个新问题出现了：50戈比的放置问题。我想了想，最终问题迎刃而解。10戈比的硬币首先要被放到第一个碟子里，然后把15戈比放到第三个碟子，接着把10戈比的放到第三个碟子里15戈比的上方。这样再把50戈比放到第二个碟子里面。这样不停地挪动，最终我按照要求把那枚1卢布的硬币放到了第三个碟子里，并且让整摞硬币都按规则转移到第三个碟子里了。

哥哥对我的成功完成表示赞赏，问道：“那你一共挪动了多少次呢？”

“我没数过。”

“那现在来数一下吧。这道题最有趣的地方恰恰在我们要用尽可能少的次数来完成游戏要求。假设我们只有两枚硬币，面值分别是15戈比和10戈比，一共要挪动多少次来完成要求呢？”

“只需要三次就好。你看，先把10戈比的硬币放在中间的碟子里，然后把15戈比放到最后一个碟子，最后再把中间的10戈比叠放在第三个碟子里15戈比的上方就完成了。”

“完全正确。我们继续增加硬币的数量，现在多了一枚20戈比的硬币。现在来算算最少需要挪动多少次呢？先来这么办：我们知道把最小面值的两枚硬币放到中间碟子里仅仅需要5步，然后再把20戈比移动到最后一个碟子，这样又算了一步。最后把中间的两枚硬币全部放到第三个碟子里，又需要三步。一共挪动3+1+3=7次。”

“那我来算算4枚硬币的移动需要多少步吧！先移动7步把面值最小的三枚硬币放到中间的碟子里，然后再用一步把50戈比的硬币放到第三个碟子里，最后把这三枚硬币全部叠放到第三个碟子中，这一操作需要7步。那么一共算下来是7+1+7=15步。”

“原来是这样，那如果有5枚硬币呢？”

“只需要15+1+15=31。”

“太棒啦，你已经学会这道题的解决方法，接下来我再来教你一种更神秘的简便方法。我们之前得到的数字是3、7、15、31，这些数字都是把2做两次或两次以上的乘法运算之后再减1。你瞧瞧这个！”

他指着列出的表格给我看：

3=2×2-1

7=2×2×2-1

15=2×2×2×2-1

31=2×2×2×2×2-1

“我现在看懂了，题目中给出多少个需要移动的硬币，就把相应个数的2相乘，最后结果再减去1即可。以此类推，我可以计算出任意移动个数的硬币需要的次数了。打个比方，一共7枚硬币的话，就需要2×2×2×2×2×2×2-1=128-1=127次。”

“很棒，你完全掌握了这个古老游戏的秘诀了。但还有一条规则你需要记住，那就是当硬币的数目是奇数时，你就要先把第一枚硬币挪到最后一个碟子里；硬币数目是偶数时，就需要把它挪到中间的碟子里。”

“等等，你说这是古老的游戏，它难道不是你创造出来的游戏吗？”

“当然不是了，我是把类似的游戏用硬币来玩而已。这个古老的游戏来源于印度，它还有个神秘的传说。在巴纳拉斯城的一个寺院里，印度婆罗门教的神创造了整个世界，并且制造了3根木棍，上面嵌满了钻石。他在一根木棍上串了64个金环。那个寺庙的祭司们就需要将这些金环从一根移动到另一根上，其中第三根木棍可以用来协助。但是转移的金环需要按照我们刚刚游戏的类似规则来进行，也就是说每次只移动一个环并且只能把小环套在大环的上方而不能颠倒顺序。祭司们夜以继日地转移这些金环，据传说当64个金环全部按照规则转移完成之后，世界末日即将来临。”

“天哪，还好这个传说只是个传说。否则，这个世界早就被毁灭了！”

“看来你觉得转移这64个金环需要的时间很短啊？”

“那当然啊，你想想，如果祭司们一秒钟就完成一环的移动，那么一小时就是3600次移动。”

“接着算。”

“那一昼夜不就是100000次了，十天的话一共就能转移1000000次。这100万次难道还转移不了区区64个金环吗？我看1000个金环都能转移了吧！”

“那你可大错特错了！64个金环的转移可需要耗费5000000000000年！”

“这——这怎么可能！用公式算一算，转移的次数等于2的64次方，那么结果是……”

“是啊，也就是1844亿亿多啊！你现在还认为很少吗？”

“你可别蒙我，我现在就拿出计算器验证。”

“好啊，等你算完前，我还能干很多我自己的事情。”

哥哥就这么走了，我继续埋头苦算。我把2的16次方算出来，紧接着再把这个结果也就是65536做个平方，得出的数字再来一个平方。我可有的是耐心做这些无聊的活儿。最终结果出来了：18446744073709551616。

事实证明，哥哥是正确的。

接着，我开始做哥哥给我留下的其他题了。这些题倒并不是很难，有的简单到我信手拈来。比如那个之前做的把11枚硬币放到10个碟子里并且每个碟子只能放一枚硬币的题目，真是简单极了。按照哥哥说的，我把第一枚和第十一枚硬币都放在了第一个碟子里，然后放置第三枚，以此类推。我还是发现了其中的不对劲，那第二枚硬币去了哪里呢？完全被我们排除在外了，这才是其中的奥秘。

其他两道题目的结果图已经罗列在这里（图6和图7），这时再做排列硬币的题目就变得非常简单了。

最终，把硬币放到每个小正方形里并且每个小正方形只能放一枚的那道题也解决了。36个小正方形组成的大正方形里放置了18枚硬币，这样能保证每一横行和每一纵行都是3枚硬币。