4.3 平面的投影
4.3.1 平面的表示法
平面是广阔无边的，它在空间的位置可用下列几何元素来确定和表示：
（1）不在同一直线上的3个点，如图4.36（a）的点A、B、C所示。
图4.36 用几何元素表示平面
（2）一直线和直线外一点，如图4.36（b）的直线BC和点A所示。
（3）相交两直线，如图4.36（c）的直线AB和BC所示。
（4）平行两直线，如图4.36（d）的直线A D和BC所示。
（5）平面图形，如图4.36（e）的△ABC所示。
通过上列每一组元素，可以确定唯一的一个平面。这5组元素可以相互转化，为明显起见，通常用一个平面图形（如三角形或平行四边形）来表示一个平面。
4.3.2 各种位置平面的投影特性
在三投影面体系中，根据平面对投影面的相对位置可将平面分为3类，它们是一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。投影面垂直面和投影面平行面统称为特殊位置平面。
平面对H面、V面和W面的倾角分别用α、β和γ来表示。
1．一般位置平面
对3个投影面都倾斜的平面称为一般位置平面，简称一般面。
图4.37（a）所示为一般面ABC的空间情况，图4.37（b）是它的投影图。因为一般面对3个投影面都处于倾斜的位置，所以一般面的投影特性归纳为：一般面的三面投影都是空间平面图形的类似形，任何一面投影既不反映平面图形的实形，也没有积聚性，同时平面对3个投影面的倾角α、β和γ也不能在投影图中反映出来。
图4.37 一般面
在读图时，一平面的3个投影如果都是平面图形，它必然是一般面。
2．投影面垂直面
垂直于某一个投影面，而倾斜于另两个投影面的平面，称为投影面垂直面。投影面垂直面有3种情况，其中：
与H面垂直且与V、W面倾斜的平面称为铅垂面；
与V面垂直且与H、W面倾斜的平面称为正垂面；
与W面垂直且与H、V面倾斜的平面称为侧垂面。
表4.3列出了这3种平面的直观图和三面投影图，从中可以归纳出投影面垂直面的投影特性如下：
（1）投影面垂直面在所垂直的投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线，这个积聚投影与投影轴的夹角，反映该平面对相应投影面的倾角的实形。
（2）其余两个投影均为原平面图形的类似形。
读图时，一平面只要有一个投影积聚为一倾斜线，它必然是投影面垂直面，垂直于积聚投影所在的投影面。
表4.3 投影面垂直面的投影特性
3．投影面平行面
平行于某一个投影面，从而垂直于另两个投影面的平面，称为投影面平行面。投影面平行面有3种情况，其中：
与H面平行从而与V、W面垂直的平面称为水平面；
与V面平行从而与H、W面垂直的平面称为正平面；
与W面平行从而与H、V面垂直的平面称为侧平面。
表4.4列出了这3种平面的直观图和三面投影图，从中可以归纳出投影面平行面的投影特性如下：
（1）投影面平行面在所平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。
（2）其余两个投影分别积聚为一直线，且平行于相应的投影轴。
表4.4 投影面平行面的投影特性
读图时，一平面只要有一个投影积聚为一条平行于投影轴的直线，它必然是投影面平行面，平行于非积聚投影所在的投影面。那个非积聚投影反映该平面图形的实形。
由各种位置平面的投影特性可知，对于特殊位置平面，必有一个积聚为一直线的投影，平面的位置可由这个积聚投影来确定。因此，如果不关心平面图形的形状，特殊位置平面可以用其积聚投影来表示，积聚投影标注为PH、PV、PW，其中P为特殊面的名称，上标H、V、W表示积聚投影所在的投影面。如图4.38所示，图4.38（a）为平面P在H面上的积聚投影，所以P为铅垂面，同时平面P对V、W面的倾角β、γ在投影图上反映出来；图4.38（b）为平面Q在V面上的积聚投影，所以Q为水平面，图4.38（c）为平面S在H面上的积聚投影，所以S为侧平面。
图4.38 积聚投影表示的特殊位置平面
4.3.3 平面上的点和直线
1．平面上的点
点在平面上的几何条件：如果一点在平面内的一直线上，则该点在平面上。
如图4.39所示，点M在直线AB上，点N在直线AC上，而直线AB、AC都在平面ABC上，因此，点M、N在平面ABC上。
图4.39 平面上的点
2．平面上的直线
直线在平面上的几何条件：
（1）若一直线通过平面内两点，则此直线在平面上。
（2）若一直线通过平面内一点，且平行于平面内另一直线，则此直线在该平面上。
如图4.40所示，直线DE上的点D在△ABC的AB边上，点E在△ABC的AC边上，故直线DE在△ABC平面上。又直线BM通过△ABC平面上的点B，且平行于平面内的直线AC，所以BM在△ABC平面上。
图4.40 平面上的直线
平面上的点和直线的几何条件和投影性质是在平面上取点和直线或判断点和直线是否在平面上的作图依据。
【例4.14】 已知△ABC平面上点K的正面投影k′。试求其水平投影k，如图4.41（a）所示。
图4.41 补出平面上点的另一投影
分析：若一点位于某一平面内，则它必在该平面内过该点的任一直线上。因而可首先在△ABC内过点K作一辅助线，所求点的水平投影k一定在所作辅助线的水平投影上。在平面上取直线的方法有两种，因此有两种方法作辅助线，如图4.41（b）、（c）所示。
作图：方法一：过点K任作一直线交△ABC于两点，为简便，通常与已知点连线作辅助线。如图4.41（b）所示，连a′k′，并延长与b′c′交于d′，然后求出H投影d，则k必在ad连线上。
方法二：过点K作已知直线的平行线为辅助线。如图4.41（c）所示，过k′作a′c′的平行线e′f′，与b′c′交于e′，然后求出H投影e，作ef∥ac，则k在ef上。
【例4.15】 如图4.42（a）所示，判断点N是否在由平行两直线AB、CD所表示的平面上。
图4.42 判断点是否在平面上
分析：若点在平面上，则点必在平面内的一直线上。为此，可先过点N的一个投影作平面内一条直线的投影，如果点的另一个投影在此直线的同面投影上，则点在该平面上；否则点不在该平面上。
作图：如图4.42（b）所示。
（1）过n′作一辅助线a′n′，交c′d′于e′。
（2）由e′在cd上求得e。
（3）连ae并延长，因n不在延长线上，即点N不在直线AE上，所以点N不在该平面上。
【例4.16】 如图4.43（a）所示，已知梯形平面上三角形的正面投影。求它的水平投影和侧面投影。
图4.43 补梯形平面上三角形的投影
分析：梯形平面为侧垂面，侧面投影有积聚性。也就是说，凡在梯形平面上的点或直线，其W投影均落在梯形平面的积聚投影上，因而可求得三角形的W投影，进而求得三角形的H投影。
作图：如图4.43（b）所示。
（1）利用梯形平面W投影的积聚性，由三角形的正面投影求得其侧面投影m″n″l″。
（2）利用三角形各顶点的V、W投影求得各点的H投影m、n、l，连线完成三角形的水平投影。
【例4.17】 已知平面图形ABCDE的水平投影和两边AB、BC的正面投影，如图4.44（a）所示。试完成平面图形的正面投影，并补出平面的侧面投影。
图4.44 完成平面图形的正面投影和侧面投影
分析：由已知的H投影看出，平面图形中AB∥CD, BC∥DE，且AEC在一条直线上。利用这些几何条件可求得D、E点的V投影。
作图：如图4.44（b）所示。
（1）连a′c′，由e在a′c′上得e′。
（2）作c′d′∥a′b′, d′e′∥b′c′，且相交于d′，完成正面投影作图。
（3）根据各点的水平投影和正面投影，作出各点的侧面投影（在水平投影右侧适当位置画出45°辅助线），连线完成作图，注意a″b″∥c″d″、b″c″∥d″e″、a″e″c″在一条线上。
3．平面上的投影面平行线
平面上平行于投影面的直线称为平面上的投影面平行线。平面上的投影面平行线经常用于辅助解题，需熟练掌握。一般面内的投影面平行线有3种，即平面内的水平线、平面内的正平线和平面内的侧平线，如图4.45所示。
图4.45 平面上的投影面平行线
平面上的投影面平行线，既具有平面上直线的投影性质，又具有投影面平行线的投影特性。因此，在平面上作投影面平行线时，应先作出平行于投影轴的投影，然后再按直线与平面的从属关系作出其他投影。如图4.45（a）所示，要在一般面ABC上作一水平线，可根据水平线的V投影平行于OX轴的这个投影特点，先在平面ABC的正面投影上作一平行于OX轴的直线（为作图简单，一般通过一已知点），此为所求水平线的V投影。然后利用平面上直线的投影性质，作出它的H投影。同理，可在平面上作出正平线和侧平线，如图4.45（b）和图4.45（c）所示。
同一平面上的3组投影面平行线每一组相互平行，方向一致。
【例4.18】 如图4.46（a）所示，在△ABC平面上求作一点K，使点K比点A低10mm、前12mm。
图4.46 平面上取点
分析：
平面上满足比点A低10mm的点的集合是平面上的一条水平线，满足比点A前12mm的点的集合是平面上的一条正平线，同时满足这两个条件的只有唯一的一个点即水平线与正平线的交点。
作图：如图4.46（b）所示。
（1）作比点A低10 m m的水平线DE。在V面，由a′向下量取10 m m作d′e′∥OX，交a′b′于d′，交a′c′于e′，然后求得水平投影de。
（2）作比点A前12 m m的正平线F G。在H面，由a向前量取12 m m作fg∥O X，交ab于f，交ac于g, fg与de的交点k即为所求点K的水平投影，正面投影f′g′与d′e′的交点k′为所求点K的正面投影，注意，k、k′连线垂直于OX轴。