第2章 勾股定理

这时，柯贝内拉拿出一张圆盘板一样的地图，不停地转动着查看。那上面真有一条铁路线沿着白蒙蒙的天河左岸，通向正南方。

——宫泽贤治《银河铁道之夜》

2.1 泰朵拉

“学长？”

“嗯？”

“啊……抱……抱歉吓着你了。”泰朵拉说。

现在是午休时间，我跟泰朵拉一起在高中的楼顶吃着午饭。风儿微凉，但并不影响明媚的阳光给我们带来的好心情。泰朵拉吃着盒饭，我啃着面包。

“没事，嗯……我在想家里亲戚的事。”

“这样啊。”

泰朵拉微微笑了一下，继续吃她的盒饭。

她上高一，是小我一年的学妹。短发，大眼睛，总是笑眯眯的，个子小小的，跟我关系很好，我们总在一起学数学。基本上都是我在教她，不过她经常也会提出一些充满亮点的主意让我吃惊。

“对了，村木老师的卡片呢？”

“哦哦，差点忘了。”

她拿出卡片，上面只写了一句话。

问题2-1

存在无数个基本勾股数吗？

“还是……那么简短。”

“素好短吶……”

泰朵拉大口嚼着煎蛋卷说。

“泰朵拉，你知道基本勾股数吗？”

“那当然，直角三角形斜边的平方等于剩余两边平方的和，对吧？斜边呢，就是跟直角相对的那条边！”

泰朵拉说着，用筷子在空中划出了一个大大的直角三角形。

“……”

“咦？不对吗？”

“你说的，是勾股定理……”

勾股定理

直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和。

“勾股数和勾股定理有什么不一样吗？”

“这个嘛，有关系但是不一样。勾股数指的是可以构成直角三角形三边的一组自然数。”

我和她解释勾股数的定义。

勾股数

自然数a、b、c满足以下关系式时，可将（a, b, c）这一组的三个自然数称为勾股数。

“然后，基本勾股数的定义是这样的。”

基本勾股数

自然数a、b、c满足以下关系式，且a、b、c的最大公约数等于1时，将（a, b, c）这一组数称为基本勾股数。

“也就是说，直角三角形三条边为自然数时，这三个数的组合就是勾股数。要是最大公约数还等于1，那这三个数就是基本勾股数。村木老师的问题就是，是否有无数个这样的基本勾股数。”

“啊……等等，我还不太明白‘最大公约数为1’的意思……”

“那我们来举个例子。打比方说，(a, b, c)=(3, 4, 5)是勾股数对吧？因为32+42=52是成立的，计算一下就会知道9+16=25。然而(3, 4, 5)既是勾股数，也是基本勾股数。3、4、5的最大公约数——也就是能整除这三个数的最大数为1，对吧。”

“……学长，抱歉我的脑子有点跟不上。勾股数和基本勾股数的区别，我还是不太明白……”

“没事，不明白也没什么，再举几个例子。(3, 4, 5)既是勾股数，也是基本勾股数。但是，将这三个数分别乘以2得到的(6, 8, 10)呢？它们虽然是勾股数，但不是基本勾股数。”

“嗯，62=36, 82=64, 102=100，而36+64=100……确实，62+82=102是成立的，所以可以说(6, 8, 10)是勾股数。嗯，到这里我理解了。又因为6, 8, 10的最大公约数是2，所以(6, 8, 10)就不是基本勾股数……能整除三个数的数字只有1，这样的才是基本勾股数，对吧？”

“对，村木老师的问题是，是不是存在无数个这样的基本勾股数。”

泰朵拉一脸认真，默默地思考着。不过因为嘴里咬着筷子，怎么也严肃不起来。不久，她很疑惑地问道：

“学长，很奇怪啊……对于直角三角形的三条边a、b、c，a2+b2=c2总是成立的对吧？然后各种改变边长，就可以造出无数个直角三角形，所以肯定有无数个基本勾股数不是吗？”

“静下心来，想想基本勾股数的条件。”

“咦？……啊，不对不对不对不对不对不对不对！”

泰朵拉呼呼地挥着手里的筷子。

“你一共说了7次‘不对’，是质数。”我说。她还是这么慌慌张张的，如果换成尤里，可能会更淡定一些。泰朵拉还是一如既往地容易忘记条件。

“我不小心把自然数这个条件忘了！三条边中两条可以自由选择，所以满足自然数的条件。但剩下的一边就不一定是自然数了……”

“没错。要处理这个问题，就多找几个(3, 4, 5)这样的基本勾股数的例子如何？”

“明白了，这就是学长你总挂在嘴边的那句‘示例是理解的试金石’对吧？为了帮助自己理解，举出示例——”

泰朵拉真是又率直又有活力。不过……

“我说，你这也太危险了，别到处挥筷子行不行啊？”

“啊……对不起。”

泰朵拉赶紧放下手，满脸通红。