4-2 将“概率的概率”设置为“先验概率”

首先，关键的一点在于类别的设置。在本案例中，我们需要设置的类别是“该夫妇所生的孩子为女孩的概率”，我们用p来记录这一概率。

有的读者可能会条件反射般地认为“概率p难道不应该是0.5吗？”关于这一点，在上节中已经讲过，在统计人类这一整体时，可以认为生男生女出的概率比为1∶1（或近似1∶1），但具体到某一对特定夫妇身上的话，就未必是这个结果了。

因此，“该夫妇所生的孩子为女孩的概率”p，可以是0到1之间的任意自然数。此时，用于表示该夫妇类别的p的取值范围为0≤p≤1，可取的数值有无限个，并且连续分布。据此可以设置类别p，并进行贝叶斯推理，这项工作的难度较大，具体将在第19讲中解说，本节仅做简要说明。

简单来说，可以设置3个p的值，分别为0.6、0.5、0.4。当然了，只要满足条件0≤p≤1的值都可以选取，并且这样做更加符合常理，而本讲为了让大家理解贝叶斯推理的特质，需要首先保证易于理解的问题，因此，只选取三个数值进行探讨。

现在我们已经将“该夫妇所生的孩子为女孩的概率”p设置为0.6、0.5、0.4这三种可能，那么该夫妇一定属于这三种中的一种。也就是说，当p=0.6时，该夫妇生女孩的概率为0.6，当p=0.4时，该夫妇生女孩的概率为0.4。其中，前者说明“该夫妇比较容易生女孩”，后者说明“该夫妇比较容易生男孩”。当然，如果p=0.5，那么说明“该夫妇生男生女的概率相等，各为0.5”。

下一步要做的与以往相同，就是为这三种类别分别设置先验概率。

在这种情况下，想要判断该夫妇究竟属于哪一个类别，是完全没有任何统计数据来支持的，因此依然采用上一讲中的“理由不充分原理”。如图表4-1所示，设置这三种类别的概率各为1/3。

图表4-1 根据理由不充分原理设置的先验概率

读到这里，作为初学者来说难以理解的一点是：为何设置“p=0.4的先验概率”的概率为1/3？可以这样理解：p本身就是一个概率，那么，“p=0.4的先验概率”的概率为1/3，便是“概率的概率”。对于这中思维方式，如果不习惯的话，确实会感到混乱。

理解时的关键是，p代表“生女孩”的概率，而先验概率1/3代表：三种类别的概率p的值，究竟哪一个才是真实的可能性。

换言之，先验概率表示：该夫妇属于哪一个可能世界的概率；概率p表示：该夫妇在各个可能世界中生女孩的概率。也就是说，这两个概率，是不同意义的。

上一讲的观点认为，类别（互不相同的可能世界）与概率是毫无关系的，而本讲中的类别则是通过概率p来表示的。也就是说，该夫妇“生女孩的概率”究竟为0.4？还是0.5？或是0.6？我们无从得知，只能进行推测罢了。于是，运用“理由不充分原理”，将每种情况的先验概率均设置为1/3。

对了，由于从统计学的观点来看待人类整体生男生女的概率问题时，p=0.5的可能性要远高于其他两种情况，那么，在设置先验分布时，也可以进行适当调整。例如，可以将“生女孩的概率为0.4”和“生女孩的概率为0.6”这两种情况的先验概率均设置为0.2，而“生女孩的概率为0.5”的先验概率则设置为0.6。（关于这一点，可在习题部分进行计算练习）

关于先验概率的设置，有一点与之前的内容略有不同：之前都是设置两个类别，而这次设置了三个类别。如果能够顺利理解本讲内容，那么今后即使设置再多的类别，应该也都不成问题了。