2-1 计算罹患癌症的概率

本讲是通过一些容易获取客观数据的案例，对于贝叶斯推理进行说明。需要了解的重点是，理解“如果从客观的数据来考虑的话，反而会容易陷入误解之中”的问题。在这里，你会发现概率的不可思议。

下面，用医疗诊查来举例进行说明。

在医疗发达的当今社会，我们能够获得多数病症的统计数据。另外，在发觉自己出现了一定症状之前，就能够发现病情的技术也在不断发展进步。但是，依然存在一个问题：如何判断通过检查得出的“是/不是X病情”这一结果的准确性呢？

假设，你接受了一项“如果患了特定的癌症的话，结果有95%的概率为阳性的检查”，并且在之后收到了结果为阳性的报告。此时，你会判断自己患该癌症的概率为95%吗？

答案是“不会”。

如果“自己患癌症的概率真的为95%”的话，你肯定会对这个结果感到非常悲观。实际上，对此做出错误判断的人大概有很多吧。但是，从“阳性”这个结果来推断“你患了癌症的概率”，这也并不是一个特别高的数字。

在该推算中，由于是从“阳性”这一“结果”追溯到“患癌症”这一“原因”，因此可看作贝叶斯推理的典型案例。

在本讲中，我们首先进行问题的设定。以下数据是为了简化计算而假设的虚构数值，并非真实的数据。

2-2 根据医疗数据，设定“先验概率”

该推算的顺序，与第一讲中进行的推算顺序完全相同。因为具体事例有所区别，带给各位读者的印象可能会不太一样，因此，下文将沿袭第一讲的方式，对推算的顺序进行详细说明。

这个例子的特殊性在于，先验概率是一项客观存在的流行病学数据。第一讲中已经解释过，先验概率，是“在获得信息之前，各个类别的存在概率”。在这个案例中共有两种类别：一种是“罹患癌症的人”，另一种是“健康的人”。

正如问题设定中所述，这种癌症的罹患率为0.001，因此流行病学认为，1000人中有1人会罹患这种癌症。因此，如果要在检查前推测自己是否罹患这种癌症的话，如下面的图表2-1所示。

图表2-1 根据癌症罹患率得出的先验分布

下面，重新解释一遍该图。

该图表示的是：在接受简易检查诊断之前，判断你是否罹患了癌症的可能性。你所在的世界分为左侧表示“罹患癌症”和右侧表示“身体健康”的两个“可能世界”，而你一定处在这两个可能世界中的一个当中。所以并不知道到底属于哪一个世界，仅仅是作为推测而已。也就是说，世界分为了两个互不相同的部分（可能性分为了两种）。

但是，并非完全没有办法来推测你究竟处在哪个“可能世界”。通过流行病学数据我们知道，这种癌症的罹患率为0.001。也就是说，统计显示，1000人中有1人罹患这种癌症，所以，这可以作为判断你是否罹患该种癌症的参考。如果直接套用的话，可以推算罹患该种癌症的概率为0.001。也就是说，“你究竟属于两个可能世界中的哪一个”的问题，在没有任何个人信息的情况下，属于左侧世界的概率可被推算为0.001，属于右侧世界的概率可被推算为0.999。