卖房子的时机

只需修改经典秘书问题的两个特征，就可以从浪漫的爱情跳进不浪漫的房地产领域。在前文中，我们说过租公寓的过程属于最优停止问题，但是真的拥有房产之后，你仍然难免要与最优停止问题打交道。

假设你想卖房子。在咨询了几个房地产中介之后，你将粉刷一新、带有园林景观的房子推向市场，然后静等有意者上门。每个看房人提出有意购买时，你基本上都要做出决定，要么接受，要么拒绝。但是，拒绝是有代价的，因为在下一个有意购买者上门之前，你需要再支付一周（甚至一个月）的抵押贷款，而且下一个购买者的报价未必更高。

卖房子与全信息博弈比较相似。我们知道有意者愿意付出的具体金额，不仅可以看出谁报出的价格更高，而且可以看出彼此之间的具体差额。此外，我们还掌握有关房地产市场行情的更多信息，至少可以对预计的报价变化幅度做一个大致的预测。（有了这样的预测，就相当于掌握了上述打字测试中的信息。）两者之间的差别在于目标不同。卖房子时，我们的目标其实不是得到最有利的报价，而是通过整个过程最终获取尽可能多的钱。由于等待是有代价的，是要付出真金白银的，因此当前的有利报价比几个月之后略高一点儿的报价更有吸引力。

掌握了这些信息之后，我们就可以省略确定阈值所需的观望阶段，直接确定一个阈值。然后，我们可以忽略所有低于这个阈值的报价，直接接受第一个高于阈值的报价。诚然，如果在某个时间之前不把房子出手，我们有限的积蓄就会消耗殆尽，或者我们只想考虑数量有限的几个报价，对随后的报价不感兴趣，那么在快要达到极限时，我们当然应该降低标准。（购房者喜欢找“积极的”卖主，原因就在这里。）但是，如果没有被这两种情况逼到墙角，那么我们就可以通过成本效益分析，确定是否应该继续观望。

接下来，我们分析一种非常简单的情况：假设我们清楚报价金额的变化幅度，并且在这个变化范围内各种报价出现的可能性是相同的。只要报价不会中断（我们的积蓄也不会花完），我们就可以单纯地考虑我们对收获或损失的期望值，以决定是否继续等待更有利的交易。如果拒绝当前的报价，预计出现更有利报价的可能性是多少？该报价与当前报价之间的差，乘以该报价出现的可能性，乘积是否大于继续等待的成本呢？数学计算的结果清楚地表明，停止价格是等待成本的一个显函数。

无论你出售的是价值高达数百万美元的豪宅，还是摇摇欲坠的棚屋，对这个数学结果都不会有任何影响。你唯一需要关心的是你可能接收到的最高报价与最低报价之间的差值。输入几个具体数字，就可以看出这个算法可以提供给我们大量清楚明了的指导意见。例如，假设我们预计报价金额在400000~500000美元之间。首先，如果等待成本非常低，那么在挑选买主时我们几乎无须有任何顾忌。如果等待下一个报价的成本仅为1美元，那么为了赚取尽可能多的钱，我们可以一直等到有人愿意支付499552.79美元时才出手。少一分钱，我们都不会卖给他。如果每次等待需要付出2000美元的代价，那我们就应该等待480000美元这个报价。如果面对的是一个不景气的市场，每次等待需要耗费10000美元时，那么只要报价高于455279美元，我们就应该立刻出手。最后，假设等待成本为预计报价范围的一半（在本例中，报价变化幅度的一半就是50000美元）或更高时，那么观望对我们来说不会有任何好处，最有利的做法是直接接受第一个报价，然后立刻成交。人在屋檐下，不得不低头。

在这个问题中，阈值完全取决于搜寻成本，这也是这类问题需要注意的关键要点。下一个报价令人心动的可能性（以及搜寻成本）都不会发生任何变化，因此，无论运气如何，我们在搜寻过程中都无须降低最优停止价格。一旦确定最优停止价格之后（即使这是我们在将房子推向市场之前做出的决定），我们就再也不要有任何动摇。

卖房子问题的最优停止阈值

威斯康星大学麦迪逊分校的优化专家劳拉·阿尔伯特·麦克莱回忆说，她在卖房子时，就用到了最优停止问题的相关知识。她说：“我们收到的第一个报价就非常高，但是他们希望我们比预计的搬离日期早一个月搬走。这个代价太大了。这时候，又有人报出了一个有竞争性的报价……但是我们一直不为所动，直到最后有人报出了令我们满意的报价为止。”对很多卖家而言，建议他们拒绝一两个优厚的报价都会让他们神经紧张，如果随后的报价比不上前者，那么他们就会更加紧张。但是，麦克莱很冷静，坚守立场没有动摇。她承认：“如果我不知道数学计算的结果，就很难坚持下来。”

在任何情况下，只要你可以得到一系列报价，而寻找或等待下一个报价需要付出一定成本时，就可以应用上述准则。因此，除了卖房子，在很多情况下我们都可以考虑这条准则。例如，经济学家利用这个算法构建的找工作模型，可以轻而易举地解释失业工人与空缺岗位并存这个看似矛盾的事实。

事实上，最优停止问题的这些变种还有一个更令人吃惊的特性。前面说过，在开普勒寻觅爱情的过程中，可以“复活”之前被自己拒绝的机会是一个非常重要的条件。但是，在卖房子或者找工作时，即使我们可以重新考虑之前的报价或工作邀请，即使我们可以肯定那个报价或工作邀请仍然有效，我们也绝不应该重新考虑它。如果之前它没有达到阈值的要求，那么现在它也不会高于阈值。在拒绝那个报价或工作邀请之后，我们的付出已经成为已支付成本。因此，不要妥协，不要试图亡羊补牢。坚持住，不要回头！