渐开线塑料齿轮齿廓偏差影像法测量的不确定度和抽样检验统计特性

郑卫 许耀东

摘要：应用影像法，对渐开线塑料齿轮齿廓偏差进行测量。由于塑料齿轮在机械加工中受机械应力和热应力影响较大，而导致齿廓应变较大，为精确反映塑料齿轮的齿廓偏差，并判定塑料齿轮齿廓公差的精度等级，对测量中出现的回转偏心误差、回转分度误差、瞄准示值误差和重复性测量误差，进行了不确定度的A类和B类综合评定。并通过统计控制方法中的极差控制图进行分析，得到相同的评定结果。利用对塑料齿轮单齿齿廓偏差的检验，结合随机抽样检验的原理，对塑料齿轮齿廓精度等级进行了判定。最终得出被测机械加工塑料齿轮，齿形误差较大，超出国标中规定的齿轮精度等级的范围，适合实验室模型展示而不适合用作工业齿轮的结论。

关键词：影像法测量 齿廓偏差 不确定度A类评定B类评定 极差控制图 随机抽样检验 齿轮齿廓精度等级

一、引言

齿廓偏差又称齿形偏差，它是在端截面上，齿形工作部分内（齿顶倒棱部分除外）包容实际齿形且距离为最小的两条设计齿形间的法向距离。对于渐开线齿轮齿廓偏差，是指渐开线展开线的长度在齿廓法线方向上实际齿廓相对于理论齿廓的变化量（见图1）。通常齿廓偏差用Δff表示，齿廓偏差的公差用ffα表示。

齿廓偏差测量方法有展成法、坐标法、投影法和啮合法。展成法测量，是对齿廓实际展开线长度，与理论渐开线展长度作比较，而得到齿廓偏差误差。本文是利用影像测量仪对塑料齿轮齿廓偏差进行展成影像测量。由于塑料齿轮在加工过程中存在机械应力和热应力的作用，而使齿廓产生应变。通过分析齿廓偏差产生误差的原因，利用A类和B类综合评定法对塑料齿轮齿廓偏差的不确定度进行评定。另通过质量统计中的极差控制图法，可对测量误差的上下限进行界定。利用齿轮偏差允许公差的计算公式，并结合抽样检验的理论，可对单齿齿廓偏差抽样检验整个齿轮的齿廓偏差等级进行判定。

二、测量原理

（一）渐开线展开线及展开角

如图1所示，齿轮展开角为φ1时，渐开线展开线的长度为ρ1，当展开角为φ2时，渐开线展开线的长度为ρ2。若展开角的增量为φx，渐开线展开线实际长度增量与理论长度增量之差即为齿廓偏差误差一次测量的数值。

影像法测量齿廓偏差主要应用在模数较小的齿轮或刚性较差的软质齿轮。本文中测量的齿轮为刚性较差的塑料模型齿轮，应用影像法进行测量。

（二）影像法测量原理

影像法测量齿廓偏差时，需在影像测量仪上加装回转工作台，调整齿轮位置，使齿轮中心和回转工作台中心重合。影像测量仪屏幕中观察的十字线要与滑台滑动方向一致。测量时，移动X滑台，将屏幕中十字线的竖线与齿轮的一边齿廓相切，如图2所示，确定为起始点移距ρ0-1。根据GB/Z18620.1-2002齿轮检验的规定，通常测量应在邻近齿高的中部和（或）齿宽的中部进行，所以测量起始相切点要离开齿根圆至少（0.6～1）倍的齿轮模数，以使相切点在渐开线齿廓上，而不是相切在非渐开线的齿根位置。转动工作台，使齿轮转动一个角度增量ϕx，移动X滑台与齿廓一边再次相切，则影像测量仪中显示的位移与初始位置之差即为实际渐开线展开线的长度增量数值，该数值与理论展开线长度增量的差值即为测量位置的齿廓偏差误差。依次转动工作台，应用上述同样方法对齿廓多个位置进行测量，取测量误差的最大值和最小值之差即为齿廓偏差的数值。对单个齿廓测量，需对左右齿廓分别进行测量，取极差的最大值。由于影像法测量中存在齿轮与回转工作台的偏心误差、回转工作台的分度误差、瞄准示值误差，以及重复性测量误差，导致齿轮齿廓偏差的测量结果应在一个区间范围内。可通过A类和B类评定不确定度的方法确定测量结果的区间。也可以通过极差控制图对极差上下限进行界定，最终可确定齿廓偏差的测量结果。

三、单齿廓偏差影像法测量

试验中采用数显影像测量仪，测量附件选用回转工作台，被测塑料齿轮模数m为3mm，齿数为41。用影像法测量齿廓偏差的步骤如下：

（1）将被测齿轮置于回转工作台上，调整齿轮中心与圆工作台旋转中心重合，如图3所示。

（2）移动X滑台，使十字线垂直刻线通过齿轮中心。然后再移动X滑台，使十字线垂直刻线与齿轮轮廓相切，如图4所示，相切点距离齿根位置大约为2.5mm。记下读数y0，作为测量的起始点。

（3）按预先选定的间隔，确定齿轮旋转的角度ϕ（一般间隔1°）。

（4）求出理论展开弧长的增量。当压力角α=20°时，y=0.0082 m zφ。

（5）依次转动工作台，每转动1°，即移动X滑台，使十字线垂直刻线与齿廓相切，记下每次读数y′。

（6）将每次测量点的y′-y0即可求出实际的展开弧长增量。

（7）将实际的展开弧长增量与理论的展开弧长增量求差，即可求出每次测量点的齿廓偏差。

（8）取所有测量点的齿廓偏差的最大值减去最小值，即可最终求出渐开线齿轮的齿廓偏差。

实际测量中选择齿轮的左右齿面进行测量，具体测量数据如表1所示。

四、齿廓偏差影像法测量误差

影像法测量齿廓偏差主要误差有四种：回转分度误差、回转偏心误差、瞄准示值误差和重复性测量误差。

（一）回转工作台的分度误差

假定回转工作台的分度误差为e1，则e1=rbΔφx

式中：Δφx为回转工作台的制造误差，此处取± 30″（± 0.000145 rad）;rb为被测齿轮基圆半径。

α为被测齿轮分度圆压力角。

已知rb==3×41×cos20°/2=57.7911mm

e1=0.0084mm

根据测量仪器度盘产生分度误差服从均匀分布的原则，假定分度误差引起的标准不确定度为u1，则。

（二）齿轮与回转工作台偏心误差

在调整齿轮中心和影像测量仪的回转工作台中心重合时，会存在圆心重合度误差，即偏心误差，根据实际调整状况，此处取40μm。

齿轮与回转工作台中心不重合最终影响到齿廓产生的偏心误差e2=40tanα=15μm。

根据圆形度盘偏心引起的误差服从反正弦分布的原则，假定齿轮与回转工作台偏心误差e2引起的标准不确定度为u2，则。

（三）瞄准示值误差

试验中，选用的影像测量仪的分辨率为±5μm，所以测量时瞄准对齐引起的示值误差e3=±5μm。由于数字式仪器在分度值内的示值误差服从均匀分布的原则，假定由于仪器读数误差引起的标准不确定度为u3，则。

（四）测量重复性误差

由于齿廓偏差反映的是单次测量的波动性，对于齿廓偏差的重复性测量误差是通过单次测量值的标准偏差S（x）来衡量的。分别对单个齿左右齿廓测量，得到两组数据。根据公式，对两组数据分别求出标准偏差S1=27μm, S2=34μm，其中n为每个齿廓上重复测量次数。合成标准偏差Sp=（S 1+S 2）/2=30.5 μ m。

假定测量重复性误差e4产生的标准不确定度为u 4，则u 4=Sp=30.5 μ m。

（五）测量不确定度评定

根据前面的分析，回转分度误差、回转偏心误差、瞄准示值误差产生的不确定度是采用B类方法评定，体现测量仪器的精度及测量系统误差因素。重复性测量误差产生的不确定度采用A类方法评定，体现测量结果的随机性误差。最终测量结果的不确定度采用A类和B类综合评定如下。

（1）合成标准不确定度u

（2）扩展不确定度U95

由于测量过程具有随机性，为表达测量结果，取大多数情况下包含因子k95=2，扩展不确定度U95= ±k95 ·u= ±2u= ±66μm，置信概率p=95%。

单齿廓偏差测量结果f=±66μm=（87±66）μm（k95=2, p=0.95）。

从上面的结果可以看出，测量结果的标准不确定度偏大为33μm，而其中A类不确定度为30.5μm，占到92.4%, B类不确定度占7.6%，说明被测塑料齿轮测量结果不确定度受测量仪器本身的影响较小，受齿轮齿廓本身的质量影响较大，齿廓表面的不平整性是影响齿廓偏差的主要因素。

五、极差统计控制

对于齿廓偏差的误差来说，是反映的最大值和最小值之差。并且测量过程是在左右齿廓上进行，获得两组数据，如表2所示，这两组数据可以看作是总体中抽取的两个样本。而齿廓偏差实际上是样本的极差。应用统计过程控制方法，对两组数据的极差分析如下。

应用极差R控制图的统计特性可得

中心值CL=R=0.0867mm=86.7μm

上限

下限

六、单齿齿廓测量的抽样特性

在进行单齿齿廓测量时，由于单个齿廓是从多个齿随机选择的，所有具有随机抽样特性。于是可以通过对单个齿廓的测量来判定整个齿轮齿廓的质量。假定总体N中选取大小为n的样本，Ac为样本中允许的不合格数，对于一次抽样设定检验方案为[N, n, Ac]。

已知在随机抽取的样本中，只有不合格品数d≤Ac时，才能判该批产品被接收。若以p（d）表示样本n中恰好有d件不合格品的概率，则接收概率L（p）的一般公式为

p（d）的计算可以用泊松分布计算公式做近似计算：

其中：p为总体；N为允许的不合格率。

试验中测量的齿轮齿数为41，假定齿轮齿廓的不合格率为0.1，选用单个齿廓对齿轮齿廓精度进行判定，抽样检验的方案为[41,1,0]。该方案是对41个齿轮齿廓选取样本1，即单个齿廓进行抽样检验，不合格齿廓数为0。该抽样方案可接受的概率为

七、齿廓精度等级判定

根据GB/T10095.1-2001渐开线圆柱齿轮精度、轮齿同侧齿面偏差的定义和允许值，已知5级精度齿轮齿廓形状偏差的公差, d=50/125/180/…, mn=0.5/2/3.5, …（式中mn、d指模数或法向模数和分度圆直径，其取值为分段界限值的几何平均值，而不是实际值）。相邻精度等级间的公比等于。

经计算被测齿轮分度圆直径d=mz=123mm

5级精度齿轮齿廓形状偏差的公差ffα=2.5× +0.17× +0.5≈6μm

13级精度齿轮齿廓形状偏差的公差为

14级精度齿轮齿廓形状偏差的公差为

15级精度齿轮齿廓形状偏差的公差为

根据前面应用A类和B类不确定度综合评定可知，单齿廓偏差测量结果为f=（87±66）μm, k95=2, p=0.95。齿廓偏差的最大值为153μm。由于136μm＜153μm＜192μm，该齿轮齿廓的精度等级为15级。另外应用极差R控制图的控制上限为167 μm，比A类和B类综合评定的齿廓误差上限153μm略大，但对齿轮齿廓偏差精度等级判定结果一样，都是15级。根据抽样检验特性，单齿廓抽样检验整体齿轮齿廓精度等级的可接受率为90%。然而值得注意的是，被测齿轮精度等级已经超出了根据GB/T10095.1-2001所规定的齿轮精度的13个等级，其中0级最高，12级为最低精度等级。究其原因是因为被测塑料齿轮在机械加工过程中，受到机械力和温度的影响，在齿廓上产生机械应力和热应力，进而导致齿廓产生应变，最终使齿廓出现非圆弧和飞边现象，影响了齿廓精度。齿形误差过大，将影响传动平稳性、齿高方面载荷分布均匀等。所以被测塑料齿轮并不能用作工业齿轮，只能以模型展示。

八、结语

影像法测量齿轮齿廓偏差时存在齿轮回转偏心误差、回转分度误差、瞄准示值误差和重复性测量误差。通过对单齿左右齿廓的影像测量，应用不确定度的A类和B类综合评定，获得齿廓偏差的测量结果。此测量结果，与通过统计控制方法中的极差控制图分析得到齿廓偏差的控制界限相比略小。利用相邻精度齿轮的几何公比特性，确定被测单个齿廓的精度等级。根据单齿廓测量符合随机抽样检验的特性，通过泊松分布求出单齿廓抽样检验整体齿轮齿廓的可接受性概率，并对整个齿轮齿廓公差的精度等级进行了判定。经检验被测塑料齿轮由于机械加工过程存在机械应力和热应力而使齿廓产生较大变形，导致齿廓出现非圆弧和飞边现象，影响了齿廓精度。齿廓表面的不平整性是影响齿廓偏差不确定度的主要因素，测量仪器本身对不确定度影响较小。另外由于机加工的塑料齿轮精度偏低，一般不作工业齿轮使用，多用于实验室齿轮模型展览和机构演示当中。