1.5　手算实例详解

【例1-1】　某砂土试样，各粒组含量百分比如图1-18所示，试确定砂土名称。

【解】　（1）粒径d>2mm含量占31％，在25％～50％之间，定为砾砂；

（2）粒径d>0.5mm含量占56％>50％，定为粗砂；

（3）粒径d>0.25mm含量占71％>50％，定为中砂；

（4）粒径d>0.075mm含量占87％>85％，定为细砂；

（5）粒径d>0.075mm含量占87％>50％，也可定为粉砂。

根据表1-7的表注，粒组含量由上到下以最先符合者确定，因此可确定此砂土试样为砾砂。

【例1-2】　某饱和土体积为240cm3，土的重量为4.0N，土烘干后重量为3.0N，求w、ds、e及γd。

【解】　饱和土体是指孔隙中全部被水充满，故三相图变成了两相图，则水的重力为4.0-3.0=1.0（N）。水的体积Vw=1.0/10×103=100（cm3），土粒体积Vs=240-100=140（cm3），则：

【例1-3】　在某住宅地基勘察中，已知一个钻孔原状图试验结果为：土的密度ρ=1.75g/cm3，土粒相对密度ds=2.80，土的含水量w=20.0％，试求其余6个物理指标。

【解】　（1）绘制三相计算草图。

（2）令V=1cm3。

（3）已知，故m=1.75g。

（4）已知，所以mw=0.20ms；

又知：mw+ms=1.75g，所以；

故：mw=m-ms=1.75-1.458=0.292（g）。

（5）Vw=0.292cm3。

（6）已知，所以。

（7）孔隙体积Vv=V-Vs=1-0.520=0.480（cm3）。

（8）气相体积Va=Vv-Vw=0.480-0.292=0.188（cm3）。

至此，三相草图中8个未知量全部计算出数值。

（9）根据所求物理性质指标的表达式可得：

①孔隙比

②孔隙度

③饱和度

④干密度

⑤饱和密度

⑥饱和容重

γsat=19.38kN/m3

⑦有效密度

ρ'=ρsat-ρw=1.938-1.0=0.938（g/cm3）

⑧有效容重

γ'=γsat-γw=19.38-10=9.38（kN/m3）

上述三相计算中，若设Vs=1cm3，与设V=1cm3计算可得相同的结果。

【例1-4】　某黏性土的天然含水量w=34.6％，液限wL=43.2％，塑限wP=22％，试求该土的塑性指数IP和液限指数IL，并确定该土的状态。

【解】　

IP=（wL-wP）×100=43.2-22=21.2

查表1-14知，该土的状态为可塑。

【例1-5】　某地基土试验中，测得土的干容重γd=14.9kN/m3，含水量w=18.3％，土粒相对密度ds=2.69。液限wL=27.8％，塑限wP=16.5％。

试求：（1）该土的孔隙比e、空隙度n及饱和度Sr；

（2）该土的塑性指数IP、液性指数IL，并定出该土的名称及状态。

【解】　（1）求e、n、Sr。

令Vs=1，则Vv=e；其他依定义填入图1-19中。由图有：

（2）求IP、IL及定名、定态。通常来说，只有黏性土才需要稠度试验，求得液限wL、塑限wP后，从而求得它的定名指标——塑性指数IP，定态指标——液性指数IL。再进一步细分时，就需计算IP与IL的具体数值。

IP=wL-wP=27.8-16.5=11.3

因为10<IP<17，0<IL<0.25，所以该土为硬塑的粉质黏土。

【例1-6】　某土样φ=23°，c=25kPa，承受大小主应力分别为σ1=430kPa，σ3=155kPa，试判断该土样是否达到极限平衡状态。

【解】　已知最小主应力σ3=155kPa，现将φ=23°，c=25kPa，σ1=430kPa，代入土中某点的极限平衡状态方程：

计算结果可认为σ3的计算值与已知值相等，所以可以判断该土样处于极限平衡状态。

【例1-7】　设砂土地基中某点的大主应力σ1=460kPa，小主应力σ3=220kPa，砂土的内摩擦角φ=30°，黏聚力c=0，试判断该点是否破坏。

【解】　按某一平面上τ的与τf对比来判断可知，破坏时土中出现的破裂面与大主应力作用面的夹角。所以，作用在与主应力作用面成角平面上的法向应力σ、剪应力τ和抗剪强度τf，计算为：

τf=σtanφ=280×tan30°=161.66（kPa）>τ

因为破裂面上的抗剪强度τf大于剪应力τ，所以可判断该点未发生剪切破坏。

【例1-8】　某粉土地基如图1-20所示，试按理论公式计算地基承载力设计值。

【解】　根据φk=20°查表1-27得：Mb=0.51，Md=3.06，Mc=5.66。

【例1-9】　某厂房墙基，上部轴向荷载Fk=180kN/m，基础埋深1.1m，地基为粉质黏土，γ=19kN/m3，IL=0.75，地基承载力特征值fak=200kPa，试确定基础宽度。

【解】　（1）初步确定基础宽度

fa暂用fak代入公式得：

取基础宽b=1.0m。

（2）修正后地基承载力特征值计算。查表1-26得，IL=0.75≤0.85，承载力修正系数ηb=0.3，ηd=1.6。

b<3m，按3m计算：

fa=fak+ηbγ（b-3）+ηdγm（d-0.5）=200+1.6×19×（1.1-0.5）=218.2（kPa）

（3）验算地基承载力

所以基础宽度取1.0m满足要求。

【例1-10】　某基础尺寸为16m×32m，基础埋深4.4m，基础底面以上土的加权平均重度γm=13.3kN/m3，作用于基础底面相应于荷载效应准永久组合和标准组合竖向荷载值分别为122880kN和153600kN，在深度12.4m以下有软弱下卧层，fak=146kPa，深度12.4m以上土的加权平均重度γm=10.5kN/m3，试验算软弱下卧层地基承载力（设地基压力扩散角θ=23°）。

pc=γmh=13.3×4.4=58.5（kPa）

pcz=γmh=10.5×12.4=130.2（kPa）

软弱下卧层顶面经深度修正后地基承载力特征值为

fa=fak+ηbγ（b-3）+ηdγm（d-0.5）

ηb=0，ηd=0

fa=146+1.0×10.5×（12.4-0.5）=146+124.95=271（kPa）

pz+pcz=139.8+130.2=270（kPa）≤fa=271kPa，满足要求。

【例1-11】　试确定图1-21所示某框架柱下基底面积尺寸。

【解】　（1）试估算基础底面积。深度修正后的持力层承载力特征值为：

设长宽比，则A=lb=2b2，从而进一步有

l=2b=2×2.5=5.0（m）

（2）计算基底压力

（3）验算持力层承载力

pk=161.6kPa<fa=275.6kPa

pkmax=290.05kPa<1.2fa=1.2×275.6=330.7（kPa）

所以b=2.5m，l=5.0m可满足要求。

【例1-12】　某柱基底面尺寸为3.0m×3.5m，埋置深度2.2m。地下水位埋深为地面下1.2m，埋深范围内有两层土，其厚度分别为h1=0.6m和h2=1.5m，天然重度分别为γ1=15kN/m3和γ2=20kN/m3，基底下持力层为黏土，天然重度γ3=23kN/m3，天然孔隙比e0=0.95，液性指数IL=0.90，地基承载力特征值fak=300kPa。试问修正后地基承载力特征值。

【解】　（1）基础底面以上加权平均重度

（2）查表1-26，持力层的e和IL均大于0.85，故

ηb=0，ηd=1.0

（3）修正后地基承载力特征值

fa=fak+ηdγm（d-0.5）=300+1.0×18.57×（2.2-0.5）=331.569（kPa）

【例1-13】　柱基础底面尺寸为2.4m×2.0m，作用在基础底面的偏心荷载Fk+Gk=240kN［图1-22（a）］。如果偏心距分别为0.2m、0.4m和0.6m，试确定基础底面应力数值，并绘出应力分布图。

【解】　（1）当偏心距e=0.2m时，因为e=0.2m<b/6=2.4/6=0.4（m），所以基础底面最大应力和最小应力分别为

此时，应力分布图如图1-22（b）所示。

（2）当偏心距e=0.4m时，由于e=0.4m=b/6，所以基础底面最大应力和最小应力分别为

此时，应力分布图如图1-22（c）所示。

（3）当偏心距e=0.6m时，由于e=0.6m>b/6=0.4m，所以基础底面最大应力为

基础受压宽度计算为

此时，应力分布图如图1-22（d）所示。

【例1-14】　某建筑物的箱形基础宽9m、长22m，其持力层情况如图1-23所示，承载力特征值fak=185kPa，箱形基础埋置深度d=4m，已知地下水位在地面下2m处，试确定黏土持力层的承载力特征值。

【解】　由于箱形基础宽度b=9m>6m，故按6m考虑；d=4m，持力层为黏土，IL=0.75<0.85，e=0.81<0.85，所以查表1-26可得ηb=0.3，ηd=1.6。

由于基础埋在地下水位以下，所以持力层的γ取有效重度为：

γ'=19.1-10=9.1（kN/m3）

【例1-15】　某柱基础作用于设计地面处的柱荷载设计值、基础尺寸、埋置深度及地基条件如图1-24所示，地下水位在2.4m处，试验算持力层的强度。

【解】　b=3m，d=2.4m，持力层为黏土，由于IL=0.82<0.85，e=0.72<0.85，所以查表1-26可得ηb=0.3，ηd=1.6。

基底以上土的加权平均重度为

持力层承载力特征值为

基底平均压力为

满足要求。

基底最大压力的计算如下：

M=105+67×2.4=265.8（kN·m）

故

故持力层的承载力满足要求。

【例1-16】　某承重墙下条形基础，埋置深度为0.8m，上部结构传至基础顶面的竖向力值Fk=187kN/m，地基为黏性土，IL=0.85，γ=24kN/m3，地基承载力特征值fak=144kPa。试求条形基础的最小宽度b。

【解】　（1）先按fak初步确定基础底面尺寸，即

取b=1.4m。

（2）地基承载力特征值修正。IL=0.85，查表1-26可得ηb=0，ηd=1.0，则

（3）计算基础宽度，得

故取b=1.4m，满足要求。

【例1-17】　图1-25为有吊车的工业厂房柱下基础，各种必要的数据附于图1-25中。地基为粉质黏土，γ=19kN/m3，e=0.95，fak=230kPa。试确定出矩形基础的底面尺寸。

【解】　（1）按轴心荷载作用条件，初步估算所需的基础底面积A，即

（2）考虑到荷载的偏心，将底面增大25％，即

A=1.25A'=1.25×11.21=14.01（m2）

取基础的边长比为b/l=2，所以A=bl=2l2=14.01（m2），解得b=5.4m，l=2.7m。

（3）计算基底最大压力。基础及其回填土重量为

Gk=20×5.4×2.7×2.0=583.2（kN）

基底处总的竖向荷载为

Fk+Gk=1900+230+583.2=2713.2（kN）

基底处总的力矩荷载为

Mk=950+190×1.2+230×0.62=1321.8（kN·m）

偏心距为

基底最大压力为

（4）验算。地基承载力特征值修正：e=0.9，查表1-26可得ηb=0，ηd=1.0，则

由于　1.2fa=1.2×258.5=310.2（kPa）>pkmax=286.79kPa

故符合要求。

【例1-18】　已知作用于图1-26所示单元底面形心处的总竖向荷载为Fk+Gk=380kN，向墙垛一侧方向作用的总力矩荷载为Mk=24kN·m，地基为粉土，γ=19kN/m3，ρc=12％，fak=130kPa。试验算图1-26所示带壁柱基础的底面尺寸是否合适。

【解】　底面积为

A=1×3+1×0.4=3.4（m2）

形心轴线到外墙边的距离为

形心轴线至墙垛边的距离为

y2=1.4-y1=1.4-0.58=0.82（m）

形心轴线至墙中线的距离为

0.58-0.5=0.08（m）

形心轴线至墙垛中线的距离为

0.5+0.2-0.08=0.62（m）

底面对形心轴线的惯性矩为

地基承载力特征值修正：粉土，ρc=12％>10％，查表1-26可得ηb=0.3，ηd=1.5，基础宽度小于3m，取b=3m，则

验算基底平均压力：

满足要求。

验算基底最大压力：

满足要求。

验算基底最小压力：

表明偏心受压公式适用。

根据以上验算可知，图1-26所示基底尺寸满足地基承载力要求。

【例1-19】　某矩形基础底面尺寸为2m×2m，基底附加压力p0=185kPa，基础埋深3.0m，土层分布：0～4.0m为粉质黏土，γ=18kN/m3，Es=3.3MPa，fak=185kPa，4.0～7.0m为粉土，Es=5.5MPa，7m以下中砂，Es=7.8MPa，有关数据见表1-34，按照《建筑地基基础设计规范》（GB 50007—2011），当地基变形计算深度zn=4.5m时，试计算地基最终变形量。

【解】　计算zn深度范围内压缩模量的当量值，有

p0=185kPa=fak，ψs=1.282

地基最终沉降：

s=ψss'=1.282×81.4=104.4（mm）

【例1-20】　某多层房屋建在稳定的土质边坡坡顶，采用墙下混凝土条形无筋扩展基础，混凝土强度等级C15。基础及边坡情况如图1-27所示。试计算基础底面外边缘线至坡顶的最小水平距离。

【解】　由式（1-63）可知

所以基础底面外边缘线至坡顶的最小水平距离为3.75m。

【例1-21】　如图1-28所示为某天然稳定土坡，坡角35°，坡高5.0m，坡体土质均匀，无地下水，土的e和IL均小于0.85，γ=18kN/m3，fak=160kPa，坡顶部位拟建工业厂房，采用条基，作用于基础顶面的竖向力Fk=350kN/m，基础宽度2.0m，按厂区整体规划，基础底面边缘距坡顶4m。试问条基的埋深应多少才能满足要求。

【解】　（1）基础埋深应满足坡顶到基底的最小距离的要求。对于稳定土坡坡顶上的建筑，当垂直于坡顶边缘线的基础底面边长小于或等于3m时，条形基础应满足式（1-63）且不得小于2.5m。

得d≥2.1m。

（2）埋置深度需要满足承载力的要求。由题意可知ηb=0.3，ηd=0.6

fa=fak+ηbγ（b-3）+ηdγm（d-0.5）=160+1.6×18×（d-0.5）=145.6+28.8d

由式（1-29）得

pk≤fa

175+20d≤145.6+28.8d

d≥3.34m

基础埋深d=3.34m。

【例1-22】　如图1-29所示，试设计某工业厂房柱基础。已知：柱截面尺寸500mm×1000mm，上部荷载Fk=2200kN，作用于基础上的弯矩Mk=800kN·m，剪力Qk=50kN，基础埋置深度为2.2m。地质条件：上部为填土，厚0.8m，γ=16kN/m3；其下为一般黏性土，γ=17.5kN/m3，e=0.83，IL=0.75，IP=10，fak=230kPa。

【解】　（1）先按中心受压初步估算所需的基础底面积A：

（2）考虑到荷载的偏心，将底面增大30％，即

A=1.3A'=1.3×11.83=15.38（m2）

取基础的边长比为b/l=2，故A=bl=2l2=15.38（m2），取b=5.6m，l=2.8m（与柱截面相应）。此时基底面积为

A=5.6×2.8=15.68（m2）>15.38m2

（3）计算基底最大压力。基础及其回填土重量为

Gk=20×5.6×2.8×2=627.2（kN）

基底处总的竖向荷载为

Fk+Gk=2200+627.2=2827.2（kN）

基底处总的力矩荷载为

Mk=800+50×2=900（kN·m）

偏心距为

基底最大压力和基底最小压力分别为

（4）验算。地基承载力特征值修正：一般黏性土，e=0.83<0.85，IL=0.75<0.85，查表1-26可得ηb=0.3，ηd=1.6。基础宽度l=2.8m<3m，故只需深度修正。

pkmax=242.11kPa<1.2fa=1.2×276=331.2（kPa）

pkmin=118.49kPa>0

设计满足要求。

【例1-23】　已知某厂房柱基础所受到的荷载如图1-30所示。地基为较均匀的黏性土，其e=0.75，IL=0.82，γm=19kN/m3，地基承载力特征值fak=185kPa。试确定基础底面尺寸。

【解】　（1）地基承载力特征值修正：一般黏性土，其e及IL均小于0.85，查表1-26可得ηb=0.3，ηd=1.6，则fa=fak+ηdγm（d-0.5）=185+1.6×19×（2.0-0.5）=230.6（kPa）。

（2）先按中心受压初步估算所需的基础底面积：

（3）考虑到荷载的偏心，将底面增大40％，即

A=1.4A'=1.4×3.52=4.92（m2）

取基础的边长比为b/l=1.6，故

取l=1.7m，则b=2.72m。

（4）计算基底最大压力。基础及其回填土重量为

Gk=20×1.7×2.72×2.0=184.96（kN）

基底处总的竖向荷载为

Fk+Gk=580+90+184.96=854.96（kN）

基底处总的力矩荷载为

Mk=120+90×0.62+（2.0-0.8）×45=229.8（kN·m）

偏心距为

基底最大压力和基底最小压力分别为

（5）验算

pkmax=251.2kPa<1.2fa=276.72（kPa）

pkmin=62.8kPa>0

设计满足要求。

【例1-24】　已知一带壁柱墙的基础埋置深度1.30m，地基为黏性土（ηb=0，ηd=1.0），γm=16kN/m3，fak=105kPa。墙的宽度、长度和壁柱尺寸如图1-31所示，相邻壁柱的中心距为3.3m，作用于基础顶面的竖向力Fk=392kN，Mk=14.7kN·m，试设计此偏压基础。

【解】　（1）深度修正后的地基承载力特征值为

fa=fak+ηdγm（d-0.5）=105+1.0×16×（1.30-0.5）=117.8（kPa）

（2）估算基础底面积

偏心受压取A=4.27×1.1=4.70（m2）。

按构造确定壁柱基底面积为0.24×1=0.24（m2），故基础宽度为

于是沿墙纵向3.3m长的基础底面积为

A=3.3×1.35+0.24×1=4.7（m2）

（3）确定T形基础底面的形心的位置。按材料力学求截面形心的方法，T形截面墙形心位置为

T形截面基础形心位置为

基础形心与墙中线的距离为

基础形心与T形截面墙形心的距离，即竖向荷载Fk的偏心距为

（4）荷载计算。现将各力向基础形心简化，得附加偏心力矩为

392×0.0144=5.65（kN·m）

Fk+Gk=392+20×1.3×4.7=514.2（kN）

（5）验算基底尺寸

按材料力学惯性矩平行移轴公式，得

满足设计要求。

【例1-25】　某建筑物基础宽度b=3.5m，长度l=3.8m，埋置深度d=3.2m。承受上部结构荷载Fk=2800kN，Mk=80kN·m。其地基土层的分布如图1-32所示。现从粉质黏土层中取原状土样进行三轴剪切试验，测得抗剪强度参数的试验数据见表1-35。试确定粉质黏土层的地基承载力。

【解】　由0.116（m）得知，可以采用式（1-38）计算地基承载力。

（1）计算粉质黏土层的抗剪强度参数c、φ的标准值。标准差为

变异系数为

统计修正系数ψφ、ψc分别为

ck=ψccm=0.946×12.16=11.50（kPa）

φk=ψφφm=0.969×26.285°=25.47°

（2）利用理论公式［即式（1-38）］计算地基承载力特征值。由于φk=25.47°，查表1-27得

又已知γ=19kN/m3，γm=16kN/m3，b=3.5m，d=3.2m，则

【例1-26】　某柱基础，作用于设计地面处的柱荷载设计值、基础尺寸、埋置深度及地基条件如图1-33所示，地下水位在2.2m处，试验算软弱下卧层的强度。

【解】　（1）下卧层承载力特征值计算。因为下卧层系淤泥质土，查表1-26可得ηd=1.0。

下卧层顶面埋置深度为

d'=d+z=2.2+3.5=5.7（m）

土的平均重度为

下卧层承载力特征值只进行深度修正，即

faz=fak+ηdγm（d-0.5）=78+1.0×12.12×（5.7-0.5）=142.0（kPa）

（2）下卧层顶面处应力验算。自重应力为

pcz=16×1.4+19×0.8+（19-10）×3.5=69.1（kPa）

附加应力按扩散角计算，即

查表1-28得θ=23°。

基底平均压力为

基础底面处土的自重压力值为

pc=16×1.4+19×0.8=37.6（kPa）

软弱下卧层顶面处的附加应力为

软弱下卧层顶面处的总应力为

pz+pcz=28.92+69.1=98.02（kPa）<faz=142.0kPa

所以，软弱下卧层地基承载力满足要求。