三、基准数法

基准数就是选一个数作为标准，方便其他的数和它比较。通常选取一组数据中最大值和最小值中间的某个比较整的数。

基准数法多用于一组比较接近的数的求和或求平均值，也可用于接近整十整百的数的乘法和乘方的速算。

基准数法用于求和的基本公式如下：

（1）和＝基准数×个数＋浮动值

（2）平均数＝基准数＋浮动值÷个数

1．用基准数法计算连加法

许多数相加，尤其是在统计数据时，如果这些数都接近一个数，我们可以把这个数确定为一个基准数，以这个数为“代表”，乘以相加的个数，再将其他的数与这个数比较，加上多出的部分，减去不足的部分，这样就可以简化计算过程。

方法：

（1）观察各个加数，从中选择一个适当的中间数作为基准数。

（2）通过对各个加数的“割”“补”，变成基准数加上或减去一个很小的数的形式，采用“以乘代加”和化大数为小数的方法进行速算。

例子：

（1）计算51+55+49+47=　　　　　。

解：

所以　51+55+49+47=202

（2）计算187+198+201+217+197=　　　　　。

解：

所以　187+198+201+217+197=1000

（3）计算87+98+86+97+90+88+99+93+91+87=　　　　　。

解：

所以

87+98+86+97+90+88+99+93+91+87=912

练习：

（1）计算507+498+516+497=　　　　　。

（2）计算81+78+86+77+80+81+79=　　　　　。

（3）计算187+198+186+197+199+213+219+214=　　　　　。

2．求互补的两个数的差

方法：

（1）用被减数减去一个基数。

（2）把上一步得到的差乘以2。

（3）两位数互补，基数用50；三位数互补，基数用500；四位数互补，基数用5000……

例子：

（1）计算73－27=　　　　　。

解：

所以　73－27=46

（2）计算613－387=　　　　　。

解：

所以　613－387=226

（3）计算8112－1888=　　　　　。

解：

所以　8112－1888=6224

练习：

（1）计算713－287=　　　　　。

（2）计算263－737=　　　　　。

（3）计算1732－8268=　　　　　。

3．接近100的两个数字相乘

方法：

（1）设定100为基准数，计算出两个数与100之间的差。

（2）将被乘数与乘数竖排写在左边，两个差竖排写在右边，中间用斜线隔开。

（3）将上两排数字交叉相加所得的结果写在第三排的左边。

（4）将两个差相乘所得的积写在右边。

（5）将第（3）步的结果乘以基准数100，与第（4）步所得结果加起来，即为最终结果。

例子：

（1）计算86×92=　　　　　。

解：

先计算出86、92与100的差，分别为－14和－8，因此可以写成下列形式：

交叉相加，86－8或92－14，都等于78。

两个差相乘，（－14）×（－8）=112。

因此可以写成：

所以　86×92=7912

（2）计算93×112=　　　　　。

解：

先计算出93、112与100的差，分别为－7和12，因此可以写成下列形式：

交叉相加，93+12或112－7，都等于105。

两个差相乘，（－7）×12=－84。

因此可以写成：

所以　93×112=10416

（3）计算102×113=　　　　　。

解：

先计算出102、113与100的差，分别为2和13，因此可以写成下列形式：

交叉相加，102+13或113+2，都等于115。

两个差相乘，2×13=26。

因此可以写成：

所以　102×113=11526

练习：

（1）计算89×103=　　　　　。

（2）计算112×103=　　　　　。

（3）计算105×96=　　　　　。

4．扩展：接近200的两个数字相乘

方法：

（1）设定200为基准数，计算出两个数与200之间的差。

（2）将被乘数与乘数竖排写在左边，两个差竖排写在右边，中间用斜线隔开。

（3）将上两排数字交叉相加所得的结果写在第三排的左边。

（4）将两个差相乘所得的积写在右边。

（5）将第（3）步的结果乘以基准数200，与第（4）步所得结果加起来，即为最终结果。

例子：

（1）计算186×192=　　　　　。

解：

先计算出186、192与200的差，分别为－14和－8，因此可以写成下列形式：

交叉相加，186－8或192－14，结果都等于178。

两个差相乘，即（－14）×（－8）=112。

因此可以写成：

所以　186×192=35712

（2）计算193×212=　　　　　。

解：

先计算出193、212与200的差，分别为－7和12，因此可以写成下列形式：

交叉相加，即193+12或212－7，结果都等于205。

两个差相乘，即（－7）×12=－84。

因此可以写成：

193/－7

212/12

205/－84

205×200－84=40916

所以　193×212=40916

（3）计算203×212=　　　　　。

解：

先计算出203、212与200的差，分别为3和12，因此可以写成下列形式：

203/3

212/12

交叉相加，即203+12或212+3，结果都等于215。

两个差相乘，即3×12=36。

因此可以写成：

203/3

212/12

215/36

215×200+36=43036

所以　203×212=43036

扩展阅读

同样，还可以用以上方法计算接近250、300、350、400、450、500、550、1000…数字的乘法，只需选择相应的基准数即可。

当然，当两个数字都接近某个10的倍数时，也可以用这种方法，选择这个10的倍数作为基准数，这个方法依然适用。

练习：

（1）计算211×198=　　　　　。

（2）计算204×203=　　　　　。

（3）计算195×193=　　　　　。

5．扩展：接近50的两个数字相乘

方法：

（1）设定50为基准数，计算出两个数与50之间的差。

（2）将被乘数与乘数竖排写在左边，两个差竖排写在右边，中间用斜线隔开。

（3）将上两排数字交叉相加所得的结果写在第三排的左边。

（4）将两个差相乘所得的积写在右边。

（5）将第（3）步的结果乘以基准数50，与第（4）步所得结果加起来，即为最终结果。

例子：

（1）计算46×42=　　　　　。

解：

先计算出46、42与50的差，分别为－4和－8，因此可以写成下列形式：

46/－4

42/－8

交叉相加，即46－8或42－4，都等于38。

两个差相乘，即（－4）×（－8）=32。

因此可以写成：

46/－4

42/－8

38/32

38×50+32=1932

所以　46×42=1932

（2）计算53×42=　　　　　。

解：

先计算出53、42与50的差，分别为3和－8，因此可以写成下列形式：

53/3

42/－8

交叉相加，即53－8或42+3，都等于45。

两个差相乘，即3×（－8）=－24。

因此可以写成：

53/3

42/－8

45/－24

45×50－24=2226

所以　53×42=2226

（3）计算61×52=　　　　　。

解：

先计算出61、52与50的差，分别为11和2，因此可以写成下列形式：

61/11

52/2

交叉相加，即61+2或52+11，都等于63。

两个差相乘，即11×2=22。

因此可以写成：

61/11

52/2

63/22

63×50+22=3172

所以　61×52=3172

练习：

（1）计算53×48=　　　　　。

（2）计算47×51=　　　　　。

（3）计算46×48=　　　　　。

6．扩展：接近30的两个数字相乘

方法：

（1）设定30为基准数，计算出两个数与30之间的差。

（2）将被乘数与乘数竖排写在左边，两个差竖排写在右边，中间用斜线隔开。

（3）将上两排数字交叉相加所得的结果写在第三排的左边。

（4）将两个差相乘所得的积写在右边。

（5）将第（3）步的结果乘以基准数30，与第（4）步所得结果加起来，即为最终结果。

例子：

（1）计算26×32=　　　　　。

解：

先计算出26、32与30的差，分别为－4和2，因此可以写成下列形式：

26/－4

32/2

交叉相加，即26+2或32－4，都等于28。

两个差相乘，即（－4）×2=－8。

因此可以写成：

28/－8

28×30－8=832

所以　26×32=832

（2）计算33×32=　　　　　。

解：

先计算出33、32与30的差，分别为3和2，因此可以写成下列形式：

33/3

32/2

交叉相加，即33+2或32+3，都等于35。

两个差相乘，即3×2=6。

因此可以写成：

35/6

35×30+6=1056

所以　33×32=1056

（3）计算37×22=　　　　　。

解：

先计算出37、22与30的差，分别为7和－8，因此可以写成下列形式：

37/7

22/－8

交叉相加，即37－8或22+7，都等于29。

两个差相乘，即7×（－8）=－56。

因此可以写成：

29/－56

29×30－56=814

所以　37×22=814

注意：这个基准数可以设定为容易计算的任何数值。

练习：

（1）计算33×28=　　　　　。

（2）计算27×31=　　　　　。

（3）计算36×28=　　　　　。

7．25～50之间的两位数的平方

方法：

（1）用底数减去25，得数为前积（千位和百位）。

（2）50减去底数所得的差的平方作为后积（十位和个位），满百进1，没有十位补0。

例子：

（1）计算372=　　　　　。

解：

37－25=12

（50－37）2=169

所以　372=1369

注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十位和个位。

（2）计算262=　　　　　。

解：

26－25=1

（50－26）2=576

所以　262=676

（3）计算422=　　　　　。

解：

42－25=17

（50－42）2=64

所以　422=1764

练习：

（1）计算492=　　　　　。

（2）计算312=　　　　　。

（3）计算292=　　　　　。

8．心算11～19的平方

方法：

（1）以10为基准数，计算出要求的数与基准数的差。

（2）利用公式1a2=1a+a/a2求出平方（用1a来表示十位为1、个位为a的数字）。

（3）斜线只作区分之用，后面只能有1位数字，超出部分进位到斜线前面。

例子：

（1）计算112=　　　　　。

解：

（2）计算122=　　　　　。

解：

（3）计算132=　　　　　。

解：

（4）计算142=　　　　　。

解：

练习：

（1）计算152=　　　　　。

（2）计算182=　　　　　。

（3）计算192=　　　　　。

9．扩展：心算21～29的平方

方法：

（1）以20为基准数，计算出要求的数与基准数的差。

（2）利用公式2a2=2×（2a+a）/a2求出平方（用2a来表示十位为2，个位为a的数字）。

（3）斜线只作区分之用，后面只能有1位数字，超出部分进位到斜线前面。

例子：

（1）计算212=　　　　　。

解：

（2）计算222=　　　　　。

解：

（3）计算242=　　　　　。

解：

练习：

（1）计算252=　　　　　。

（2）计算272=　　　　　。

（3）计算292=　　　　　。

10．扩展：心算31～39的平方

方法：

（1）以30为基准数，计算出要求的数与基准数的差。

（2）利用公式3a2=3×（3a+a）/a2求出平方（用3a来表示十位为3，个位为a的数字）。

（3）斜线只作区分之用，后面只能有1位数字，超出部分进位到斜线前面。

例子：

（1）计算312=　　　　　。

解：

（2）计算322=　　　　　。

解：

（3）计算342=　　　　　。

解：

扩展阅读

运用上面的公式，你应该可以很容易地计算出41～99的平方数，它们的方法都是类似的。

公式如下：

4a2=4×（4a+a）/a2

5a2=5×（5a+a）/a2

6a2=6×（6a+a）/a2

7a2=7×（7a+a）/a2

8a2=8×（8a+a）/a2

9a2=9×（9a+a）/a2

例子：

（1）计算642=　　　　　。

解：

（2）计算832=　　　　　。

解：

（3）计算962=　　　　　。

解：

练习：

（1）计算692=　　　　　。

（2）计算722=　　　　　。

（3）计算992=　　　　　。

11．用基数法计算三位数的平方

方法：

（1）以100的整数倍为基准数，计算出要计算的数与基准数的差，并将差的平方的后两位作为结果的后两位，如果超出两位，则记下这个进位。

（2）将要计算的数与差相加，乘以所求数除100后所得的整数部分。如果上一步有进位，则加上进位，与上一步的后两位合在一起作为结果。

（3）斜线只作区分之用，后面只能有2位数字，超出部分进位到斜线前面。

例子：

（1）计算2132=　　　　　。

解：

基准数为200。

213－200=13

132=169（记下69，进位为1）

213+13=226

226×2=452

所以结果为452/169，

进位后得到45369。

所以　2132=45369

（2）计算8122=　　　　　。

解：

基准数为800。

812－800=12

122=144（记下44，进位1）

812+12=824

824×8=6592

所以结果为6592/144，

进位后得到659344。

所以　8122=659344

（3）计算4892=　　　　　。

解：

基准数为500。

489－500=－11

（－11）2=121（记下21，进位1）

489－11=478

478×5=2390

所以结果为2390/121，

进位后得到239121。

所以　4892=239121

练习：

（1）计算5092=　　　　　。

（2）计算6122=　　　　　。

（3）计算7042=　　　　　。

12．用基准数法算两位数的立方

方法：

（1）以10的整数倍为基准数，计算出要求的数与基准数的差。

（2）将要求的数与差的2倍相加。

（3）将第（2）步的结果乘以基准数的平方。

（4）将第（2）步的结果减去基准数，乘以第一步所得的差，再乘以基准数。

（5）计算出第1步所得的差的立方。

（6）将第（3）～（5）步的结果相加即可。

例子：

（1）计算133=　　　　　。

解：

基准数为10。

13－10=3

13+3×2=19

19×102=1900

（19－10）×3×10=270

33=27

结果为　1900+270+27=2197

所以　133=2197

（2）计算623=　　　　　。

解：

基准数为60。

62－60=2

62+2×2=66

66×602=237600

（66－60）×2×60=720

23=8

结果为　237600+720+8=238328

所以　623=238328

（3）计算373=　　　　　。

解：

基准数为40。

37－40=－3

37+（－3）×2=31

31×402=49600

（31－40）×（－3）×40=1080

（－3）3=－27

结果为　49600+1080－27=50653

所以　373=50653

练习：

（1）计算213=　　　　　。

（2）计算773=　　　　　。

（3）计算953=　　　　　。