二、补数法

若两数之和是10、100、1000、…、10n（n是正整数），那么这两个数就互为补数。例如：4和6、88和12、455和545等就互为补数。而广义上来讲，假定M为模，若数a和b满足a+b=M，则称a、b互为补数。也就是说，补数是一个数为了成为某个标准数而需要加的数。在数学速算中，一般经常会用到的有两种补数：一种是与其相加得该位上最大数9的数，称为9补数；另一个是与其相加能进到下一位的数，称为10补数。

补数法是从凑整法发展出来的，也算是凑整法的一种特例。

1．巧用补数做加法

方法：

（1）在两个加数中选择一个数，写成整十数或者整百数减去一个补数的形式。

（2）将整十数或者整百数与另一个加数相加。

（3）减去补数即可。

口诀：加大减差。

例子：

（1）计算498+214=　　　　　。

解：

498的补数为2。

所以　498+214=712

（2）计算4388+315=　　　　　。

解：

4388的补数为12。

所以　4388+315=4703

（3）计算89+53=　　　　　。

解：

89的补数为11。

所以　89+53=142

注意：

（1）这种方法适用于其中一个加数加上一个比较小的、容易计算的补数后可以变为整十数或者整百数的题目。

（2）做加法一般用的是与其相加能进到下一位的补数，而另外一种补数，也就是与其相加能够得到该位上最大数的补数，以后我们会学习到。

练习：

（1）计算497+136=　　　　　。

（2）计算489+2223=　　　　　。

（3）计算1298+3272=　　　　　。

2．巧用补数做减法

前面我们提过：在数学速算中，一般经常会用到的有两种补数：一种是与其相加得该位上最大数9的数，称为9补数；另一个是与其相加能进到下一位的数，称为10补数。

在这里，我们就会用到这两种补数。

方法：

只需分别计算出个位上的数字相对于10的补数，与其他位上相对于9的补数，写在相应的数字下即可。

小技巧：前位凑九，末（个）位凑十。

例子：

（1）计算1000－586=　　　　　。

解：

分别求补（前位凑九，个位凑十）。

5　8　6

4　1　4

所以　1000－586=414

（2）计算100000－86572=　　　　　。

解：

8　6　5　7　2

1　3　4　2　8

所以　100000－86572=13428

（3）计算1443－854=　　　　　。

解：

先计算1000－854。

8　5　4

1　4　6

所以　1000－854=146

所以　1443－854=589

练习：

（1）计算1098－465=　　　　　。

（2）计算9458－684=　　　　　。

（3）计算855－794=　　　　　。

3．巧用补数做乘法

如果一个乘数接近整十、整百、整千或整万时，用补数做乘法可以使其计算过程变简单。

方法：

（1）将接近整十、整百、整千或整万的数用整数减补数的形式写出来。

（2）用另一个乘数分别与这个整数和这个补数相乘，再相减。

例子：

（1）计算28×95=　　　　　。

解：

所以　28×95=2660

（2）计算218×195=　　　　　。

解：

所以　218×195=42510

（3）计算857×990=　　　　　。

解：

所以　857×990=848430

练习：

（1）计算56×93=　　　　　。

（2）计算35×196=　　　　　。

（3）计算228×495=　　　　　。

4．巧用补数做除法

如果除数接近整百、整千或整万时，用补数做除法计算，其商就非常简单。

方法：

（1）用除数的补数与被除数相乘的积写在被除数下面（末位对齐），然后向右移位，除数是几位数就向被除数的右边移动几位。

（2）如果要求的精确度比较高（小数点后至少有3位小数），则用除数的补数乘以上一步的积。所得之积写在上一步的乘积下面（末位对齐），向右再移位。其他以此类推。

（3）被除数与几个移位后的“乘积”相加求和即可。最后根据除法定位法加上小数点，再四舍五入，便是其商。

例子：

（1）计算665÷96=　　　　　（结果精确到小数点后3位）。

解：

首先写下被除数665，然后计算出除数的补数为4。

665×4=2660

将2660写在上面写下的被除数665的下面（末尾对齐），再向右移2位，写成：

如果精度不够，可以用除数的补数4乘以上步的积2660，得到10640，即写成：

将其相加，得到：

根据除法定位法（下面会讲到），商的整数应是1位，因为商要求精确到小数点后3位，所以其商便是6.927。

（2）计算1264÷998=　　　　　（结果精确到小数点后4位）。

解：

首先写下被除数1264，然后计算出除数的补数为2。

1264×2=2528

将2528写在上面写下的被除数1264的下面，向右移3位，写成：

如果精度不够，可以用除数的补数2乘以上步的积2528，得到5056，即可写成：

将其相加，得到：

根据除法定位法（下面会讲到），商的整数应是1位，因为商要求精确到小数点后4位，所以其商便是1.2665。

（3）计算1024÷98=　　　　　（结果精确到小数点后4位）。

解：

首先写下被除数1024，然后计算出除数的补数为2。

1024×2=2048

将2048写在上面写下的被除数1024的下面，向右移2位，写成：

如果精度不够，可以继续这一步骤，写成：

将其相加，得到：

根据除法定位法（下面会讲到），商的整数应是2位，因为商要求精确到小数点后4位，所以其商便是10.4490。

扩展阅读

除法的定位法

在用补数法做除法时，商的定位非常重要，否则即使计算准确，而整数的定位错误，也将前功尽弃。

商的定位法共有两种，即直减法和加1法。

（1）直减法

方法：

在一个除法算式里，当被除数的首位数小于除数的首位数时，商的整数位数，应当是被除数的整数位数，减去除数的整数位数。

公式：

j=b－c

式中，j代表商的整数位数；b代表被除数的整数位数；c代表除数的整数位数。

例子：

①判断2915÷332的商的整数位数是几位。

因为被除数2915的首位数是2，小于除数332的首位数3，所以商的整数位数应当是被除数的整数位数减去除数的整数位数。即：

4位—3位=1位

所以，2915÷332的商的整数位数是1位。

②判断5438.2÷62.1的商的整数位数是几位。

因为被除数5438.2的首位数是5，小于除数62.1的首位数是6，所以商的整数位数应当是被除数的整数位数减去除数的整数位数。即：

4位—2位=2位

所以，5438.2÷62.1的商的整数位数是2位。

（2）加1法

方法：

在一个除法算式里，如果被除数的首位数大于除数的首位数时，商的整数位数应当是被除数的整数位数，减去除数的整数位数后再加1。

公式：

j=b－c+1位

式中，j代表商的整数位数；b代表被除数的整数位数；c代表除数的整数位数。

例子：

①判断576÷48的商的整数位数是几位。

因为被除数576的首位数5大于除数48的首位数4，所以商的整数位数应当是被除数的整数位数，减去除数的整数位数后再加1位。即：

3位—2位+1位=2位

所以，576÷48的商的整数位数是2位。

②判断4237.8÷25.1的商的整数位数是几位。

因为被除数4237.8的首位数4，大于除数25.1的首位数2，所以商的整数位数应当是被除数的整数位数，减去除数的整数位数后再加一位。即：

4位—2位+1位=3位

所以，4237.8÷25.1的商的整数位数是3位。