第五章
“逼出来的”问题和答案

勾股定理是毕达哥拉斯或是他和他的弟子们最伟大的发现，由此而衍生出来的几何学对西方哲学和科学方法产生了深远的影响。几何学从自明的（self-evident）公理出发，经过推理演绎，可以证明那些远非直观的定理。

欧式几何是最开始也是传统意义上的几何学，平行公理、角公理和圆公理等五大公理作为整个欧式几何的基石，都被认为是自明的，它们都无法用逻辑去证明却没有人怀疑其正确性，尽管后来人们发现五大公理只满足其中部分便可以衍生出另一些自洽的还非常有趣的几何体系，即非欧几何，但那也只是后来人们的一种探索和尝试，并未撼动整个五大公理的根基。

几何学讨论的严格的圆，是一个我们无论如何都无法画出的真正完美的图形。但我们做复杂的几何题的时候，图不一定画得标准正确，可这始终不妨碍一些几何性质的正确性，更没有影响我们运用基本的几何定理去证明一些更复杂的命题。

这仿佛在告诉我们，一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象。由此，人们便设想思想高于感官而直觉高于观察。这是毕达哥拉斯学派在意识到这些后提出的观点。我们在形而上学和经院哲学中，都可以找到这种观点的影子。再往后我们还能看到康德关于“经验”与“先验”的探讨。理性主义的宗教自毕达哥拉斯开始，尤其是柏拉图之后，一直都被数学方法支配着。

根据我们之前对概念的探讨，我们知道，最开始人类的计数系统远没有现在那么复杂，很多原始部落的语言中可能只有“一”、“二”和“很多”的概念。因为当时的物质并不富裕，人们并不需要计量、说明、记录比较大的数目。可是当物质开始富裕以后，需要一个更精确、更大型的符号系统来记录生活，人类便利用“加”的概念逐渐衍生出了“自然数”的概念。这是一切数学的基础。

有了自然数的概念，人们在饲养家禽、行军、交易等活动中，自然而然涉及解线性方程的问题，这个时候古希腊人就利用自然数产生了有理数的概念（即数字能够通过自然数的比例表示）。

为了解决土地丈量等问题，几何学诞生了，人们发现了勾股定理，这时就需要有二次方程，进而无理数也得到了发现和定义（无法由两个整数相比来表示的数字）。二次方程不仅有无理数还有虚数的问题（i2=-1），进而人们有了复数的概念，这些与三角函数有紧密的联系。另一条路线中，二次方程、三次方程和四次方程，都可以找到通解的形式，而到了五次方程时就没有通解了，于是有了群论。如图5-1所示。

数学中概念的演化也反映了思维的跃迁。人们一开始关于数的概念是离散的，但经过一系列的剖分之后却变得连续，甚至是多维度的。

人们一开始只有整数的概念，整数经过剖分之后产生了有理数。可是数学家们发现有理数充其量只是数轴上的一系列可数的点集，在有理数之间还有许多的空隙没有填满。终于，无理数的发现成功地将实数完整地映射到了一个数轴之上。

这种概念的不断细化反映了人类历史上非常多的思辨过程，也是思维跃迁性的表现。对于一个问题，人们一开始可能只有一个简单的理论框架，但经过众人长时间的思考和讨论，这个框架被逐渐丰富，甚至还有新的理论框架被建立起来。物理学如是，哲学亦是如此。

说到这里，肯定就会有人想问了：人类在进行这些概念发现或概念创造的过程中，标准是什么呢？我们认为就是追求“圆融”的状态。面对新的领域，我们认为如果看起来合理，这些概念就应该存在。并且，我们发现，如果承认了它们的存在，到头来能简化很多问题。我们对世界的认知和探索就是一个延伸的过程，从简单的有限的起点开始，慢慢走到今天，未来还将继续，目的就是为了更清楚地认识世界。在这一系列的推进中，对很多概念我们其实都无从检验，但仍然相信它们的存在。

极限理论的产生使得整个分析学变得完整，在简单的定义之上，人人都能基于极限的定义产生一个感性的认识。所谓“无限逼近”在物理世界中还是只能用有限来表示，可是我们在脑海里却能想象出“无限逼近”的样子。基于感性认识加强了我们对于极限的理性认识。

真正的“无限”其实只存在于我们的脑海中，我们在物理世界中感受到的都是有限的实体，这种由直观感受带来的感性认识通过思维的跃迁加强了我们对于概念的理性构建，使得“无限”通过严密的数学语言得到定义和表示，“极限”也因此而得到了严谨的解释。

基于“极限”的定义，“无穷”也被明确地定义出来。正是柯西用数列极限的观点对微积分的一系列基本概念进行了重新的定义，才使得导致第二次“数学危机”，数学家心中百余年挥之不去的那朵乌云——无穷小量被真正解释清楚。

从最简单的几个基本公理，可以推导出一整个数学的大厦，数学逻辑可以从简单的结构中衍生出非常复杂的结构。这样的结构不仅存在于几何学，还存在于数学的方方面面。数论亦是一个例子。

我们都知道素数有无穷多个，可是对于一些有特点的数的分布问题，比如孪生素数猜想，却可以十分复杂。人们目前也只能不断地精确对于分布的估计。目前中国数学家张益唐做出的结果是最优的。再比如“黎曼猜想”。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部分是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2+ti（“临界线”critical line）上。t为实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于“黎曼猜想”的合理证明。

人们会从简单之中发现复杂，再从复杂之中探寻一般规律，这也是思维的跃迁给人类带来的妙处。而探寻和思考的动力，正是自我肯定需求。

这种由简单变复杂的数学大厦建构的过程，让人们对于无限和有限又有了新的理解和认识。

人们对于数学总有着一种近乎神秘的信念，即对于这些数学定理和规律的真实、清晰并且永恒存在的笃信和追求。这样一种追求其实也还是源自自我肯定的需求。无限与永恒在轴心时代就已经在人们心中扎下了深根，因而自古希腊哲人们开创几何学开始，人们对于数学的探索就从未停下，一直在努力地拨开自己心头的一片片乌云。

数学理论的研究水平已经超过了其应用水平上百年，就好像人类对数学理论的探索是被“逼出来”的，人类内心深处坚信数学问题总会有清楚明白的数学解答，这种信念仿佛形成了一种无形的力量，让人们去回答新的疑问，解决新的问题，扩展未知的数学领域，也推动了新的数学概念的不断产生。

有趣的是，哥德尔的不完备性定理的诞生告诉我们，总有一些点是数学这棵大树永远触碰不到的。这也意味着数学家自己证明了，有些问题我们自己其实证明不了。这对于集合论等现代数学产生了不小的撼动，也对机器智能的发展方向做出了一定的指导。

尽管如此，人们对于一些数学猜想努力探索的热情不减。无论是对那些从普遍直观延伸出来的直觉猜想的证明，如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想等，还是对那些极其简洁却又难以证明的命题，如费马大定理等，数学的美与神秘都如磁石般吸引着数学家们对此保持极高的兴趣。而数学家们的自我肯定需求驱使着他们不断地为这些兴趣寻找清晰的解答。

创造力的来源其实是思维的跃迁，其中的一个直接体现便是直觉。人类的直觉往往是正确的，并且很多时候要比逻辑推理超前很多。

哥德巴赫猜想至今无人证明，数学家们仍在勠力寻求一个更优的解答。

费马在他的《页边笔记》中留下了费马大定理，他宣称自己想出了一个美妙的证法却因空格太小而无法写下。后来，经过了三个世纪，这一“定理”才被人解出。

庞加莱猜想在1900年被提出，直到2006年才被佩雷尔曼证出。

再回想现代科学的起源，无论是数学还是物理，都与直觉有着密切的联系。很多时候，科学家们都是简单地从直觉出发，再辅之以理性的推理，最后再给以严谨的证明。科学就是在这种直觉与逻辑的交织中螺旋式递进。或许有时候有些直觉不一定正确，但这些直觉推动了科学的发展，有些甚至还曾经深刻地影响着同时代的宗教信仰。

在牛顿力学阶段，人们认为能量需求是当时最重要的需求；到了薛定谔，大家又认为负熵需求至关重要，纵观人类世界历史，我们认为：自我肯定需求才是人类最根本的需求（见图5-2）。

大多数科学从一开始就是与某些信仰联系在一起的，这就使它们具有一种虚幻的价值。而随着科学的不断进步，虽然人们对于世界的认识发生了不小的改变，但科学进步的内在驱动力——自我肯定需求却一直没有变过。

或许正因为如此，科学家们，尤其是物理学家一直对一个统一的理论或是体系极为痴迷。奥卡姆剃刀定律（Occam's Razor），即“简单有效原理”，正是对人类永恒追求简单统一的高度总结和概括。

这种近乎信念的追求推动了整个人类科学的不断进步。数学家们仍然在坚持探索数学的奥秘，物理学家仍在坚持寻求一个统一的理论，这些都源于人们对于神性的追究。人希望能够主宰自己，主宰自然，因而总是不断地努力了解未知；人相信永恒和绝对的理性，所以不断地证明数学的命题；人追求强大的力量，想从了解到掌握，所以不断地钻研物理。

所谓的怀疑、探索的科学精神，正是人类为满足自我肯定需求，想更真实、客观地了解自我与世界，以期更加接近心中那个绝对真理的直观表现。而人们心目中的永恒、无限、绝对理性和主宰，都是一种神性。人的目的，就是想了解神，然后追求神，甚至超越心中的那个神。而这个野心勃勃的愿望的起源，正是我们后文将要讨论的轴心时代。