小循环的局限

在肾脏移植中实际应用以TTC算法为基础的算法时会遭遇什么瓶颈呢？刚才的例子是向7个患者（学生）分配7个肾脏（房间）。当分配确定后，新的问题产生了：这些手术能够同时进行吗？

活体移植时患者和捐献者都需要高度专业的医疗团队和手术设施，所以同时准备7台手术在现实中是不可能的。2003年在约翰·霍普金斯大学医院同时进行3台手术都能成为重大新闻，更不要说7台了。

手术不能同时进行，就可能会发生捐献者“反悔”的情况。例如按照循环分配肾脏进行手术。设现在患者1和捐献者5、患者5和捐献者4的手术已经完成，接下来是患者4和捐献者1的手术。

一旦此时捐献者1改变主意：“还是不给患者4捐肾了”，情况就变为患者4失去了捐献者4，却得不到肾脏。监禁反悔的捐献者强行摘取一个肾脏是不合法的。

同时进行3台手术并不容易。如果担心捐献者会反悔，就有必要考虑将捐献者交换限定在两组之间进行。肾脏移植匹配无论是合法性还是可行性都存在种种限制，但既然要解决现实问题，就不得不正面面对他们。

罗斯等人在2004年最初的论文中主要论述以TTC算法为基础的算法，也就是不限制循环规模的算法。但是接下来在2005年他发表在《经济学理论》（Journal of Economic Theory）上的《两组之间进行的肾脏交换》（Pairwise Kidney Exchange）研究了“将捐献者交换限定在两组之间会如何”这一课题。

归纳一下本篇论文及后续相关论文，可以得到这样的结论：在交换捐献者时，如果不限于两组，而是扩展到三组、四组的话，适合组的个数会跳跃性增加。

试着考虑一下上表的情况，有四个不适合组。当患者和捐献者适合时在格中画“+”，不适合的画“-”。例如患者1和捐献者2、4是适合匹配，但是和捐献者1、3是不适合匹配。

如果这里仅限于在两组之间交换捐献者，可能的交换只有互相适合的“患者1搭配捐献者4，患者4搭配捐献者1”这一种。像患者2与捐献者4虽然适合，但是由于患者4和捐献者2不适合，就无法交换。

在两组之间可能进行的交换上画○，得到下面的表格。

在两组之间可能的唯一交换

但是如果此时可以在4组之间进行交换的话，情况就完全不同了。因为可以这样交换：患者1搭配捐献者2，患者2搭配捐献者4，患者3搭配捐献者1，患者4搭配捐献者3。

四组之间可能的交换

这个例子清楚地表明，要救治患者2和3这样适合对象少（这里只有1个）的患者，采用长循环会更有效。对于适合肾脏非常少的高敏感性患者来说，将很多人包含在内进行捐献者交换尤为重要。