前言

勾股定理是初等几何的著名定理之一．它的内容为“直角三角形两直角边上正方形面积之和等于斜边上正方形的面积”．即“如果直角三角形两直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a2+b2=c2”．

这个定理的内容简洁优美，证明方法也是五花八门，各式各样．从古到今，无数数学家和数学爱好者都研究过这个定理的证明，得到了很多有趣的证法．于是就有了一个问题：勾股定理到底有多少种不同的证明方法？这个问题的答案在作者看来是无穷多种，比如从本书中介绍的十字分块法就可以得到任意数目的分块方案，每个分块方案都可以产生一个证法．所以这个问题可以转化成：勾股定理到底有多少种不同的有代表性的证明方法？下面是笔者在撰写本书前查找到的一些资料，它们的回答如下：

1．美国数学月刊杂志于1896—1899年连载了一篇名为New and OldProofs of the Pythagorean Theorem的论文，作者为B. F. Yanney和J. A. Calderhead，里面介绍了104种勾股定理的不同证法．

2．E. S. Loomis撰写的Pythagorean Proposition一书中共提到367种证明方法．不过据笔者仔细阅读和研究，该书的一些证法其本质上是相同的，个别证法甚至存在错误，有些证法仅是证明了等腰直角三角形的情形，因此不算完整的证明．即便如此，该书中有效的证明方法也接近300个．

3．由王岳庭、程其坚编著，内蒙古人民出版社于1985年出版的《定理的多种证明公式的多种推导》一书中介绍了勾股定理的48种证法．

4．进入21世纪以后，国外的数学爱好者建立了一个和勾股定理证法相关的网站（参见文献［3］）．到本书定稿时，该网站已收录了118种不同的证法．

本书在前人工作的基础上，对已有的勾股定理的证法进行整理和改编，去粗取精，并加入了56种作者自己发现的证法．最终本书给出了365种不同证法．

考虑到不同层次读者的知识水平，本书的内容编排尽量遵循从易到难、从特殊到一般的原则．以分块法开头，目的是从一些简单易懂的例子出发，让小学生都能动手进行图形的裁剪和拼接，加深对这个定理的直观印象，由此再演变出割补法和面积法．对初中生而言，面积法和相似法都是可以接受的内容，所以一个初中学生经过努力和思考，应该可以看懂书中2/3的内容．最后以泛化法结尾，把勾股定理的结论一般化，符合一般读者的认知规律．读者在阅读和思考的过程中可以不断地提升自己的数学修养，体会数学的抽象之美．总之一句话，不论您是几何初学者还是数学大家，在这365种证法中，总有一“款”适合您！

需要指出的是，虽然本书的内容为勾股定理的各种证明，但本书的主要目的是挑战思维极限，这个极限并不是说去刻意追求证法的数量，而是要挑战读者的思考极限，能够将平面几何中的常见证明思路结合起来，学以致用，理解不同定理间的横向联系，达到融会贯通的目的．如果读者在读完本书之后，开拓了自己的视野，体会到了思考的乐趣，甚至能在本书的启发之下得到新的证法，这将对读者和作者都是一件很有成就感的事．这才是挑战自己思维极限的真正体现．

本书定稿之前，由山西临县一中李有贵老师和哈尔滨师范大学数学科学学院2014级黄小娟同学进行了仔细阅读和校对，修正了很多细节性错误，使本书得到了进一步完善，在这里向他们表示感谢．由于笔者水平和精力有限，书中的疏漏、错误之处难免，敬请广大中学师生和数学爱好者提出宝贵意见．

另外由于篇幅所限，有些证法只提供了证明的思路，省略了部分辅助线的作法及详细证明过程，给广大读者留下了无限的思考空间．欢迎感兴趣的读者就阅读过程中的疑惑、想法、建议及书中的一些不完善之处与作者联系探讨．作者的邮箱为：lmxin@tom.com，或加入QQ群：284462481．

李迈新
2016年9月