二、走进数学大花园——饱览无穷的美妙

数学是个大花园，里面百花争艳，万紫千红！我们走进“图形园”，园门口写着大科学家伽利略的名言：

大自然以数学的语言讲话——这个语言的字母是圆、三角形以及其他各种数学形体.

迎接小朋友的是这样一个问题：

例1：2002年8月，在北京召开国际数学家大会.大会会标如图所示：它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形. 若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1. 问直角三角形的两条直角边各是多少？

解：由大正方形面积是13，小正方形面积是1，所以小正方形边长是1，四个相同的直角三角形的总面积是12.如下图，在大正方形外面再拼补上四个相同的直角三角形，形成正方形ABCD，它的面积是13+12=25，因此边长等于5.

从图中不难看出，直角三角形两条直角边之和等于正方形ABCD的边长=5，长短两直角边的差等于中间的小正方形的边长=1. 由算术四则的和差问题可得：直角三角形的较长直角边等于3，较短直角边等于2.

2002年在北京召开的国际数学家大会会标的图案来源于中国古代的“弦图”，图形是这样的简洁，没有一丝一毫的雍容华贵！但它蕴涵深邃，我国古代三国时期的数学家赵爽利用“弦图”证明了勾股定理.勾股定理意义重大，被数学家们称为是欧氏几何的“拱心石”. 它的内容是：直角三角形的两条直角边为a，b，斜边为c，则a2+b2=c2.

赵爽的证明概要是：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实. 加差实，亦成弦实.

即

2ab+（b−a）2=c2.

化简便得

a2+b2=c2 .

这个证明，是何等的简洁、漂亮！

定理的结论简洁，形式对称，给人以美的享受. 难怪古希腊的毕达哥拉斯发现了这个定理时高兴地举行了一个百牛大祭，“他竟是这样的快活，以致举行盛宴，把富人和全体人民都邀请了；这番辛苦是值得的.这是精神（认识）的快乐和喜悦，——然而牛遭了殃.”

例2：园林小路，曲径通幽. 如图所示，小路由白色正方形石板和灰、黄两色的三角形石板铺成. 问：内圈三角形石板的总面积大，还是外圈三角形石板的总面积大？请说明理由.

答：内圈三角形石板的总面积与外圈三角形石板的总面积一样大.

其理由是：石板路的基本结构如右图所示，两个共顶点的正方形夹着一个内圈和一个外圈的三角形，我们只要证明所夹内外圈的这两个三角形面积相等就可以了. 为此将△ABC绕顶点A顺时针旋转9 °0，到三角形AEC1的位置. 易知，D，A，C1三点共线，AC1=AD，A是线段C1D的中点，所以三角形AEC1的面积与三角形AED的面积相等. 也就是三角形ABC的面积与三角形AED的面积相等.

当你在美丽的园林小路间漫步时，你可曾感觉到悠闲的脚步下竟然隐藏着这样深邃的数量关系吗？真是世界真奇妙！不探索就不知道.

例3：两个边长为0.9的正三角形的纸片，能盖住一个边长为1的正三角形纸片吗？请你简述理由！

盖一盖试一试吗！盖来盖去就是差一点！再试，无穷多种位置的可能性千年万代也试不完呀？怎么办？用数学的思维方式，如果两个边长为0.9的正三角形的纸片，能盖住一个边长为1的正三角形纸片，当然必须盖住边长为1的正三角形纸片的三个顶点A，B，C.于是根据抽屉原则，至少有一个边长为0.9的正三角形的纸片盖住其中的两个顶点，不妨盖住的是A，B两顶点，则AB≤0.9，这与AB=1矛盾！所以，两个边长为0.9的正三角形的纸片，无论怎样放置，都盖不住一个边长为1的正三角形纸片.

简洁有力的数学推理，跨越了永无止境的试来试去！如果你想到了这个证法，你会油然而生一种成就感，这是多么美好的精神享受哇！

例4：荒岛寻宝问题. 一本叫做《从一到无穷大》的书中有这样一个问题.

从前，有个富于冒险精神的年轻人，在他曾祖父的遗物中发现了一张羊皮纸，上面指出了一项宝藏. 他是这样写着的：

“乘船至北纬××，西经××，即可找到一座荒岛. 岛的北岸有一大片草地. 草地上有一株橡树和一棵松树，还有一座绞架，那是我们过去用来吊死叛变者的. 从绞架走到橡树，并记住走了多少步；到了橡树向右拐个直角再走这么多步，在这里打个桩. 然后回到绞架那里，再朝松树走去，同时记住所走的步数；到了松树向左拐个直角再走这么多步，在这里也打个桩. 在两个桩的正当中挖掘，就可以找到宝藏.”

根据这道指示，这位年轻人就租了一条船开往目的地. 他找到了这座岛，也找到了橡树和松树，但使他大失所望的是，绞架不见了. 经过长时间的风吹日晒雨淋，绞架已糟烂成土，一点痕迹也没有了. 这位年轻的冒险家只能乱挖起来. 但是，地方太大了，一切只是白费力气. 只好两手空空，启帆返程……

亲爱的同学们：能用你的智慧找到宝藏的位置吗？

其实，只要有三角形全等、梯形中位线定理的基本知识，略加思考，就可以找到宝藏的埋藏位置.

从图可知，△AMC≅△AQX，△BND ≅△BQX，所以MA=XQ=NB.

又CM//DN//EP，CE=DE，则有MP=NP，但是MA=XQ=NB，所以AP=BP，即P是AB的中点。由梯形中位线定理得

，所以E点可以如下确定：取橡树和松树之间的线段AB的中点P，过P作AB的垂线，在垂线上取点E，使得，则点E就是宝藏的位置.

细心的同学应当想到，无论绞架在哪个位置，只要橡树和松树存在，宝藏的位置点E就是一个不动点.

很遗憾，这个富于冒险精神的年轻人，连最起码的几何知识都没有，不会数学地思考问题. 但愿不是因为学校盲目地认为欧氏几何陈旧没用，把几何课时削减过多造成的吧！年轻人富于冒险精神并不是坏事，但还要有科学的、理性思维的头脑. 不然的话，那就会是“玩命”地蛮干.

数学家克隆内克说过：

“上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的.”

我们就再到“整数园”看一看，迎面有九个大字：

“哪里有数，哪里就有美.”

这是古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯的名言.

我们看：1，2，3，4，5，6，7，……，这是从小学就学习的自然数列（注意：人类认识数0是后来的事，因此传统的自然数不包括0）.

这个数列美不美呢？多么简单又多么有规律：后继数比前面的数多一. 就到此为止，看不出什么！如果仔细想一想，会发现许多有趣的事实：比如，3+7=10，只要在自然数列中找到3，向后数7个数，所到达的数就是和数10. 要是7+3用同样的方法也得10. 若把上面的自然数列和加法演算，想象成两把带有等分刻度的尺子，如下图所示，就是尺算加法：上尺3对正下尺0，下尺向右数到7，7所对的上尺的10，就是3+7的和. 同样不难计算减法. 这不就是个计算加、减的算尺小发明吗！

再仔细观察：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……，是这样的有规律，如果自左向右1，2报数，数2的向前一步走，就分成了两个数列：

1，3，5，7，9，11，13，15，17，……奇数列

2，4，6，8，10，12，14，16，18，……偶数列

前一数列中的数的共同特点是不被2整除，叫奇数，后一数列中的数的共同特点是被2整除，叫偶数. 你会发现，第一个数列中的数一定不等于第二个数列中的数. 这就是一个极为简单的真理：

奇数≠偶数

第一个数列中的任意两个数的和都不在本数列中，而在第二个数列中；第二个数列中的任意两个数的和都在本数列中，而不在第一个数列中.当且仅当第一个数列中取一个数与第二个数列中取一个数相加，其和一定在第一个数列中. 这正是奇偶数加法的基本规律.

类似地，第一个数列中的任意两个数的积都在本数列中，而不在第二个数列中；第二个数列中的任意两个数的积也都在本数列中，而不在第一个数列中. 当且仅当不全是第一个数列中取的两个数相乘时，其积一定在第二个数列中. 这是奇偶数乘法的基本规律.

奇数、偶数加法与乘法的法则可以列为下表：

这两个表该是多么简洁、多么对称，多么美呀！

其实，奇数集合的数被2除余1，偶数被2除余0. 奇数集合以1为代表，偶数集合以0为代表，只要两种状态的情况，都可以用奇、偶表示，也就是用0，1表示. 人们自古就发明了用0，1表示两种状态的信息. 比如，长城的烽火台不点狼烟时表示无（0）扰边入侵者. 当点起狼烟，则表示来了（1）扰边入侵者. 这是古人自觉或不自觉地用0，1传达两态信息的发明. 狼烟点起，敌我双方都看得到，能不能再隐蔽一些，尽量使敌方看不到而我方能看到呢？其实，抗日战争打鬼子时的“消息树”也是一种传递两态消息的发明创造. 消息树的设置我方是知道的，敌方是不易发现的. 消息树不倒，代表无敌人（0），消息树倒了，代表鬼子进山来了（1），这也是今人巧用0，1表示两种状态的信息的通信方式.

观察自然数列中的数，仔细想一想，发现构成不完全一样，比如，1=1×1，2=1×2，3=1×3，4=1×4=2×2，5=1×5，6=1×6=2×3，7=1×7，8=1×8=2×4，9=1×9=3×3，10=1×10=2×5，11=1×11，12=1×12=2×6=3×4，13=1×13，14=1×14=2×7，15=1×15=3×5，16=1×16=2×8=4×4……，

大体可以分为3类：一类叫单位1；第二类2，3，5，7，11，13，……，只有1与自身两个约数，叫质数；第三类，4，6，8，9，10，12，14，15，16，……，至少还有一个除1与自身两个约数以外的约数，叫合数.你看多么有规律，这时我们又会有发现，大于1的自然数，都可以写成质因数连乘积的形式，如果将质因数由小到大排列，相同的质因数写成乘方的形式，这个表示法是唯一的. 你看！复杂的数都是由简单的质数通过乘法合成的，人们要是弄清了质数的性质，就可以弄清自然数的结构.

很有趣味，质数中只有一个是偶数，是2这个“党代表”，其余的质数都是清一色的奇数——“娘子军”.

自然数中的质数有多少？有限个还是无限多？早在古希腊时代，就已经证明了质数有无限多个.

假设自然数列中的质数是有限个，不妨设为k个，它们依次是p1，p2，p3，……，pk-1，pk，我们考察一个新的自然数N=p1×p2×p3×……×pk-1×pk+1，显然，N＞1，所以N要么是质数，要么是合数.N能是质数吗？若N是质数，显然N是不等于p1，p2，p3，……，pk-1，pk的一个新的第k+1个质数，这与只有k 个质数的假设不符. 因此，N 不能是质数；N 能是合数吗？若N是合数，则N应有除1与自身以外的质因子，也就是质数p1，p2，p3，……，pk-1，pk中至少有一个pi 能整除N，于是推出pi 能整除1，得出矛盾！

可见，如果自然数列中的质数是有限个，那么这个新的自然数N=p1×p2×p3×……×pk-1×pk +1既不是1，也不是质数，更不是合数，得出矛盾！所以自然数列中的质数应有无限多个.

证明是那样的简洁、有说服力. 足以显示出理性思维的力量！

这还不够，人们还发现，质数的分布极不均匀，有时像3，5；11，13，两个奇质数相邻，是“孪生质数”，有时连续的若干个自然数中都没有质数.

人们这样证明在自然数列中，存在连续的n个自然数的片段，每一个自然数都是合数.

设N=（n+1）！1，+ 则N+1，N+2，N+3，…，N+n，这连续的n 个自然数，每一个都是合数.

这个证明是这样的简洁，我最初见到这个证明时，简直被数学的美妙惊呆了！随之而来的是感叹：这个证明太美了，人家是怎么想到的呢！

大家知道（3，5），（5，7），（11，13）都是孪生质数的例子. 一直找下去可以找到许多对孪生质数，如（109619，109621），（10009871，10009873）及（1000061087，1000061089）都是孪生质数. 据统计，在三千万以内共有152892对孪生质数. 随着范围的扩大，孪生质数的数量会增加. 因此人们猜想，在自然数中，孪生质数有无穷多对. 这个看似简单的问题，至今仍未解决，是一个数学难题. 这就是著名的孪生质数猜想.

同学们会提出：像3，5，7这样的3个连续的质数，不妨叫“3生质数”，那么“3生质数”能有多少组呢？同学们可以证明，只有3，5，7这一组.

假设还能找到另一组的三个连续的奇数（p，p+2，p+4），p，p+2，p+4每一个都是质数. 显然p≠3.当p是被3除余1的数时，p+2将被3整除，是个合数，与p+2是质数矛盾. 所以p不能是被3除余1的数. 当p是被3除余2的数时，p+4将被3整除，是个合数，与p+4是质数矛盾. 所以p不能是被3除余2的数. 此时得出p只能是被3整除的数. 要p是质数，当且仅当p=3才可能. 这与p≠3是矛盾的.

所以，三个连续的奇数，其中每一个数都是质数，只有（3，5，7）这一组.

这样一来你马上用逻辑知识就可判定：不存在“4生质数”，“5生质数”等等.

古代有个叫斐波那契的人，他发现了一种新的以他的名字命名的数列：斐波那契数列. 这个数列也俗称兔子繁殖数列，最初见于意大利数学家斐波那契1202年写成的《算盘书》中的一个问题，大意是：假定一对幼兔（雌雄各一只），幼兔出生后第二个月就长为成兔，有生殖后代的能力，每月生一对小兔子（雌雄各一只）.

那么这一对兔子经过一年的繁殖，总共可以得到多少对兔子呢？

我们可以列出兔子繁殖的数量表：

由上表看到由一对幼兔逐月繁殖的总对数是一个数列：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，…….

这个无限数列就叫做斐波那契数列. 它的每一项叫做一个斐波那契数. 如果数列每一项的位置用下标表示，

u1=1，u2=1，u3=2，u4=3，u5=5，u6=8，……，un表示第n个斐波那契数，则有

un=un-1+un-2（其中n≥3）

通过高中数学知识就可以算出

它是斐波那契数列的通项公式. 每项都是自然数的数列，其通项公式却要由无理数表示，形式又是那么对称，给人以美感，让人感到奇妙！

自然界中有许多有趣的斐波那契现象.

蓟（多年生草本植物，茎叶多刺）的头部几乎呈球状. 在左下图里，标出了两条不同方向的螺旋. 其中，顺时针旋转的螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条. 13与21恰是两个相邻的斐波那契数.

蓟的头部具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋

向日葵花瓣纹理的顺时针旋转排列与逆时针旋转排列的螺线

向日葵的小花形成的纹理也是按顺时针及逆时针方向缠绕在一起的螺线图案，通常一个方向有55条，而反方向有34条；或是89条对55条，或144条对89条，甚至有233条对144条的. 有趣的是各对数字都是两个相邻的斐波那契数.

斐波那契数列在工业管理中也有着重要的应用.

在数学历史上，可以找到数学家们许多发现规律的典型事例.

例如，牛顿二项式定理中对二项展开系数规律的认识：

（a+b）1=a1+b1

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

由特殊情况，观察规律，得出猜想：

然后再用数学归纳法就可证明上式，这就是牛顿二项式定理.

我国宋代“杨辉三角形”（杨辉-贾宪乘方求廉图），就是对二项式定理中系数形成规律的一个总结.

这是一个多么对称，多么有规律的数字金字塔呀！它居然与斐波那契数列、三角形数、四面体数等存在联系.

难道这是巧合？还是数量关系之间的神奇美妙的联系呢？

总之，自然数是这样的神奇，还有许多深刻的性质在向人类的理性思维挑战！

高斯曾说：数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后.

数学的皇后头上有许多璀璨的明珠，比如：费尔马大定理，歌德巴赫猜想. 费尔马大定理历时350年，最终在1994年被英国数学家怀尔斯所证明，由此贡献怀尔斯荣获了沃尔夫奖. 1998年，怀尔斯在柏林举行的国际数学家大会上，以解决费尔马大定理的业绩获得特别成就奖. 至于歌德巴赫猜想这颗明珠，我国已故数学家陈景润已经证明到（1+2），离（1+1）尚有一步之遥，至于鹿死谁手，全世界都拭目以待！我们多么希望有志的华夏儿女能再接再厉，采摘到这颗明珠哇！