第一讲 美丽的数学

同学们都是小学五六年级或初一年级的学生. 正是长身体、长知识、长智慧、长才干的时期. 大家只是对算术、代数有了一点儿了解. 要对大家讲“美丽的数学”的确是一件很难的事，也是我力所不能及的事.我想，同学们喜闻乐见的是故事，喜爱趣味问题. 通过故事可以了解数学的发展，通过问题可以体验数学的思维，了解数学文化. 因此，我们通过讲故事与问题的方式来了解数学，感悟数学之美.

一、数学的理性思考——魅力无穷

要回答什么是数学，这是一个很难的问题. 就数学的研究内容和范围来说，小学生认为数学就是算术，算术是研究数与数的计算的科学，然而数学要比算术广泛得多；初中的学生认为数学是代数和几何，代数是用符号表达的语言，主要研究运算与关系，几何主要研究形状、大小和空间，然而数学要比代数、几何广泛得多；有人说：数学研究概率和统计，概率只是研究随机现象，统计主要研究数据的整理与图示，并分析其意义. 然而数学要比概率、统计广泛得多；有人说，数学是研究微积分，微积分主要研究变量的变化规律，极限与无限，然而数学要比微积分广泛得多. 一句话：数学包括所有这一切，但又比这一切更为广泛.

社会实践在发展，人的认识在发展，数学也在发展！对数学的认识与理解也是与时俱进的. 不管怎么说：数与形总是数学的两大柱石. 因此人们常说：数学是研究数量关系与空间形式的科学.

如何研究呢？也就是说数学工作者的工作有什么特色呢？我们看两道大家都可以理解的趣味数学问题.

例1：我国的人口超过13亿。请你回答：存在两个人出生的时间相差不超过2.5秒钟吗？

那好办！咱们搞个人口大普查吧。结果兴师动众，耗费投资和精力.遗憾的是，人们的出生时间一般记录到几点几分，没有秒的记录；更不好办的是，50岁以上的人，特别是农村人口，出生时间只能精确到日.因此普查的办法是行不通的. 可是会数学地思考问题的人，却采取另外的处理方式. 咱们就看1～100岁的人就够了，1小时等于3600秒，1天24小时等于3600×24=86400秒，1年最多为366天（都按闰年算）合86400×366=31622400秒，100年最多为3162240000秒. 如果每2.5秒为1个间隔，3162240000秒为个间隔，现有1300000000个人，放入1264896000个间隔，可以肯定，至少有两个人出生的时间相差不超过2.5秒钟. 所以会数学思考的人不用人口普查，只需要动脑筋，想一想，算一算，就很快得出了肯定的结论. 你看数学的思考多么奇妙！

例2：有没有这样的集会，大家见面后互相握手，其中握奇数次手的总人数恰恰是2005？

你要组织人员在会议中去统计吗？那也是大海里捞针了！难！会数学思考问题的人，往往从一般情况入手分析：假设参加集会有n个人，每两个人见面握一次手，对每人都计握手1人次. 握来握去，有的两个人重复握手也没有关系. 假设，握0次手的人有n0个，握1次手的人有n1个，握2次手的人有n2个，握3次手的人有n3个，握4次手的人有n4个，……，握k次手的人有nk个，……，

则0×n0+1×n1+2×n2+3×n3+4×n4+…+k×nk+…

=2×握手总次数=偶数

于是1×n 1+3×n3+5×n5+7×n7+…=偶数

即（n 1+n3+n5+n7+…）+（2×n3+4×n5+6×n7+…）=偶数

所以n 1+n3+n5+n7+…=偶数. 因此会数学思维的人出口惊人地告诉我们：握奇数次手的总人数必是个偶数，决不能等于2005.

上面的例子太简单了，那我们就看一个可以基本听明白的事例.

例3：实现计算过程的数学模型——图灵机.

电子计算机的研制成功是20世纪的重大科学成就之一. 而计算过程实现机械化的可行性的证明是由数学家实现的. 多少世纪以来，人们都在学习计算，但是究竟什么是计算？在1936年以前，从未有人进行过实质性的思考. 数学家图灵于1936—1937年发表论文《论可计算数及其对判定问题的应用》，首次对计算的本质进行了深刻的分析. 他用抽象分析法，舍弃计算时所用的工具、符号等与实质无关的因素，对计算的结构进行了分析. 图灵发现在用二进制表示数的情况下，一切计算过程都具有“线性”的性质，即整个计算就表现为一条印着方格的纸带上的一个只含0和1两个数码的数串，每个方格中只有一个数码（0或1）. 于是发现计算可能做的事，也就是计算的实质只是如下几种活动：

（1）写上符号0；

（2）写上符号1；

（3）向左移一格；

（4）向右移一格；

（5）观察现在扫描的符号并相应地选择下一个步骤；

（6）停止.

计算者执行的程序，也就是这类指令所排列成的表，这就是实现计算过程的数学模型. 这个模型就是后来文献中所说的图灵机. 它是在不考虑硬件的条件下，对可计算问题的逻辑描述. 图灵机是程序内存的，主要由三部分组成：一条带子、一个读写头、一个控制装置. 图灵机理论表明，一切可计算问题都可以机械地进行. 因此，通用计算机是可以制造出来的. 这为现代电子计算机的开发从理论上打下了基础. 而弄清算法的结构，找到实现计算过程的数学模型，又是发现图灵机的关键.

试想，不用证明可行性，哪个投资者敢向无底洞去投资呢？既然图灵从理论上证明了一切可计算问题都可以机械地进行. 因此，通用计算机在理论上是可以制造出来的. 剩下的事都交给技术工程师去实际完成就可以了. 事实上，计算机的5代革命，都是数学领头的.

再如，王选教授创造的汉字激光照排系统，使印刷业告别了“铅与火” 的时代，处于国际领先水平. 众所周知，汉字字形信息量太大，数字化的困难是西方文字照排无法相比的. 王选说：“由于我是数学系毕业，所以很容易想到信息压缩，即用轮廓描述和参数描述相结合的方法描述字形，并于1976年设计出一套把汉字轮廓快速复原成点阵的算法.”王选的成功，具有不平常的意义. 其中数学技术是关键的技术之一.

以上三个例题，可以使我们看到，数学是一种理性的思维方法，一种推理的方法. 能用数学方法去判断一个想法是否正确，或者至少是否大概正确.数学是探索和发明的乐土，在这里每天都有新思想被发现. 数学是用来解决科学中、行政管理中、其他各种行业中提出的各种问题的一种思维方法. 它是用各种符号表达的语言，这种语言能为世界上所有的文明民族所理解；数学还是宇宙的语言，也能为地外文明（如果存在的话）所理解. 它是一种像音乐那样具有对称性、令人喜悦的节奏的艺术.

通过这些介绍我们大体可以了解到：

数学是以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的一门科学.它非常抽象！属于理性思维的范畴. 它推理严谨，结论确定. 它的应用十分广泛，这些是它的主要特点. 数学具有人类追求的真、善、美的特点，数学的美不同于科学的美，艺术的美，数学的美是理性的美，抽象的美. 数学是锻炼思维的体操，数学是打开科学大门的钥匙.正如华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，地球之变，化工之巧，日用之繁，无处不用数学.”

再看几个数学的奇迹！

事例1 1781年，德国物理学家、天文学家赫舍尔（1738—1822）发现了天王星以后，人们又发现它的计算位置和实际观测位置有偏差，而这种偏差又是无法用当时已知行星的吸引作用的影响来解释的. 因此，科学家猜测一定有尚未发现的行星存在. 1845年，法国天文学家勒维烈（1811—1877）根据哥白尼学说计算出了这颗当时尚未发现的行星的轨道. 1846年9月18日，勒维烈把他的计算结果写信告诉了柏林天文台助理员、天文学观察家约翰·加勒（1812—1910），加勒在1846年9月23日收到这封信的当天晚上，即观测发现了这颗新的行星，其位置距离勒维烈的计算位置相差不到1°！这就是海王星. 人们把海王星称为“笔尖上”发现的行星！

事例2 土星光环从望远镜里观察似乎是连续的物质. 数学家用计算证明这是不可能的，并且光谱的分析证实了根据计算而得出的结论.

事例3 由于长期天文观测，发现土星的轨道在扩大，木星的轨道在缩小. 于是提出一个问题，长此下去，木星将会掉到太阳上去，而土星将会飞出太阳系.

这个问题关系到太阳系的前途，普遍受到人们的关心. 拉普拉斯根据数学原理，用微积分工具，特别是无穷级数，论证了这种现象源自于行星间的引力作用，轨道发生周期性扰动. 以后土星和木星的轨道还会变回去，并计算出这个周期是929年. 这个结论超出了人们的直观范围，而天文观测又要到九百年后才能看到.

这就要求数学必须具有逻辑的严谨性，结论的确定性，这样才能保证科学的预见性. 这种以后将发生的事总还可以检验，而历史上久远发生过的而记载是否真实的事就更不好检验了. 然而，数学不但可以准确地预报未来，也还能精确地“回报”往事.

比如《春秋》中记载了公元前722-公元前481年的37次日蚀，通过计算可以判知其中有32次是可靠的，其余皆属误传.

人们在谈论人文精神时，常常把人文精神定位在追求“真、善、美”和人的全面而自由的发展的最高层面上. 在讨论艺术美的理论中，也经常谈到“真、善、美”三位一体的问题. 对于数学，一个正确的数学理论，反映客观事物的本质与规律，这是数学的真；数学理论不管离现实多远，最后总能找到她的用途，体现其为人类服务的价值取向，这是数学的善；数学理论本身的奇特、微妙、简洁有力以及建立这些理论时人们的创造性思维，就是数学的美. 正如数学家怀特海曾指出的：数学是真善美的辩证统一. 因此从更广泛的意义上看，数学是一种文化，是一种追求理性美与创造理性美的文化.

数学家H·庞加莱说过：数学家不单单因为数学有用而研究数学；他研究数学还因为他喜欢它，而喜欢它则是因为它是美丽的！

既然数学是这样的奇妙、有魅力，青少年应该立志学好数学！这并不是要求每个人都成为数学家或科学家，但是为了了解现代世界，每个人都应该掌握数学的思维方式，至少都必须懂得一些数学.