第一章 数量关系真题精选

解题方法

代入排除

（2013·联考上·47）孙儿孙女的平均年龄是10岁，孙儿年龄的平方减去孙女年龄的平方所得的数值，正好是爷爷出生年份的后两位，爷爷生于上个世纪40年代。问孙儿孙女的年龄差是多少岁？（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】A

【解析】本题如果直接求解，至少要设三个未知数，非常繁琐，考虑使用代入排除。代入A项，若相差2岁，由平均年龄可知孙儿孙女分别为9岁和11岁，11×11-9×9=40，满足题意，直接选择A。

【小杨点睛】涉及年龄、次数、人数等整数问题，答案给出数值，直接代入比较容易。

（2015·国家·65）甲、乙、丙、丁四个人分别住在宾馆1211、1213、1215、1217和1219这五间相邻的客房中的四间里，而另外一间客房空着。已知甲和乙两人的客房中间隔了其他两间客房，乙和丙的客房号之和是四个人里任意二人的房号和中最大的，丁的客房与甲相邻且不与乙、丙相邻。则以下哪间客房可能是空着的？（　　）

A．1213

B．1211

C．1219

D．1217

【答案】D

【解析】本题属于构造推断类题目，直接下手不易，那么代入排除验证即可。本题可画表格直观代入。在表格里本题的条件转化为：甲、乙中间空两列，乙、丙位置靠右，再选丁的位置即可。

【小杨点睛】构造类题目较难，但很多都可代入排除，省时省力。

（2014·上海A·68）某工厂某种产品每月的产能为8000个，1月的销量为5000个，且预计每月销量环比增加10%，则当年该产品库存最高的月份是（　　）。

A．4月

B．5月

C．6月

D．7月

【答案】B

【解析】设第n月的库存量为y，则，涉及幂次，直接求y的最大值有点困难。此时我们可以考虑代入排除。

依据常识可知，当产量大于销量时库存增加，当销量大于产量时库存减少，因此库存最高的月份5000（1+10%）n-1最接近8000，即求1.1n-1≤1.6时，n的最大值。代入D项：1.17-1>1+6×0.1=1.6（二项式展开）; C项：1.16-1=1.21×1.21×1.1>1.6; B项：1.15-1<1.6；故选B。

【小杨点睛】题目中给出“最高”“最少”等求极值的字眼时，应该考虑答案大小来确定代入排除的次序。

（2014·天津·11）在一堆桃子旁边住着5只猴子。深夜，第一只猴子起来偷吃了一个，剩下的正好平均分成5份，它藏起自己的一份，然后去睡觉。过了一会儿，第二只猴子起来也偷吃了一个，剩下的也正好平均分成5份，它也藏起自己的一份，然后去睡觉。第三、四、五只猴子也都依次这样做。问那堆桃子最少有多少个？（　　）

A．4520

B．3842

C．3121

D．2101

【答案】C

【解析】答案信息比较充分，可以代入排除。代入的时候分析题干，桃子个数减去1个能被5整除，直接排除A、B两个选项；题目设问“最少”有多少个，利用最值代入原则，从最小的选项D开始代入，2101-1=2100，第一个猴子藏起自己的一份后有;1680-1=1679不能再被5整除，D项错误，排除。只剩下C选项，无须代入，直接选择。

【小杨点睛】一般情况下，代入排除结合整除特性，会起到事半功倍的效果。

举一反三

请用代入排除法解答以下题目。比较一下，如果不用代入排除，应该怎么解答？

1．一个三位数，其百位数是个位数的2倍，十位数等于百位数和个位数之和，那么这个三位数是多少？（　　）

A．211

B．432

C．693

D．824

2．小华4年后年龄与小丽4年前的年龄相等，3年后，她们两人的年龄和等于她们今年年龄差的3倍，小华和小丽今年的年龄分别是多少岁？（　　）

A．10，18

B．4，12

C．5，13

D．6，14

3．某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，则这个数是（　　）。

A．1

B．10

C．11

D．9

4．某个三位数的数值是其各位数字之和的23倍，这个三位数为（　　）。

A．702

B．306

C．207

D．203

5．某单位组织员工去旅游，要求每辆汽车坐的人数相同，如果每辆车坐20人，还剩下2名员工；如果减少一辆汽车，员工正好可以平均分到每辆汽车。问该单位共有多少名员工？（　　）

A．244

B．242

C．220

D．224

6．一批武警战士平均分成若干小组值勤。如果每4人一组，恰好余1人；如果每5人一组，恰好也余1人；如果每6人一组，恰好还是余1人。这批武警战士至少有（　　）人。

A．121

B．101

C．81

D．61

7．甲、乙、丙、丁四个数的和为43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减去4，都相等。问这四个数各是多少？（　　）

A．14，12，8，9

B．16，12，9，6

C．11，10，8，14

D．14，12，9，8

8．装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（　　）

A．3，7

B．4，6

C．5，4

D．6，3

9．已知从甲地到乙地通话m分钟的电话费由函数f（m）=1.06×（0.50×{m}+1）给出，其中m>0，{m}是不小于m的最小整数。如果某人IC电话磁卡上只有5元，则此人可以用该磁卡通话的时间最多为（　　）分钟。

A．6.5

B．6

C．7.5

D．7

1．C 【解析】直接代入选项进行验证，百位数是个位数的2倍，四个选项都符合；十位数等于百位数和个位数之和，只有C项符合。因此，本题答案为C选项。

【点拨】多位数问题，代入排除。

2．C 【解析】方法一：可直接代入检验，由条件知两人的年龄差为8，所以两人今年的年龄和再加6等于24，经检验只有C项符合题意。

方法二：设小华和小丽今年的年龄分别为x、y岁。则x+4=y-4;（x+3）+（y+3）=（y-x）×3，解得x=5，y=13。因此，本题答案为C选项。

3．A 【解析】某数加上10，乘以10，减去10，除以10，其结果等于10，那么这个数是（10×10+10）÷10-10=1。但实际上，如果直接代入选项，[（1+10）×10-10]÷10=10，可以得出A项符合。因此，本题答案为A选项。

【点拨】答案信息完全，代入排除。

4．C 【解析】依据题意，将四个选项逐一代入，发现只有207满足题意。因此，本题答案为C选项。

【点拨】结合选项发现，A、B、C三项的各位数字之和都是9，9×23=207。

5．B 【解析】本题考查和差倍比问题。如果减少一辆车，则要剩余（20+2）人，这22人可平均分配到各车，可知现在车的数量为11或22，则原来车的数量为12或23，结合选项，如果是23辆车则没有答案，故原来车的数量是12，可知总人数为12×20+2=242（人）。因此，本题答案选B选项。

【点拨】代入排除，总人数末位数只能是2。

6．D 【解析】方法一：本题属于余数问题，对于余数问题，我们优先采用代入排除法。题目要求的是武警战士人数最少是多少，我们可以从最小的数开始代入，符合题意即为正确选项。代入D项61，61减去1之后是4、5、6的倍数，符合题意。因此，本题答案选D选项。

方法二：本题属于余数问题中的同余问题。武警战士人数为4、5、6的最小公倍数的整数倍再加上1，即60n+1。最少为60×1+1=61（人）。因此，本题答案选D选项。

【点拨】代入排除，“总人数-1”能同时被4、5、6整除。

7．D 【解析】代入排除。由乙数的3倍等于丙数的4倍可排除A、C两项，又由甲数的2倍加8等于乙数的3倍可排除B项，所以只有D项满足条件。因此，本题答案为D选项。

【点拨】答案信息完全，考虑代入排除。

8．A 【解析】假设需要大盒子x个，小盒子y个，列方程得：11x+8y=89，为不定方程，代入选项只有3、7满足方程。因此，本题答案为A选项。

【点拨】不定方程，直接代入。

9．D 【解析】此题宜用代入法验证，从最长的时间开始。C项，m=7.5，而“{m}是不小于m的最小整数”，即{m}=8，代入公式f（m）=1.06×（0.50×8+1）=5.3>5，排除C项。如此依次验证可知D项符合要求。

整除特性

（2012·深圳·11）某单位举办排球比赛，选男员工的和12名女员工，剩余男员工是剩余女员工的2倍，总员工人数是156人，问：男员工有多少人？（　　）

A．100

B．99

C．111

D．121

【答案】B

【解析】出现分数，可以考虑整除：选出男员工的，可知男员工的数量为11的倍数，首先排除A、C两项，将B项代入，得知选出的男员工为9人，剩余90人（剩余男员工数量）。又女员工数量为：156-99=57（人），选出12人，剩余45人（剩余女员工数量），90÷45=2，即剩余男员工是剩余女员工的2倍，正好满足题意，直接锁定答案B。

【小杨点睛】“整除特性”实际上是通过限制条件快速排除答案，是一种特定的代入排除。

（2015·天津·12）某汽车坐垫加工厂生产一种汽车坐垫，每套的成本是144元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车坐垫，并提出：如果每套坐垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是（　　）。

A．144

B．136

C．128

D．142

【答案】A

【解析】本题涉及二次函数，没有选项的思路是：设工厂销售套数是x套，由题意利润。对该函数求导有，当dy=0时y取最大值，即x=144时能够获得最大利润。

但考虑答案选项，容易发现只有144能被3整除，考虑整除特性。套数120+6n始终是3的倍数，只有A项满足能被3整除这一条件。故正确答案为A选项。

【小杨点睛】3是公考中整除特性用得最多的数字，因此应该对3的倍数产生敏感：每位上所有数字之和加起来能被3整除的数字是3的倍数。公考中常见的有96、120、144、225等。

（2012·广州·71）已知33×34=1122，333333×333334=111111222222，那么33333×33334=（　　）。

A．111122222

B．111112222

C．11112222

D．1111122222

【答案】D

【解析】所求算式中含因子3，则所得结果必能被3整除，排除A、B两项；对比C、D两项，C项结果的位数明显偏少，排除。

事实上，33333能被11111整除，所以直接排除A、B、C三项。

【小杨点睛】在形如A=B×C形式的式子里，B能被一个数整除，A也能被这个数整除。

举一反三

以下题目，是否容易看出整除规律？能否通过整除条件快速代入排除？

1．哥哥和弟弟各有若干本书，如果哥哥给弟弟4本，两人书一样多，如果弟弟给哥哥2本，哥哥的书是弟弟的4倍，哥哥和弟弟一共有（　　）本书。

A．20

B．9

C．17

D．28

2．小张和小王一起卖水果，小张卖的水果个数是小王的4倍，如果小张的水果分出一半给小王，小王就比小张多24个，问小张和小王共有多少个水果？（　　）

A．24

B．96

C．120

D．144

3．某店一共进货6桶油，分别为15、16、18、19、20、31千克，上午卖2桶，下午卖3桶，下午卖的重量正好是上午的2倍，剩下的一桶油重几千克？（　　）

A．15

B．16

C．18

D．20

4．在一袋螺钉螺母中，螺钉和螺母的数量比是3∶10。如果1个螺钉配3个螺母，最后一个螺钉配2个螺母，螺钉用完后能余下15个螺母。问袋中原来有螺母多少个？（　　）

A．120

B．130

C．140

D．150

5．小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是（　　）。

A．1元

B．2元

C．3元

D．4元

6．某洗车店洗车分外部清洁和内部清洁，两道工序时间均不少于30分钟，而且同一辆车两道工序不能同时进行，洗车间同一时间只能容下2辆车。现有9辆车需要清洗，汽车进出洗车间的时间可忽略不计，则洗完9辆车至少需要的时间为（　　）。

A．330分钟

B．300分钟

C．270分钟

D．250分钟

1．A 【解析】由“如果弟弟给哥哥2本，哥哥的书是弟弟的4倍”可知，总数一定是5的倍数，排除B、C、D三项。因此，本题正确答案为A。

【点拨】“哥哥的书是弟弟的4倍”，所以书的总数是5的倍数。

2．C 【解析】小张卖的水果个数是小王的4倍，两人合计卖的水果个数就是小王的5倍，即水果总个数是5的倍数。答案中只有C项能够被5整除。

3．D 【解析】由“下午卖的重量正好是上午的2倍”可得，上午和下午共同卖的5桶油的总重量应为上午卖出重量的3倍。6桶油的总重量为15+16+18+19+20+31=119（千克），只有去掉20以后剩余5个数的和才能被3整除。因此，本题答案为D选项。

4．C 【解析】出现“3”，考虑是否可用整除特性。由题意得，（螺母总数-15-2）是3的倍数，选项中只有C选项140-17=123是3的倍数。故选C。

5．C 【解析】因为所有的硬币可以围成一个正三角形，所以硬币的总数必然是3的倍数，那么硬币的总价值也应该是3的倍数。因此，本题答案为C选项。

【点拨】硬币总数是3的倍数，总价值也是3的倍数。

6．C 【解析】本题可以利用整除特性求解。共有9辆车需清洗，则答案应该是9的倍数，四个选项只有C项可以被9整除。故选C。

融会贯通

1．（2009·国家·109）甲、乙两人共有260本书，其中甲的书有13%是专业书，乙的书有12.5%是专业书，问甲有多少本非专业书？（　　）

A．75

B．87

C．174

D．67

2．（2013·联考下·69）现有3个箱子，依次放入1、2、3个球，然后将3个箱子随机编号为甲、乙、丙，接着在甲、乙、丙3个箱子里分别放入其箱内球数的2、3、4倍。两次共放了22个球。最终甲箱中的球比乙箱（　　）。

A．多1个

B．少1个

C．多2个

D．少2个

3．（2014·上海A·67）一艘海军的训练船上共有60人，其中有驾驶员、船员、见习驾驶员、见习船员，还有一些陆战队员。已知见习人员的总人数是驾驶员和船员总人数的四分之一，船员（含见习船员）总人数是驾驶员（含见习驾驶员）总人数的7倍，则船上有（　　）个陆战队员。

A．12

B．15

C．20

D．25

4．（2014·上海A·74）为帮助果农解决销路，某企业年底买了一批水果，平均发给每部门若干筐之后还多了12筐，如果再买进8筐则每个部门可分得10筐，则这批水果共有（　　）筐。

A．192

B．198

C．200

D．212

5．（2014·天津·14）有一支参加阅兵的队伍正在进行训练，这支队伍的人数是5的倍数且不少于1000人，如果按每横排4人编队，最后少3人；如果按每横排3人编队，最后少2人；如果按每横排2人编队，最后少1人。请问，这支队伍最少有多少人？（　　）

A．1045

B．1125

C．1235

D．1345

1．B 【解析】代入排除法。由“甲的书有13%是专业书”可知，甲的书有87%是非专业书，所以甲的非专业书是87的倍数，排除A、D两项。若甲有非专业书87本，则乙有书260-100=160（本），其中专业书20本，非专业书140本，符合题意，选B。

如果有时间可检验C项：若甲有非专业书174本，则甲有200本书，乙有60本书，则乙有专业书60÷8=7.5（本），非整数，舍去。

2．A 【解析】由题知，甲、乙、丙3个箱子里最终的球数为原球数的3、4、5倍，而原来的球数是1或2或3，由于总球数22为偶数，故1个球和3个球所在的两个箱子最终的球数仍为奇数，一种情况为1×3+2×4+3×5=26（个），不符合题意；另一种情况为1×5+2×4+3×3=22（个），符合题意。故最终甲箱为9个，乙箱为8个，甲箱中的球比乙箱多1个。选A。

3．C 【解析】见习人员人数是驾驶员和船员人数的，说明这四种人的总数必须是5的倍数，同理船员人数是驾驶员人数的7倍，说明这四种人的总数必须是8的倍数，据此要求，训练船上的总人数减去陆战队员人数所得的数应能同时被5和8整除，验证知只有C项正确。

4．A 【解析】总数加8应能被10整除，排除B、C项。将A项代入，则部门数为20；将D项代入，部门数为22，则212÷22=9……14，不符合题意。故选择A。

5．A 【解析】每行排4人，最后少3人，说明总人数加3能被4整除，排除C项；每行排3人，最后少2人，说明总人数加2能被3整除，排除B项；每行排2人，最后少1人，说明总人数加1能被2整除，A、D两项都满足，而题目要求是这支队伍最少有多少人，故选A。

枚举归纳法

【例1】整数64具有可被它的个位数字整除的性质。试问在10和50之间有多少个整数具有这种性质？（　　）

A．15

B．16

C．17

D．18

【答案】C

【解析】枚举法。个位是1、2、5的数都能被其个位数字整除，共3×4=12个；个位是3的只有33；个位是4的有24和44；个位是6的只有36；个位是7的没有；个位是8的只有48；个位是9的没有。故在10和50之间共有17个整数具有这种性质。故本题答案为C。

【例2】小张每连续工作5天后休息3天，小周每连续工作7天后休息5天。假如3月1日两人都休息，3月2日两人都上班，问三月份有多少天两人都得上班？（　　）

A．12

B．14

C．16

D．18

【答案】B

【解析】枚举法。从3月2日开始，上班用“×”表示，休息用“○”表示，则有：

小张：×××××○○○×××××○○○×××××○○○×××××○

小周：×××××××○○○○○×××××××○○○○○××××××

易知，小张和小周都上班即同时为“×”的共有14天。故本题答案为B。

【例3】根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是（　　）。

A．周一或周三

B．周三或周日

C．周一或周四

D．周四或周日

【答案】D

【解析】枚举法，最直接的做法：简单画日历。画好周一、二、三、四、五、六、日，把日期往里代。代入周一，不符合题意，排除选项A、C；同理代入周三，不符合题意，排除选项B。故本题答案为D。

【例4】用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第1条直线将平面分成2块，第2条直线将平面分成4块，第3条直线将平面分成7块，按此规律，将平面分为22块需（　　）。

A．7条直线

B．8条直线

C．9条直线

D．6条直线

【答案】D

【解析】枚举归纳。枚举前4条直线，规律如下：

看规律，猜测第二行是一个二级等差数列，那么下几项是16、22…结合题意可知，猜测正确。故本题答案为D。

十字交叉法

【例1】某超市购进西瓜1000个，运输途中碰裂一些，未碰裂的西瓜卖完后，利润率为40%，碰裂的西瓜只能降价出售，亏本60%，最后结算时总的利润率为32%，问碰裂了多少西瓜？（　　）

A．80

B．75

C．85

D．78

【答案】A

【解析】十字交叉法：

，总和为1000个，那么碰裂了80个。

【例2】一只松鼠采松子，晴天每天采24个，雨天每天采16个，它一连几天共采168个松子，平均每天采21个，这几天当中晴天有几天？（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

【答案】C

【解析】十字交叉法：

，晴天是5的倍数。

【例3】某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？（　　）

A．34

B．36

C．35

D．37

【答案】C

【解析】对A、B部门运用“十字交叉法”得其人数比例为3∶4，对B、C部门运用“十字交叉法”得其人数比例为4∶5。根据比例赋值A、B、C部门分别有3、4、5人。那么平均年龄=（38×3+24×4+42×5）÷（3+4+5）=35。故选C。

【例4】某公司2011年前三季度营业收入7650万元，比上年同期增长2%，其中主营业务收入比上年同期减少2%，而其他业务收入比上年同期增加10%，那么，该公司2011年前三季度主营业务收入为多少？（　　）

A．3920万元

B．4410万元

C．4900万元

D．5490万元

【答案】C

【解析】设2010年前三季度主营业务收入为x，运用十字交叉法：

则，所以2011年前三季度主营业务收入为5000×98%=4900（万元）。

【小杨点睛】注意：涉及增长率、折扣的十字交叉法，求得的是基期、折前的量。

【例5】小张去机票代理处为单位团购机票10张，商务舱定价1200元/张，经济舱定价700元/张。由于买的数量较多，代理商就给予优惠，商务舱按定价的9折付钱，经济舱按定价的6折付钱，如果他付的钱比按定价少31%，那么小张一共买了经济舱票的票数是（　　）。

A．7张

B．6张

C．9张

D．8张

【答案】D

【解析】9折即定价的90%;6折即定价的60%；比定价少31%即定价的69%。注意运用十字交叉法得出的两者之比是折扣前的钱数之比而非票的张数之比。

而两者单张价格比是12∶7，所以两者张数之比是，总数为10张，那么经济舱是8张。