当孩子有能力数到10了，他就已经超越了用视觉进行数量判断的程度。他们必须自己去一个一个地数。在这个阶段，识别并比较物品不同的数量需要依靠知识，“如果我数过，那么我就知道有多少”或者“如果我数过两种不同的物品，得到的是一样的数字，就可以知道两个不同的物品有同样的数量”。
第3章提供的许多活动都能帮助孩子强化数到10的能力。由于我们目前采用的是以10为一个计位系统的数字体系，所以10对孩子来说是一个重要的里程碑。另外，10与人类手指的关系也异常密切（5就是人的一只手手指的数量，恰好是10的一半）。第3章中许多活动都与孩子将来进入小学后的数学学习有关（比如将来要学习到的47，其实就是4个10与7个1组成的数字）。
第3章还要求孩子能够从10开始倒数。让孩子使用更灵活的数数方式，也暗示孩子去发现，从一个数量中拿走一部分，再全部拿回来重新混合并不影响最终的数量。这个概念将在第6章中深入展开。
本章中将需要用到许多蒙台梭利设计开发的教学教具，你可以访问蒙台梭利机构的网站www.montessori.org找到大量相关的教具。你也可以在书中找到我提供的制作这些教具的方法，自己动手制作。
总体上说，如果提供的教具让你觉得太为难，那也要坚持尝试这里提供的活动。你可以在理解活动本质的基础上创造性地发挥主观能动性寻找替代的教具，实现同样的目的。
如果孩子的表现符合如下情况，那么，请一定带孩子参与本章提供的所有活动：
●从5数到6的时候犹豫不决，尤其是当物品不在一条直线上排列、数数出现困难时。
●物品的大小和不同的摆放方式对孩子数数造成影响，孩子不能准确判断数量。
●孩子能够清点出两堆物品的数量不同，但是不能确定哪一堆较多（例如，一堆物品数量为6、另外一堆为8的情况）。
数字棒
材料与规划
15个木条，高2.5厘米、宽2.5厘米，每10厘米一段，分别涂上红色和蓝色，如图3—1。具体要求如下：
图3—1
◇两条长度为10厘米的木条，一条涂红色，一条涂蓝色。
◇两条长度为20厘米的木条，每条上10厘米是红色，另外10厘米为蓝色。
◇两条长度为30厘米的木条，颜色涂为蓝红蓝相间。
◇两条长度为40厘米的木条，颜色涂为红蓝红蓝相间。
◇七条长度为50厘米的木条，其中六个的颜色为红蓝红蓝红相间，另外一个的颜色为蓝红蓝红蓝相间。
提示：在蒙台梭利早教教具中有许多类似的标准教具，有长度10厘米的，也有1米的，都按照标准涂上了红蓝两色。这个活动也可以用商店购买的类似的标准木条。
准备五个2.5厘米×2.5厘米正方形的双面胶，将木条两端粘贴起来用于保护木条，也可以用如图3—2显示的底部的两个粘贴，可以将两个木条粘连在一起。
图3—2
备选方案
●也可以用平面的数字条，比如硬纸板或者木片。长度与颜色要求与上述标准相同即可。当然了，立体的物品对孩子更有吸引力。
●也可以用高级的聚氯乙烯材料（通常使用的塑料管），长度与颜色符合前面的标准就可以。许多管道维护商店都会有类似的材料，价格并不高，容易剪裁，也可以上色，而且还有塑料管链接扣，也容易延伸使用（我常用的是内外扣的结合带，见图3—3）。
图3—3
●也可以让孩子们学习类别的概念。可以将一个类别当作2，那么这个类别的一半就是1，这个类别的1倍就是4，使用小锯子切断较长的木条，制作不同类别的成套木条，如3条一套的和5条一套的。这是让孩子体验成套的概念。
●也可以根据前面介绍的木条的长度标准来制作数字木条，将红色或者蓝色替换为数字。日后可以用红色、蓝色的纸来包装木条，将它恢复为标准的颜色教具。
研究蒙台梭利早教的学者对这个游戏有许多不同的观点，有一些观点认为红色和蓝色的对比反差过大。替代方案是将蓝色替换为白色，或者其他较接近自然的颜色。
基础活动
1 将两端都是蓝色的木条放在一起，其他木条随意发放给孩子。
2 要求孩子们将所有木条按照从左到右逐渐加长的楼梯形状排列，而且要求每一节最左边的必须是红色。
3 要做成6排，就需要挑选更多木条，要求孩子在找到木条时数出声音来“1，2，3，4，5，6”。必要时，使用双面胶粘牢，使木条延长。
4 要求孩子能够将所有木条都按照要求摆放整齐。
扩展与延伸
●大人可以与孩子就这个游戏进行多种灵活的玩法。
◇“谁有3段长的木条？”
◇“两端都是红色的木条在哪里？”
◇“整套木条中哪个不见了？”
◇“我已经有5个了，怎么将它变成8个呢？”
●这个游戏也可以扩展孩子对数量的认识。孩子可以将小卡片或者其他的小教具放到不同的颜色木条分区中。同时可以计数，用一个四段的木条，沿着木条上的不同颜色，相应地放置物品，第一段放一个说1，第二段放一个说2……将所有的物品都放入相对应的段后，就数到了4。
●孩子也可以用木条来摆放不同的图形，比如：
◇一个迷宫圈。可能需要添加一个9段和10段的木条作为最后两段，以便组成一个正方形有出口的迷宫圈，如图3—4。
图3—4
◇一个渐渐向上的梯形，或者金字塔形的数字条，确保上面的数字要小、底部的数字要大。
◇也可以组成一个纵向的鱼骨形，中间横搭几个木条，需要用到10段的，9段的，8段的和7段的。也可以鼓励孩子按照自己的想法去摆放和设计，并使用各种小教具来美化图形，如图3—5。
图3—5
◇制作五个长度为11段的木条，可以用一个10段的木条再延伸一段的成为11段，还可以用一个9段的木条与一条2段的组合，直到组成5条11段长的木条。
●孩子还可以用数字条来测量房间的大小，一条接一条地测量。还可以用来测量户外物品的长度。
该学到的概念和技能
●对孩子来说5和10是比较重要的计数里程碑（比如，7就可以由5和2组成），10可以是2个5。在认识数字的早期阶段，要尽量做到对个位数字的扎实认识，为日后透彻理解十进位打下良好的基础。木条的设计可以从形态上模拟人类的手指，这是非常容易让孩子接受的计数方式。
●准确数到10。木条的长度可以使差错很容易看出来，因为如果孩子数错了，一个木条的长度就立刻与其他木条的长度不吻合了。
●持续计数。如果孩子能够用5段与1段的木条组合成6段，就应该鼓励孩子跨越5，从5直接数到6，而不是重新从1开始数到6。
●掌握对基数原则的理解。数的最后一个数字就代表了木条的总长度。
要点摘要
这个游戏有一个潜在的误导，由于5段其实就是1个木条，孩子有可能会当作1来看待，因为那是一个物品，此时让孩子将其当作5，他们会感到困惑，这就是要在“扩展与延伸”中放置对应物的作用。
无论孩子的母语是什么语言，这个游戏都可以帮助孩子建立对数字的认识，而且打下重要的数字基础。
古氏积木
材料与规划
在许多文具店都可以买到古氏积木，它是由木条或者塑料条涂上颜色做成的，长度从1到10厘米。古氏积木的颜色设计合理，孩子可以直接通过视觉来理解数量。1节的就是1厘米，10节的就是10厘米，古氏积木的价格并不昂贵，对于早教来说，非常有价值。当然，也可以购买颜色印章，然后在纸条上盖章来制作自己的古氏积木，这样会增加教室内的活跃气氛。
备选方案
●将一个5节长的木条的一侧用四条横线平均隔成五块，如图3—6。其他侧面则保持空白，以提示孩子这还是一个整体。
图3—6
●如果手边没有古氏积木，也可以自己按照颜色组合的方式制作（用塑料条、木条、纸条都可以）。还可以用十种不同颜色来替代10节，对于年龄较小的孩子，尽量将木条做得大一些。（规则是孩子越小，教具的体积就要越大。）
基础活动
1 孩子能够根据颜色来区别不同的数量。
2 如果在木条一侧采用了分隔间距，他们就可以通过清点间隔的格子数来核实自己的理解对不对。
扩展与延伸
●大人在这个活动中可以变化多种问题来引导孩子参与：
◇“谁有6节的木条？”
◇“4节的木条在哪里？”
◇“什么样的看不见了？”
◇“我有一个5节的，添加几节就可以成为8节？”
●“数下去”。由一个孩子随意挑选一节木条，比如他选的是一个5节的木条，让有间隔方格的那一侧朝下放在桌上。让另外一个孩子再去挑一个1节的，接在刚才那条后面，这次将有方格间隔的侧面朝上。让孩子猜测现在共有多少节。（注意：尽量不将第一条的方格均分那面翻出来，应该鼓励他们猜测）。
●“多还是少”。将所有的木条放入一个不透明的袋子中，让两个孩子各取一节出来，说出自己拿出来的是多少节的，然后旋转一个“多少”陀螺，参考附录14的模板，如果陀螺停在节数多的木条上，那么让那个孩子说多出来多少节。（可以将两个木条并排在一起比较长度。）然后再找另外的木条来将节数少的木条补充到和节数多的木条一样长。在不断从袋子里拿木条的时候，就不断计数，并说出数字。
●“你到底要如何做？”一个孩子任选一节木条，或者两节木条，让另外一个孩子用其他木条拼接一个一样长的木条。
●这个游戏需要3个以上的孩子参加，同时需要40节木条。每个孩子任选4节，并将它们藏在布下，其他的木条放进不透明的袋子里。游戏目标是使从袋子中选择的木条与先前拿出来的木条一样长。游戏这样开始：第一个孩子问另外两个孩子：“你们有3节的木条吗？”其他的孩子看一下他们自己的，如果有，就将所有3节的都交给第一个孩子；如果没有，就可以说：“钓鱼吧！”那么，第一个孩子就从袋子里取。然后是第二个孩子开始。如果一个孩子找到了所有与最先拿出来的相同的木条，就都摆出来，算是完成了游戏。其他的孩子再继续玩到找出相同的木条为止。
该学到的概念和技能
●体验整体（完整的一块木条），以及由个体组合的整体。
●数量的相对性。
●正向数，逆向也可数。
●整体与部分的关系。
要点摘要
古氏积木的主要用途体现在颜色对数量的标识作用。如果整体的一条没有被均分的格子区别开，对于初学数数的孩子来说，还是太难。对木条的一侧标识了均分的间隔后，孩子就容易清点多了，而且会不断通过数数的方式来确定自己的答案。
分米条
材料与规划
制作55个木条。2.5厘米宽×2.5厘米高×10厘米长。将其中30个涂成红色，25个涂成蓝色。请参考图3—1，图3—4，图3—5，图3—6。将55个木条都制作为1到10的节段。
准备一个托盘或者篮子。
完整的数字木条。
备选方案
●参考附录4的模板制作一个纸板，或者用其他适合的材料制作。
●分米木条也可以买到，蒙台梭利早教机构有类似的教具。
基础活动
1 在房间的两边，一边站一个孩子，每个孩子手里拿一个木条。
2 一边的孩子对另一边的孩子说：“看我手里的这个木条，你能够找到一个与我手里的一样的吗？”
3 这边的孩子挑选一个与看到的一样的木条，放到盘子上，然后走到房间的另外一边。
4 最后，第一个孩子比较两个木条是否一样，如果不一样，就要求第二个孩子改正。
扩展与延伸
●使用分米条进行匹配活动，将相同的归类或者按照某个标准去找相同的。
●一个孩子用分米条摆放成一个梯形，让其他孩子用分米条按照梯形再摆一个：
◇在分米条的梯形最后一阶，可以放一个加长的分米条。
◇也可以搭建一个如同镜子反射一样的图形（比如梯形向左升高，那么就摆一个向右升高的梯形）。
◇也可以在跟着摆放分米条时，采用逆向的次序，比如分米条最后一段是10节的，那么就跟着摆一个分米条，倒数第二段的是9节的数字条，那么就再跟着摆两个分米条，最后会形成10个11节的长方形。
◇对应分米条的直角，用更大的分米条做一个直角，如图3—7。
图3—7
●当然，孩子也可以将所有分米条延长，用来测量室内任何物品的长度。
该学到的概念和技能
●理解数量不变的整体可以由不同的部分组成。
●开始观察单数和双数。这个年龄段的孩子还没有单数和双数的概念，也不知道这两个术语，但是他们应该可以意识到有一些木条中红色与蓝色的颜色节段的数量是一样的（比如2，4，6，8和10），而另外一些数字的木条中同样颜色的数量是不一样的（比如1，3，5，7，9）。
●逐渐引入测量的活动。从孩子的视角来看，他们每天使用的物品（非标准化物品）其实都是可以测量的。这也是最早的接触测量的基础动作。
要点摘要
虽然大人认为分米条其实是标准物品，用于测量也是标准动作，但是对孩子来说是全新的。当孩子开始学习词汇的时候，要注意：在提到木条时，最好使用公制的说法。学习语言的时候就进行强化是最好的时机。
十格阵
材料与规划
在一块地毯或者化纤布上用粗笔画出5×2个正方形（两列，每列5个），也可以用鸡蛋盒或者制冰盒替代，适当剪裁为2列5行。
准备一些用于标志的小物品，主要用作数数时的记号。
这个活动的规则是填充十个格子的次序必须是从左到右，而且从上到下。（比如，7个物品，一定先将上一列放满，然后再在下一列放2个，如图3—8。）从1到10都要遵守这个规则，这样在10以内的数量，就可以一眼看出来。
图3—8
基础活动
1 用一个纸板当作遮挡物，可以部分遮挡十格阵（部分可以看见，部分看不到），一个孩子将物品放好，一个格子放一个物品。
2 然后，孩子将遮挡物打开，让第二个孩子看到，然后再遮挡上。第二个孩子要能够说出物品的数量来，然后将遮挡物挪开，两个孩子一起验证数量是否正确。
3 交换次序重复该活动。
扩展与延伸
●十格阵可以给总是爱找东西的孩子玩。如果数不清楚自己的东西，也可以用十格阵练习。比如，如果孩子的某件东西一共8个，那么就可以放入十格阵，一列满了，再在下一列中放入3个，于是就可以确定地说：“就是8个。”如果数量超过10个，那么，可以多做几个十格阵。
●十格阵也可以用于让孩子比较物品的多少。比如，一个孩子数过一堆东西，然后说：“一共8个。”另外一个孩子数了自己的后，说：“我有6个。”如果他们彼此还不知道谁的多，就可以把物品分别放入十格阵，就可以比较出来，最后共同得到结论：“8多，6少，”如果比较的数目超过10，就多用几个十格阵。
●孩子也可以玩“多1个，少1个，多2个，少2个”的游戏。让孩子准备两个十格阵，然后放入相同数量的物品，然后他们可以说：“两个十格阵中各自都有7个物品，如果让其中一个十格阵中的物品少1个的话，那会是多少呢？”其他孩子先猜测，然后通过在十格阵中拿走1个，看是多少。当然，也可以增加遮掩物，让孩子猜测少1个会是什么样子。或者少2个，多2个，或者先说出少2个后的数，然后再在十格阵中实践。这个活动也可以让许多孩子一起参与，采用那投影仪，将十格阵反射到墙上。
●还可以准备分别写有1到10的十张卡片，组织孩子玩“打靶”和“钓鱼”的游戏。“打靶”是一个孩子翻开一张卡，如果是1，就在十格阵中放一个物品，如果是2就放两个物品，持续下去。然后将所有的数字卡向下放置，然后随意翻开其中两张，其他的孩子根据翻开的两张向十格阵中放物品。“钓鱼”需要一副只有1到10的扑克牌摞在桌上，每个孩子从中任意抽取4张。其中一个孩子可以问：“你有5吗？”如果第二个孩子有，就将5的牌给第一个孩子；如果第二个孩子没有，就从桌上的一摞中任意抽取一张，这叫“钓鱼”。如果抽出来的恰好是5，那么第一个孩子还可以继续提问。如果不是，将卡放回，由第二个孩子提问。如果一个孩子将扑克牌中所有的5都拿到手后，就将这4张放在眼前，就算是完成任务了。
●年龄大一点的孩子可以准备多个十格阵，用较大的数量来练习分类和快速识别的能力。（比如，用4个十格阵，其中3个都是满的，一个十格阵中只有5个，孩子就能够快速说出35。）
该学到的概念和技能
●5和10是关键的里程碑。
●相对数量概念。经常做这个活动的好处是可以让孩子形成习惯，看一眼就知道哪个十格阵中的物品多，从而形成数量的相对性概念。如果一个十格阵的两列都满了，而另外一个十格阵的一列没有满，满的那个当然就多。同样，12会比14要少，虽然两个十格阵都满了，但是，12在第二个十格阵中才填满两个格子，而14在第二个十格阵中填满了4个格子。
●渐渐引入位数概念。14是由一个十格阵以及另外一个十格阵中4个格子组成的。22需要先填满两个十格阵，再在第三个十格阵填2个。于是，通过十格阵可以了解位数——22是2个10，再多2；14就是1个10，再多4个。它们对应着将来孩子要学习的十进制。
要点摘要
十格阵的第一个主要目的是让孩子熟悉用视觉感知较大的数量。通过大量练习，从而可以看一眼立刻就说出数字。
人类目前使用的十进制非常强大。对于孩子来说，难以逾越的障碍就是10这个数字太大，不能立刻用视觉感受到。采用十格阵的形式，就是通过排列状态来加深对数字的认识，以5为一个单元，可以快速将孩子对较小数量的视觉感受升级为对10以内数量的视觉感受。
桌用木条
提示：桌用木条是短小的、类似平面形式的数字条，如图3—9。如果不熟悉木材，也可以考虑用其他材料。
图3—9
材料与规划
桌用木条也可以自己做，大小尺寸为1厘米×2.5厘米，至少做10个，累积在一起可以长达25厘米。每一块涂上红色或蓝色。用有颜色的胶带粘贴木条也可以达到同样效果。
备选方案
●可以从蒙台梭利教育机构买到桌用木条。
●也可以按照颜色标准使用纸板，参考附录5的模板。
基础活动
1 让孩子先找到一节的，然后找到两节的，直到可以组合成阶梯形。
2 一边摆放，一边提问：
◇“谁有3节的？”
◇“5节的在哪里？”
◇“现在还差几节？”
扩展与延伸
●重新制作2.5厘米×2.5厘米的木片，分别涂上红色或蓝色，并用粘贴纸将一侧粘上，如图3—10。这样所有的木块可以连接成一条线，也可以变成红蓝相间的一摞。
图3—10
●年龄大一点的孩子可以用桌用木条拼接更大的数量，组合出超过10的梯形。
该学到的概念和技能
●计数。
●双数与单数（奇数与偶数）。
要点摘要
桌用木条体积较小，因此可以在狭小的空间内使用。在第4章中也有多种活动需要用到桌用木条。
译者点评
给孩子试错的机会，我们中国的家长也会认同的。但是，美国的早教专家将允许孩子出错和孩子自己担心出错区分开来。在中国，当孩子犯了错时，大人立刻纠正，并再次将已经讲过的知识或者技能重复一遍。此时，孩子会告诉自己下一次不要出错了。这就在孩子幼小的心灵中留下了深刻的烙印，那就是不能出错，否则大人会不断纠正的。这形成了一个教育风险。这个风险在孩子童年早期就开始生根发芽了，这是多么让大人担心的事情。从此孩子畏手畏脚，不敢越雷池一步，不断观察大人的脸色，在这种心境下，他们怎么还能专心学习任何知识呢？
但美国孩子就没有这种担心，原来美国学生的创造力源于此并长于此。直到他们成人以后，才能够不断地迸发出雄厚的创造力。没有犯错误的风险多么重要。