【热点试题 分类精选】

基础过关

1.（2014全国课标）曲线y=xex-1在点（1，1）处切线的斜率等于（）.

A.2e

B.e

C.2

D.1

2.（2014山东）直线y=4x与曲线y=x2在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）.

A.

B.

C.2

D.4

3.（2014陕西）定积分 的值为（）.

A.e+2

B.e+1

C.e

D.e-1

4.（2014江西）若，则=（）.

A.-1

B.

C.

5.（2015陕西）对二次函数f（x）=ax 2+bx+c（a为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）.

D.1

A.-1是f（x）的零点

B.1是f（x）的极值点

C.3是f（x）的极值

D.点（2，8）在曲线y=f（x）上

6.（2015安徽）函数f（x）=ax 3+bx 2+cx+d的图像如图所示，则下列结论成立的是（）.

A.a＞0，b＜0，c＞0，d＞0

B.a＞0，b＜0，c＜0，d＞0

C.a＜0，b＜0，c＜0，d＞0

D.a＞0，b＞0，c＞0，d＜0

7.（2015湖南）=.

8.（2014福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为______.

9.（2014广东）曲线y=e-5x +2在点（0，3）处的切线方程为______.

10.（2014江西）若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标是______.

11.（2015陕西）设曲线y=ex 在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点p处的切线垂直，则p的坐标为 .

12.（2015陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为______.

13.（2014安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x-x2-x3，其中a＞0.

（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；

（2）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值.

中档提升

14.（2015新课标2）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）.

A.（-∞，-1）∪（0，1）

B.（-1，0）∪（1，+∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0）

D.（0，1）∪（1，+∞）

15.（2015北京模拟）某地区在六年内第x年的生产总值y（单位：亿元）与x之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）.

A.第一年到第三年

B.第二年到第四年

C.第三年到第五年

D.第四年到第六年

16.（2015福建）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）.

A.

B.

C.

D.

17.（2015新课标1）设函数f（x）=e x（2 x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）.

A.

B.

C.

D.

18.（2014湖南）已知函数（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图像上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）.

A.

B.

C.

D.

19.（2014全国课标）已知函数f（x）=ax 3-3 x 2+1，若f（x）存在唯一的零点x 0，且x0＞0，则a的取值范围为（）.

A.（2，+∞）

B.（1，+∞）

C.（-∞，-2）

D.（-∞，-1）

20.（2015北京）已知函数.

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）求证：当x∈（0，1）时，；

（3）设实数k使得对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值.

21.（2014北京）已知函数f（x）=xcosx-sinx，，

（1）求证：f（x）≤0；

（2）若在上恒成立，求a的最大值与b的最小值.

22.（2014江西）已知函数（b∈R）.

（1）当b=4时，求f（x）的极值；

（2）若f（x）在区间上单调递增，求b的取值范围.

23.（2015四川）已知函数f（x）=-2（x+a）ln x+x 2-2ax-2a 2+a，其中a＞0.

（1）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；

（2）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在（1，+∞）内有唯一解.

24.（2014全国课标）设函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x-1）+2.

（1）求a，b；

（2）证明：f（x）＞1.

25.（2015天津）已知函数f（x）=nx-x n，x∈R，其中n∈N∗，n≥2.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；

（3）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实根x1，x2，求证：

26.（2014山东）设函数（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）.

（1）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围.

27.（2015重庆）设函数（a∈R）

（1）若f（x）在x=0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（2）若f（x）在[3，+∞）上为减函数，求a的取值范围.

28.（2014重庆）已知函数f（x）=a e 2 x-b e-2 x-cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4-c.

（1）确定a，b的值；

（2）若c=3，判断f（x）的单调性；

（3）若f（x）有极值，求c的取值范围.

29.（2015北京模拟）设n∈N∗，函数，函数 ，x∈（0，+∞）.

（1）当n=1时，写出函数y=f（x）-1的零点个数，并说明理由；

（2）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l：y=1的两侧，求n的所有可能取值.

30.（2015北京模拟）已知函数（a≠0）.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若{x|f（x）≤0}=[b，c]（其中b＜c），求a的取值范围，并说明[b，c]⊆（0，1）.

31.（2015北京模拟）已知函数f（x）=acosx+xsinx，.

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；

（2）求集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；

（3）当1＜a＜2时，函数f（x）有多少个极值点？（只需写出结论）

压轴突破

32.（2015江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值.

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

① 请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；

② 当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

33.（2014福建）已知函数f（x）=e x-ax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为-1.

（1）求a的值及函数f（x）的极值；

（2）证明：当x＞0时，x2＜ex；

（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x2＜cex.

34.（2015新课标1）已知函数，g（x）=-lnx.

（1）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；

（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数.

35.（2014湖南）已知常数a＞0，函数.

（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围.

36.（2014湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数，

（1）求函数的单调区间；

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数；

（3）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

37.（2014江苏）已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.

（1）证明：f（x）是R上的偶函数；

（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；

（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（-x30+3x0）成立.试比较ea-1与ae-1的大小，并证明你的结论.

38.（2014全国课标）函数（a＞1）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）设a 1=1，an+1=ln（an+1），证明：.

39.（2014四川）已知函数f（x）=e x-ax 2-bx-1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数.

（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；

（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围.

40.（2014天津）已知函数（a＞0），x∈R.

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）·f（x2）=1，求a的取值范围.

41.（2014天津）已知函数f（x）=x-aex，a∈R，x∈R.已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2.

（1）求a的取值范围；

（2）证明：：随着a的减小而增大；

（3）证明：x1+x2随着a的减小而增大.

42.（2014浙江）已知函数f（x）=x3+3|x-a|（a∈R）.

（1）若f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）-m（a）；

（2）设b∈R，若[f（x）+b]2≤4对x∈[-1，1]恒成立，求3a+b的取值范围.