第1章 有限元法与ANSYS Workbench

1.1 有限元分析

有限单元法，简称有限元法，是伴随着电子计算机技术的进步而发展起来的一种新兴数值分析方法，是力学、应用数学与现代计算技术相结合的产物，是当今工程分析中应用最广泛的数值计算方法。伴随着计算机技术和计算机辅助设计（CAD）技术的发展，有限元分析技术已发展成为计算机辅助工程（CAE）这样一门新兴技术。有限元分析可以较容易地对许多复杂问题进行建模分析。对于具有多种可以选择的设计方案而言，可以在制造实物原型之前就借助于计算机进行实验或考证；要完成这些工作，就需要充分理解有限元法的基本理论、建模技巧及计算方法。

实际上，有限元法是一种对问题控制方程进行近似求解的数值分析求解方法，在数学上对其适定性、收敛性等都有较严密的推理和证明。有限元法的基本思路是将结构物看成由有限个划分的单元组成的整体，以单元节点的位移或节点力作为基本未知量求解。由于单元能按不同的连接方式进行组合，且单元本身又可以有不同的形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。有限单元法作为数值分析方法的另一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数通常由未知场函数及其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。这样，一个问题的有限元分析中，未知场函数及其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。

采用有限元法进行工程分析的优点有：通过有限元计算机模拟可以减少模型试验数量；有限元计算机模拟容许对大量的复杂工况进行快速有效的试验；它还可以模拟不适合在原型上试验的工作情况，得到更可靠和高品质的设计结果等。