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第2章误差与不确定度

本章要点：

● 误差的概念与表示方法

● 随机误差、系统误差和粗大误差的特性与处理方法

● 测量不确定度的概念与评定方法

● 测量数据处理的方法

2.1 误差的概念与表示方法

2.1.1 测量误差

1.误差的概念

测量是为确定被测对象的量值而进行的实验过程。一个量在被观测时，该量本身所具有的真实大小称为真值。但是在测量中，人们通过实验的方法来求被测量的真值时，对客观规律认识的局限性、测量器具的不准确、测量手段的不完善、测量条件发生变化及测量工作中的疏忽或错误等原因，都会使测量结果与真值不同，这个差别就是测量误差。

因此，误差就是测量值（或称测得值、测值）与真值之差，可用下式表示

误差=测量值-真值

例如，在电压测量中，真实电压为5V，测得的电压为5.3V，则

误差=5.3-5=+0.3 V

上例中所说的“真实电压”，应称为“真值”。在《通用计量术语及定义》（JJF1001-1998）中，真值是“与给定的特定量的定义一致的值”，并注明：

① 量的真值只有通过完善的测量才有可能获得；

② 真值按其本性是不确定的；

③ 与给定的特定量定义一致的值不一定只有一个。

由此看来，真值是一个理想的概念。真值虽然是客观存在的，但却难以获得。因为自然界任何物体都处于永恒的运动中，一个量在不同时间、空间都会发生变化，从而有不同的真值。因此，真值应是指在瞬间条件下的值，一般无法通过完善的测量获得。

为此，《国际计量学词汇——通用、基本概念及相关术语》（VIM）第3版将测量误差定义为

测量误差=测得量值-参考量值

在这个新定义中，巧妙地采用了“参考量值”这个词，准确合理地摆脱了对“真值”的困惑。而“参考量值”的获得在实际应用中通常可以采用以下3种方法。

第一，“参考量值”可由理论给出（例如，三角形内角和为180°）或由国际计量统一定义给出（例如，秒的定义为：铯原子能级跃迁9192631770个周期的持续时间为1秒），此外还可使用理论设计值或理论公式表达值等。

第二，用约定真值作为“参考量值”。约定真值也称为最佳估计值。在实际测量中，常把高一级至数级的基准或测量仪器测得的实际值作为真值使用。“实际值”不是真值，但它接近真值，可作为“约定真值”。

第三，由于真值不能确定，故“误差”只能是定性的概念，从而引入不以真值为前提条件又能定量计算的“不确定度”的概念，来表述测量的结果，这将在后续章节中讨论。具有可忽略测量不确定度的测量标准赋予的量值（简称标准量值）也可作为“参考量值”。

2.测量误差的来源

误差的来源有以下几个方面。

1）仪器误差

仪器仪表本身所引入的误差称为仪器误差。这是测量误差的主要来源之一。指针式仪表的零点漂移、刻度误差及非线性引起的误差，数字式仪表的量化误差（如5位半的电压表比3位半的量化误差小），比较式仪表中标准量本身的误差（如天平的砝码）均为仪器误差。

2）方法误差

由于测量方法不合理造成的误差称为方法误差。例如，用普通模拟式万用表测量高内阻回路的电压。

3）理论误差

测量方法建立在近似公式或不完整的理论基础上，以及用近似值计算测量结果时所引起的误差称为理论误差。例如，用谐振法测量频率时，常用的公式为

但实际上，回路电感L中总存在损耗电阻r，其准确的公式为

4）影响误差

由于各种环境因素与要求不一致所造成的误差称为影响误差。例如，环境温度、预热时间、电源电压、内部噪声、电磁干扰等与要求不一致，使仪表产生的误差。

5）人身误差

由于测量者的分辨能力、疲劳程度、责任心等主观因素，使测量数据不准确所引起的误差，称为人身误差。研究误差理论的目的是：分析产生误差的原因和规律，识别误差的性质，正确处理测量数据，合理计算所得结果，在一定的测量条件下，尽力设法减小误差，保证测量误差在容许的范围内。

2.1.2 误差的表示方法

测量误差通常采用绝对误差和相对误差两种表示方法。

1.绝对误差

定义：被测量的测量值x与其真值A0之差，称为绝对误差。即

当x＞A0时，绝对误差Δx是正值，反之为负值。所以Δx是具有大小、正负和量纲的数值。

前面已经指出，在实际测量中真值难以获得，一般用高一级或更高级的标准仪器或计量器具所测得的数值作为“约定真值”。约定真值通常能满足实际应用中规定的准确度要求，用A表示，这时绝对误差写成

修正值：与绝对误差大小相等，符号相反的量值称为修正值，一般用C表示。即

在测量时，利用测量值与已知的修正值相加，就可以算出被测量的实际值。即

测量仪器应当定期送计量部门进行检定，其目的之一就是获得准确的修正值（可以是表格、曲线或函数表达式），以保证量值传递的准确性。同时，使用修正值应在仪器的检定有效期内，否则要重新检定。

必须指出，修正值本身也有误差，修正后的数据只是比较接近约定真值而已。

2.相对误差

绝对误差虽然可以说明测得值偏离实际值的程度，但不能说明测量的准确程度。

【例2.1】用两只电压表V1和V2分别测量两个电压值，V1表测得150V，绝对误差Δx1=1.5V，V2表测得10V，绝对误差Δx2=0.5V。

从绝对误差来比较 Δx1＞Δx2

但从相对比较来看，V1表比V2表准确，故引入相对误差的表示方法

可见，V1表的测量误差小，准确度高。因此，相对误差适合不同测量结果的误差比较。随相对误差表达式中分母项比较基准的不同，相对误差可以有多种形式：

真值相对误差

约定真值相对误差

测量值（示值）相对误差

通常，绝对误差Δx较小，而A0（真值）、A（约定真值）、x（测量值、示值）相差不大，在要求不太严格的场合，为了方便，多用被测量的示值x作比较，称为测量值或示值相对误差。

相对误差是两个有相同量纲的量的比值，只有大小和符号，没有单位。常用的相对误差有以下3种形式。

1）测量值（示值）相对误差

测量值（或示值）相对误差是指用绝对误差与仪器测得的指示值之比来表示相对误差，记为

2）满度（引用）相对误差

满度（引用）相对误差是指用绝对误差与仪器满量程xm之比来表示相对误差，记为

满度相对误差多用于电工仪表。为了计算和划分电表准确度等级的方便，分母用电表量程作为比较基准，一般用s表示

并把电工仪表划分为7个等级，如表2.1所示。

表2.1 电工仪表准确度等级

【例2.2】 1.5级电压表在150V挡时，其最大绝对误差为

Δxm=±1.5% ×150 V=±2.25 V

这对正确选用电表很有指导意义。同时，不难推导出，测量值相对误差与满度相对误差有以下关系

式（2.8）可以根据仪器仪表准确度的等级来确定测量误差的大小，并得出一个重要的启示：测量值x离满度值xm越近相对误差越小。当测量值等于满度值时，有

γx=± s%=γm

【例2.3】检定量程为1000μA的0.2级电流表，在500μA刻度上标准表读数为499μA，问此电流表是否合格？

解：认为标准表为约定真值x0=499μA，则x=500μA，xm=1000μA。

则此表在500μA点是合格的。要判断该电流表是否合格，应在整个量程内取足够多的点进行检定。

3）用分贝（dB）表示相对误差

相对误差也可用对数形式（分贝数）表示，主要用于功率、电压增益（衰减）的测量。

功率等电参数用dB表示的相对误差为

电压、电流等参数用dB表示的相对误差为

【例2.4】某电压放大器，测得电压增益Ax=6000，测量误差γx=±3%，求实际电压分贝增益。

解：电压分贝增益Gx=20lgAx=20lg6000=75.6 dB

电压增益分贝误差 γdB=20lg（1+γx）=20lg（1±0.03）=±0.26 dB

实际电压分贝增益 G=（75.6±0.26）dB

2.1.3 误差的性质与分类

按照误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差3类。

1.系统误差

在国家计量技术规范《通用计量术语及定义》（JJF 1001—1998）中，系统误差定义为：“在重复性条件下，对同一被测量无限多次测量所得的结果的平均值与被测量的真值之差”。用ε表示系统误差，即

式中

即为无限多次测量结果的平均值（概率论中的数学期望），这里简称为总体均值。式（2.11）表明，在不考虑随机误差的影响下，测量值的总体平均值偏离真值的大小就是系统误差，简称系差。即系统误差表明了一个测量结果的平均值偏离真值或约定真值的程度。系统误差越小，平均值越靠近真值，测量越准确。所以，系统误差常用来表征测量结果准确度的高低。

系统误差定义可以这样理解：在同一测量条件下，多次重复对同一量值进行测量时，测量误差的绝对值和符号保持不变，或在测量条件改变时按一定规律变化的误差。例如，零点未校准引起的误差和测量值随温度的变化而增加或减少产生的误差。

需要说明的是，由于上述规范定义中的测量是在重复性条件下进行的，即测量条件不变，故这里的ε是定值系统误差。此外，因为重复性测量实际上只能进行有限次，测量的真值也只能用约定真值代替，所以实际中的系统误差也只能是一个近似的估计值。

系统误差的主要特点是：只要测量条件不变，误差即为确定值，用多次测量去求平均值的办法不能改变和消除系统误差；而条件改变时，误差也遵循某种确定的规律而变化，具有可重复性，较易修正和消除。

2.随机误差

在国家计量技术规范《通用计量术语及定义》（JG1001-1998）中，随机误差定义为：“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差”。用δ表示随机误差，即

随机误差定义表示：在重复性条件下（指测量环境、测量人员、测量技术和测量仪器相同），每次测量误差的绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差，简称随差。

随机误差产生于多种因素的同时作用，这些因素互不相关，没有规律，如噪声干扰、电磁场的变化、空气扰动、大地微震等无规律的微小因素，这些因素的总和会对测量值产生可以觉察到的影响。

随机误差性质类同于概率论中的随机变量，故要用概率统计的方法进行处理。

同样，在实际中，由于测量次数有限，不可能进行无限多次测量，因此，实际中的随机误差只有一个近似的估计值。

3.粗大误差

在一定条件下，测量值显著偏离其真值（或约定真值）所对应的误差，称为粗大误差。

粗大误差产生原因，主要是读数错误、测量方法不对、瞬间干扰、仪器工作不正常等。对粗大误差的处理通常是按一定的法则进行剔除。

4.3 种误差的关系

在上述3种误差中，先要剔除粗大误差，只剩下随机误差和系统误差。由式（2.1）和式（2.11）、式（2.13）可得

式（2.14）表示误差等于随机误差和系统误差相加。图2.1给出了这些误差之间关系的示意图。

图2.1 误差及不确定度示意图

图2.1中的曲线为被测量的概率分布曲线（当测量次数n→∞时为正态分布，当n为有限次时为t分布），该曲线下方与横轴之间的面积表示测量值在该区间内出现的概率，因此纵坐标表示概率密度P。图中横坐标表示测量值，以总体均值为中心，向右表示误差为正，向左则为负。

应当指出，国家计量技术规范《通用计量术语及定义》（JJF 1001—1998）对随机误差与系统误差的定义确切地表明了这两种误差的本质。但这只是名词上的定义，尚不能用ε和δ来具体地进行定量分析和计算。例如，δi仅表示某次测量的随机误差，而对随机误差的定量计算，不能用一个个的δi来计算，还得用统计的方法，通过多次测量求得标准差s来衡量被测量的随机误差大小。关于随机误差和系统误差的进一步分析将在下面分两节进行详细讨论。

2.1.4 基本术语

《国际计量学词汇——通用、基本概念及相关术语》第3版、《通用计量术语及定义》及《测量不确定度评定与表示》中，列出了一些基本术语及其定义。这些术语将分散在教材有关内容中进行介绍，这里介绍几个不便归类又需要了解的术语。

① 重复性测量条件（measurement repeatability condition measurement）

重复性测量条件简称重复性条件（repeatability condition），定义：相同测量程序、相同操作者、相同测量系统、相同操作条件和相同地点，并在短时间内对同一或相类似被测对象重复测量的一组测量条件。

重复性条件以前也称为等精度测量条件。

② 测量准确度（accuracy of measurement）

定义：测量结果与被测量的真值的一致程度。

由于真值难以获得，故准确度是一个定性概念。例如，可以说准确度高低、准确度为0.25级、准确度为3等或准确度符合× ×标准，尽量不要使用如下表示：准确度为0.25%、16mV、≤16mV及±18mA等带定量的说法。

③ 测量正确度（measurement precision）

定义：无穷多次重复测量的测量平均值与参考量值之间的一致程度。

测量正确度是一个定性概念，不是一个量，不能用数值表示。测量正确度反过来说明测得量中系统误差大小的程度，不涉及随机误差。

④ 测量精密度（measurement error）

定义：在规定的条件下，对同一或类似被测对象重复测量所得示值或测得值间的一致程度。

其中，规定条件可以是测量的重复性条件或测量复现性条件。测量精密度在数值上通常可以定量地用不精密度表示，诸如规定测量条件下的标准偏差和方差。

测量精密度用来定量表示测量结果中随机误差大小的程度，反映了在规定的条件下，被测量的测得量值间的符合程度。

测量精密度用于定义测量重复性和测量复现性。

上述测量正确度（表示系统误差大小）、测量精密度（表示随机误差大小）、测量准确度（表示系统误差和随机误差的大小）等术语的含义可用射击打靶示意图来说明，如图2.2所示。值得注意的是，这些都是定性的概念，不能用做定量表示。

图2.2 测量正确度、测量精密度及测量准确度含义的示意图

⑤ 测量重复性（repeatability，用r表示）

定义：在相同测量条件下，对同一测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。

这里重复性条件包括：相同的测量程序，相同的观测者，在相同的条件下使用相同的测量仪器，相同地点，在短时间内重复测量。

重复性也称等精度测量，可以用实验标准差（称为重复性标准差）sr定量地给出。

⑥ 测量复现性（reproducibility，用R表示）

定义：在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性。

在给出复现性时，应有效说明改变条件的详细情况。可改变的条件包括：测量原理、测量方法、观测者、测量仪器、参考测量标准、地点、使用条件及时间等。

复现性又称“再现性”，可用测量结果（通常理解为已修正结果）的分散性定量地表示。

在复现性条件下，用重复观测结果的实验标准差（称为复现性标准差）sR定量地给出。

⑦ 修正值（correction）

定义：用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值。

修正值等于负的系统误差。由于系统误差不能完全获知，因此这种补偿并不完全。

⑧ 最大允许误差（Maximum permissible error）

定义：“由给定测量、测量仪器或测量系统的规范或规程所允许的，相对于已知参考值的测量误差的极限值”（VIM第3版4.25）。

在电子测量仪器中，最大允许误差是在厂家的技术说明书中给出的，它表明了在使用的量程内各测量值上误差的极限值。最大允许误差是评定仪器不确定度（B类标准不确定度）的依据。

2.2 随机误差

2.2.1 定义与性质

2.1 节已介绍，在国家计量技术规范《通用计量术语及定义》（JJF 1001—1998）中，随机误差定义为：“测量结果与在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。”用δ表示随机误差，即

随机误差性质类同于概率论中的随机变量，故要用概率统计的方法进行处理。

在实际中，由于测量次数有限，不可能进行无限多次测量，因此，实际中的随机误差只有一个近似的估计值。

在重复性测量得到的一系列不同测量值（常称为测量列）中，若不包含系统误差和粗大误差，则该测量列中只有随机误差。下面通过一个测量实例来说明随机误差的基本性质。

【例2.5】用一精确度很高的数字欧姆表（分辨率低的普通三用表难以将随机误差显露出来），对一电阻进行n=100次等精度测量，得到一列测量数据。为了观察误差出现的规律，按从小到大的顺序，把相同的测量值归并在一起，同时统计其出现的次数和出现的频繁程度，概率论称为频率或概率，列于表2.2中。

表2.2 按大小排列的等精度测量结果

为了更形象地观察上述结果，可把测量数据的数值划分为若干区间，并画出概率直方图。设各区间宽度均取为0.01Ω，则由表2.2可得如图2.3所示的概率直方图。该图的横坐标为各次测量数据的数值（为避免某些数据恰好落在两区间的交界处，多取了1位有效数字），其纵坐标为各区间对应的出现概率。

图2.3 区间宽度为0.01Ω的频率直方图

由图2.3可以看出，上述测量数据具有“两头小，中间大”及基本对称的特点。如果把区间分得越来越细，并且仪器有足够高的分辨率，就会发现上述直方图将趋于一条光滑钟形曲线，如图中粗实线所示。

对各种被测参数进行多次等精度测量，都会得到类似于图2.3那样的结果，这是被大量实践证明了的，具有普遍意义的统计规律，这种钟形分布曲线称为正态分布。研究服从正态分布的随机误差，可以看出它具有以下4个特性：

● 对称性——绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等；

● 单峰性——绝对值小的误差比绝对值大的误差出现次数多；

● 有界性——绝对值很大的误差出现的机会极少，不会超出一定的界限；

● 抵偿性——当测量次数趋于无穷大时，随机误差的平均值将趋于零。

最后一个特性可由第一个特性推导出来，因为绝对值相等的正、负误差之和可以互相抵消，所以平均值趋于零。

随机误差是由于大量微小的没有确定规律的因素引起的，例如，外界条件（电源电压、温度、湿度、气压等）的微小波动，电磁场的干扰，大地轻微震动，仪器仪表零部件的不稳定性，测量者感官无规律变化等，都可能引起随机误差，因此随机误差总是不可避免和难以控制的。

从例2.5可以看出，对单次测量而言，随机误差的大小和符号都是不确定的，没有规律性，但是在进行多次测量后，随机误差服从概率统计规律，可以进行统计处理。

2.2.2 随机误差的统计处理

从随机误差的性质可以看出，它完全类同于概率论中的随机变量，因此对随机误差的处理也要用统计的方法。下面结合随机误差与随机变量的类同关系，回顾一下概率论中的基本内容。

1.数学期望

设x1，x2，…，xi，…为离散型随机变量X的可能取值，相应概率为p1，p2，…，pi，…，其级数和为

若∑xipi绝对收敛，则称其和数为数学期望，记为E（X），则

在统计学中，期望与均值是同一概念。在无穷多次的重复条件下的重复测量单次结果的平均值即为期望值。

在系列测量中，n个测量值的代数和除以n而得到的值称为算术平均值，即

算术平均值与被测量的真值最为接近。由概率论的大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值必然趋于约定真值。

2.方差、标准差

数学期望只能求得平均特性。在实际测量中，往往还要知道数据的离散程度。例如，如图2.4所示的两组电池的测量数据，其平均值都是1.5V，但A组的数据比较集中，B组的数据比较离散，说明A组的电池质量比B组的好。

图2.4 两组电池的测量数据

方差是用来描述随机变量可能值对期望的分散的特征值。

随机变量X的方差为X与其期望E（X）之差的平方的期望，记为D（X），即

D（X）=E{[X-E（X）]2}

对离散随机变量

对连续随机变量

测量中的随机误差也可用方差来描述其离散性，用希腊字母σ（英文读音为sigma，中文读音为西格玛）表示

式中，（xi-）是某项测值与均值之差，将其平方后求和平均，扩大了离散性，故用方差来表征随机误差的离散程度。但方差的量纲是随机误差量纲的平方，使用不方便。为了与随机误差的量纲统一，常将其开平方，用标准差或均方差表示，记做

3.正态分布

在概率论和误差理论的研究中，已充分论证了绝大多数随机误差的分布规律都可以用正态分布来描述，正态分布的概率密度函数为

式中，E（x）是数学期望，σ（x）为标准差。

图2.5所示是正态分布的曲线，其中图（a）是在随机误差影响下，测量数值x的正态分布；图（b）是随机误差δ的正态分布，并给出了3条不同标准差的正态分布曲线。

图2.5 正态分布的曲线

本书附录A中给出了正态分布在对称区间的积分表。其中

式中，k为包含因子（或称置信因子），a为所设的区间宽度的一半。

正态分布时，经常用到下面几个值，可从附录A中查知。

k=1时，P（|x|＜σ）≈0.6827

k=2时，P（|x|＜2σ）≈0.9545

k=3时，P（|x|＜3σ）≈0.9973

其中，k=1时，即在标准差（-σ，σ）区间内，随机误差出现的概率为68.27%。图2.6给出了正态分布曲线下不同区间出现的概率情况。

图2.6 正态分布下不同区间出现的概率

k=3时，即在3倍标准差±3σ区间内，随机误差出现的概率为99.73%，而在这个区间外的概率非常小。

当知道正态分布的两个基本参数：算术平均值和标准差σ后，该正态分布的曲线形状基本确定。图2.5（b）给出了=0时，三条不同标准差的正态分布曲线：σ1＜σ2＜σ3。标准差小，曲线尖锐，说明测量误差小的数据占优势，即测量精度高。

2.2.3 有限次测值的算术平均值和标准差

上述随机误差的数学期望E（X）和标准差σ（x）都是在无穷多次测量的条件下（n→∞）求得的，但在实际测量中只能进行有限次测量，就不能按式（2.15a）和式（2.16）准确地求出被测量的数学期望和标准差。本节讨论根据有限次测量所得结果对被测量的数学期望和标准差做出估计的方法。

1.有限次测值的算术平均值

对同一量值进行一系列等精度独立测量，其测量列中的全部测量值的算术平均值与被测量的真值最为接近。

设被测量的重复性测量值为x1，x2，…，xn，则其算术平均值为

可以证明的数学期望就是。

由于的数学期望为μ，故算术平均值就是真值μ的无偏估计值。在实际测量中，通常以算术平均值代替约定真值。

2.有限次测值数据的标准差——贝塞尔公式

上述的标准差是在n→∞的条件下导出的，而实际测量只能做到有限次。当n为有限次时，可以导出这时的标准差为

这就是贝塞尔公式。由于推导不够严密，故s（x）被称为标准差的估值，也称实验标准差。式中，（xi-）是某项测值与均值之差，称为剩余误差或残差，记做υi=（xi-）。这里υ是希腊字母Υ的小写形式，读音为upsilon“宇普西隆”，不是英文小写字母v，也不是希腊字母ν（读音为nu

“纽”）。本章2.6节中用ν来表示自由度。

注意两对符号的差别：进行有限次测值时，算术平均值符号为，见式（2.19），标准差用s表示，见式（2.20）；进行无限多次测值时，算术平均值用表示，见式（2.15），同式（2.12），简称总体均值，标准差用σ（x）表示，见式（2.16）。

除了贝塞尔公式外，计算标准差还有别捷尔斯（Peters）法、极差法及最大误差法等。

3.算术平均值的标准差

在有限次等精度测量中，如果在相同条件下对同一量值分m组进行测量，每组重复n次，则每组数列都会有一个平均值。由于随机误差的存在，因此这些平均值并不相同，围绕真值有一定分散性。这说明有限次测量的算术平均值还存在着误差。当需要更精密测量时，应该用算术平均值的标准差来评价。

已知算术平均值x-为

在概率论中有“几个相互独立的随机变量之和的方差等于各个随机变量方差之和”的定理，可进行下面推导

当n为有限次时，用标准差的估值即可，则

结论：式（2.21）说明，n次测得量值的算术平均值的标准差与成反比，即测量次数增加，算术平均值的分散性减小。这是由于随机误差具有抵偿性，正负误差相互抵消。因此，当对测量要求高时，可以适当增加测量次数。这是采用统计平均的方法减弱随机误差的理论根据。所以要用作为测量的结果。

应当指出，当测量次数n＞20时减小的速度减慢，故次数再增加却收效不大。在实际应用中，还可以借用事先已测得的标准差s（x），这时只要再测2～3次就可以了。例如，已知某电流表上次测量时求得s（x）=0.074mA，这次只测了3次，则

归纳：有限次测值的算术平均值和标准差计算步骤如下。

（1）列出测量值的数据表

（2）算术平均值

（3）残差υi=（xi-）

（4）标准差的估计值（实验标准差）

（5）算术平均值标准差的估计值

【例2.6】对某信号源的输出频率进行了8次测量，得到测量值xi的序列（见表2.3），求测量值的平均值及标准偏差。

表2.3 例2.6所用数据

解：（1）平均值（注意这里采用的运算技巧）

（2）用公式υi=xi-计算各测量值残差，列于表2.3中。

（3）标准差估值

（4）的标准差

应当指出，除了上面介绍的贝塞尔公式外，计算标准差还有别捷尔斯（Peters）法、极差法及最大误差法等。其中，极差法值得介绍一下，在《测量不确定度评定与表示》（JJF1059—1999）中也推荐了这个方法。一般在测量次数较少时采用该法。

4.用极差法求标准差

上述用贝塞尔公式求标准差比较麻烦，当要求简便快捷算出标准差时，可以用极差法。在重复性条件或复现性条件下，对xi进行n次独立观测，测量结果中的最大值与最小值之差称为极差，用R表示，即

这时，标准差可按下式近似地评定

式中，C为极差系数，可从表2.4查知。

表2.4 极差系数C及自由度

【例2.7】用极差法对例2.6进行核算。

结果与例2.6中s（x）=0.18很接近，但计算却便捷多了。

2.2.4 测量结果的置信度

1.置信概率与置信区间

由于随机误差的影响，测量值均会偏离被测量的真值。虽然前面讨论了测量值的分散程度可以用标准差σ（x）来表示，但不知道各测量值的可信程度。置信度（置信概率）就是用来描述测量结果处于某一范围内可靠程度的量，一般用百分数表示。而所选择的这个范围，就称为置信区间，一般用标准差的倍数表示，如±kσ（x），这里k是一个系数，称为置信因子或包含因子。

置信区间与置信概率是紧密联系的，置信区间刻画测量结果的精确性，置信概率表明这个结果的可靠性。置信区间越宽，则置信概率越大；反之则越小。

研究置信度问题必须知道测值的分布，当知道测值的分布曲线后，可以求得误差不超过某范围的概率，或者给定置信概率就可以求相应的置信区间。

2.正态分布下的置信度

正态分布下的测量值x的概率密度函数为

其分布曲线如图2.7所示。要求出x在曲线下对称区间±kσ（x）内的概率，就是要求图中阴影部分的面积，即要对分布密度函数所代表的曲线进行积分。为简化表达式，设

则

附录A给出了正态积分的结果，可以根据设定的区间大小及σ（x）的数值，求出置信概率；或者由置信概率求出对应的置信区间。图2.6给出了正态分布下3种不同区间所对应的置信概率。

【例2.8】某电压测量中，系统误差ε=0，随机误差δ属于正态分布，电压的真值为10V，标准差σ（U）=0.2V，求测值U出现在9.7～10.3V之间的概率。

解：由式（2.18）kσ（U）=a=10.3-10=10-9.7=0.3V

由附录A积分表，查得k=1.5时，概率P=0.866386。

所以P[9.7＜U＜10.3]=P（|Z|＜1.5）=86.6%

3.t分布下的置信度

在实际测量中，总是进行有限次测量，只能根据贝塞尔公式求出标准差的估值s（x）。但测量次数较少（如n＜20）时，测值不服从正态分布。英国人戈塞特（Gosset，常以Student为笔名发表文章）证明了测量次数较少时服从t分布，也称“学生”氏分布。t分布的曲线如图2.8所示，类似于正态分布。但t分布与标准差σ无关，而与测量次数n关系紧密。从图2.8可以看出，当n＞20以后，t分布与正态分布就很接近了。可以用数学方法证明，当n→∞时，t分布与正态分布完全相同。t分布一般用来解决有限次等精度测量的置信度问题。

图2.7 置信概率分布曲线

故

附录B给出了t分布的函数表，根据t分布的概率密度函数p（t），就可以用积分的方法求给定区间的置信概率。

图2.8 t分布的曲线

电感的算术平均值

【例2.9】对某电感进行12次等精度测量，测得的数值（单位：mH）分别为20.46，20.52，20.50，20.52，20.48，20.47，20.50，20.49，20.47，20.49，20.51，20.51。若要求P=95%的置信概率，则该电感测值应在多大置信区间内？

解：第一步：求出及s

电感的标准差估值

算术平均值标准差估值

第二步：查附录B中的t分布表，由n-1=11及P=0.95，查得t=2.20。

第三步：估计电感L的置信区间，其中

ts）=2.20 × 0.006=0.013 mH

则在95%的置信概率下，电感L的置信区间为[20.48mH，20.51mH]。

图2.9 均匀分布

4.非正态分布

在以上分析中，都认为测量值和误差服从正态分布（包括t分布）。在测量实践中，会遇到误差是非正态分布的情况。下面介绍几种常见的非正态分布曲线及置信度问题。

1）均匀分布

均匀分布又称为等概率分布、矩形分布，是仅次于正态分布的一种重要分布，如图2.9所示。其特点是，在误差范围内，误差出现的概率各处相同。例如，仪器中的度盘回差所导致的误差、数字仪器中的量化误差（在±1单位以内不能分辨的误差）、数据计算中的舍入误差（舍掉的或进位的低位数字的概率是相同的）等，均为均匀分布误差。

均匀分布的概率密度为

可以证明，图2.9所示的均匀分布的数学期望为

标准差为

2）三角形分布

当两个误差限相同且服从均匀分布的随机误差求和时，其和的分布规律服从三角形分布，又称辛普森（Simpson）分布。在实际测量中，若整个测量过程必须进行两次才能完成，而每次测量的随机误差服从相同的均匀分布，则总的测量误差为三角形分布误差。例如，进行两次测量过程时数据凑整的误差，用代替法检定标准砝码、标准电阻时，两次调零不准所引起的误差等，均为三角形分布误差。

图2.10所示为三角形分布，其概率密度函数为

图2.10 三角形分布

3）反正弦分布

反正弦分布实际上是一种随机误差的函数的分布规律，其特点是该随机误差与某一角度成正弦关系。例如，仪器度盘偏心引起的角度测量误差，电子测量中谐振的振幅误差等，均为反正弦分布。

反正弦分布如图2.11所示，其概率密度函数为

图2.11 反正弦分布

4）非正态分布的置信度

知道了非正态分布的分布曲线，求置信概率和置信区间的方法与正态分布类似。按照标准差的基本定义，可以求得各种分布的标准差σ（x），再求得包含因子k。

表2.5列出了几种常用的分布的包含因子。

2.2.5 非等精度测量

表2.5 包含因子值表

前面讨论的测量结果是基于等精度测量条件进行的，这是通常的测量情况。但有时候，例如，在科研或高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的仪器，不同的测量方法，不同的测量次数及不同的测量者进行测量与对比，这种测量称为非（或不）等精度测量。

对于非等精度测量，计算最后测量结果及其精度（如标准差），不能套用前面等精度测量的计算公式，需要采用新的计算公式。

1.“权”的概念和确定方法

在日常统计中，有时也需要使用“权”的概念，如按学分加权课程统计学生的各科总平均成绩，以显示学分多的课程重要性。例如，三门学分为3、1、2课程的加权平均成绩为

在非等精度测量中，各测量结果的可靠程度不一样，因而不能简单地取各测量结果的算术平均值作为最后测量结果，应让可靠程度大的在最后结果中占的比重大一些，可靠程度小的占的比重小一些。各测量结果的可靠程度可用一数值来表示，该数值即称为“权”，用w表示。因此测量结果的权可理解为，当它与另一些测量结果比较时，对该测量结果所给予的信赖程度。

既然测量结果的权说明了测量的可靠程度，因此可根据这一原则来确定权的大小。例如，可按测量条件的优劣，测量仪器和测量方法所能达到的精度高低，重复测量次数的多少，以及测量者水平的高低等来确定权的大小。总之，测量精度愈高，权愈大。由于测量结果的标准差σ（x）可以表示精度高低，所以σ（x）小，精密度高，可靠性大，权就大；反之，权就小。以此概念为基础可以推导出下面公式

式中，σx-i为各组算术平均值的标准差，即

这m组测量结果是从单次测量精度相同而测量次数不同的一系列测量值中求得的算术平均值。由于单次测量精度皆相同，故其标准差均为σ（x）。

式（2.29）表明：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。若已知各组算术平均值的标准差，即可按式（2.29）确定权的大小。

应当指出，测量结果的权的数值只表示各组间的相对可靠程度，它是一个无量纲的数，允许各组的权值同时增大或减小，而各组的比值关系并不变。

【例2.10】对某电压进行三组非等精度测量，其结果分别为

=26.45 mV，σx-1 =0.05 mV

=26.15 mV，σx-2 =0.20 mV

=26.60 mV，σx-3 =0.10 mV

求各组测量结果的权。

解：由式（2.29）得

因此，各组的权可取值为

w1 =16，w2 =1，w3 =4

2.加权算术平均值

若对同一被测量进行m组非等精度测量，得到m组测量结果，设相应的权值为w1，w2，…，wm，则加权算术平均值为

或简写成

当各组的加权值相等，即w1=w2=…=wm=w时，加权算术平均值可简化为

由式（2.33）求得的结果即为等精度的算术平均值，由此可知，等精度测量是非等精度测量的特殊情况。

为了简化计算，加权算术平均值可用下式表示

式中，x0为接近的任选参考值。

【例2.11】工作基准米尺在连续三天内与国家基准器比较，得到工作基准米尺的平均长度分别为999.9425mm（3次测量），999.9416mm（2次测量），999.9419mm（5次测量），求最后测量结果。

解：按测量次数来确定权：w1=3，w2=2，w3=5。选取x0=999.94mm，则有

3.加权算术平均值的标准差

对同一被测量进行m组非等精度测量，得到m个测量结果，各组测量结果的残差为

经推导，可得加权算术平均值的标准差

根据式（2.35）可由各组测量结果的残余误差求得加权算术平均值的标准差。但必须指出，只有当组数m足够多时，才能得到较为精确的σx-值。一般情况下的组数较少，只能得到近似的估值。

【例2.12】求例2.11的加权算术平均值的标准差。

解：由加权算术平均值=999.9420mm，可得各组测量结果的残差为

已知：m=3，w1=3，w2=2，w3=5，代入式（2.35）得

2.3 粗大误差

粗大误差定义：在一定条件下，测量值显著偏离其实际值所对应的误差。

产生原因：主要表现为读数错误、测量方法错误、仪器有缺陷、电磁干扰及电压跳动等。

粗大误差无规律可循，可能是系统误差，也可能是随机误差，其绝对值相对偏大，严重地影响了测量结果，故必须当做坏值予以剔除。

剔除是要有一定依据的。在不明原因的情况下，首先要判断可疑数据是否是粗大误差。其方法的基本思想是，给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超出置信区间的误差就认为是粗大误差。具体检验方法常见的有以下3种。

2.3.1 莱特检验法

这是一种在正态分布情况下判别异常值的方法。判别方法如下。

假设在一列等精度测量结果中，第i项测量值xi，所对应的残差υi的绝对值

则该误差为粗差，所对应的测量值xi为异常值，应剔除不用。式中，s（x）是这列数据的标准差估值。

本检验方法简单，使用方便，也称3s准则。当测量次数n较大时，这是一种比较好的方法。一般适用于n＞10的情况；当n＜10时，容易产生误判。

2.3.2 格拉布斯检验法

格氏检验法是在未知总体标准偏差s（x）的情况下，对正态样本或接近正态样本异常值进行判别的一种方法，是一种理论上很严密，概率意义明确，又经过实验证明，效果较好的判据。这里只介绍具体用法。

对一系列重复测量中的最大数据或最小数据，用格氏检验法检验，若残差

则判断此值为异常数据，应予以剔除。G值按重复测量次数n及置信概率Pc由表2.6求出。

表2.6 格拉布斯准则数G值

2.3.3 中位数检验法

中位数检验法把测量结果按自小到大的顺序排列出来，在所得的数值列中居于中间位置的一个值应是最佳估计，称之为中位数。如果有两个值居于中间位置，则它们的平均值为中位数。

大量统计表明，当数据列中没有粗大误差时，其中位数应与这个数据列的算术平均值十分接近。若差异较大，说明有异常数据，则剔除数列两头数值偏离中位数较大的那个数据，然后再计算算术平均值，则中位数与平均值更接近了。

【例2.13】判别以米尺（单位：毫米）检验数列中有无粗大误差引起的异常数据：

991、996、999、1001、1004、1008、1011、1014、1019、1038

解：该数列的中位数是第5个数和第6个数两个数的平均数

这个数据列的算术平均值是

假设怀疑其中偏离中位数较大的1038为异常数据，将它剔除后，剩下9个数据。这时，中位数是1004，算术平均值是1004.8。

可以看出，剔除这个最大值后，中位数和平均值更接近了。这个被剔除的数据即为粗大误差引起的异常数据。

顺便指出，在计算机处理测量数据时常用的“中位值滤波”法（即剔除数据列中的最大值和最小值两个值，然后求平均值或直接取中位数），也是消除异常数据的好办法。

除上述3种检验法以外，还有肖维纳检验法、奈尔（Nair）检验法、Q检验法和狄克逊检验法等，可参阅有关资料。

在处理粗大误差时，要注意以下4个问题。

① 所有的检验法都是人为主观拟定的，至今尚未有统一的规定。这些检验法又都是以正态分布为前提的，当偏离正态分布时，检验可靠性将受到影响，特别是测量次数较少时更不可靠。

② 若有多个可疑数据同时超过检验所定置信区间，应逐个剔除，然后重新计算及s（x），再进行判别。

③ 在一组测量数据中，可疑数据应极少，否则，说明系统工作不正常。要对异常数据的出现进行分析，找出原因，不要轻易舍去异常数据而放过发现问题的机会。

④ 在上述三种检验法中，莱特检验法是以正态分布为依据的，测值数据最好n＞200，若n＜10则会失效；格拉布斯检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好；中位数检验法简捷方便，能满足一般实用要求。

2.3.4 应用举例

【例2.14】对某温度进行多次等精度测量，所得结果列于表2.7中，试检查数据中有无异常。

表2.7 例2.14所用数据

解：（1）从表中可以看出x8=20.30℃，残差较大，是个可疑数据，用莱特检验法

故可判断x8是异常数据，应剔除。再对剔除异常数据后的数据进行计算，得

其余的14个数据的|υi|均小于3s（x）′，故为正常数据。

（2）用格拉布斯检验法

取置信概率Pc=0.99，按n=15查表2.6得G=2.70。

Gs（x）=2.7×0.033=0.09＜|υ8|

剔除x8后，重新计算判别，得n=14，Pc=0.99下的G值为2.66

G′s（x）′=2.66×0.016=0.04

可见，余下数据中无异常值。

（3）用中位数检验法

将表2.7中的数据排序后得

20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，

20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43

该数列的中位数是：20.41

这个数列的算术平均值是

20+（0.30+0.39+0.39+0.39+0.40+0.40+0.40+0.41+0.42+0.42+0.42+

0.43+0.43+0.43+0.43）/15=20.404

假设怀疑其中偏离中位数较大的20.30为异常数据，将它剔除后，再求剩下的数列的中位数。剩下数列的中位数是

再计算余下数列的算术平均值

20+（0.39+0.39+0.36+0.40+0.40+0.40+0.41+0.42+0.42+0.42+

0.43+0.43+0.43+0.43）/14=20.411

此时中位数与算术平均值更接近了，故为正常数据。

2.4 系统误差

上面所述的随机误差处理方法，是以测量数据中不含有系统误差为前提的。实际上，测量过程中往往存在系统误差，在某些情况下，系统误差的数值还比较大。因此，测量结果的精度不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影响。由于系统误差是和随机误差同时存在于测量数据之中的，且不易被发现，多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响，这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险性，因此研究系统误差的特征与规律性，用一定的方法发现和减小或消除系统误差，就显得十分重要。否则，对随机误差的严格数学处理将失去意义，或者效果甚微。

目前，对于系统误差的研究，虽已引起人们的重视，但是由于系统误差的特殊性，在处理方法上与随机误差完全不同，它涉及对测量设备和测量对象的全面分析，并与测量者的经验、水平及测量技术的发展密切相关。因此，对系统误差的研究较为复杂和困难，研究新的、有效的、能发现和减小系统误差的方法，已成为误差理论的重要课题之一。

2.4.1 系统误差的产生原因

系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成的。这些误差因素是可以掌握的。

1.测量装置方面的因素

包括：仪器机构设计原理上的缺陷，如指针式仪表零点未调整正确；仪器零件制造和安装不正确，如标尺的刻度偏差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器各导轨的误差、天平的臂长不等；仪器附件制造偏差，如标准环规直径偏差。

2.环境方面的因素

测量时的实际温度对标准温度的偏差，测量过程中温度、湿度等按一定规律变化的误差。

3.测量方法的因素

采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。

4.测量人员方面的因素

由于测量人员的个人习惯不同，在刻度上估计读数时，可能习惯性地偏向某一方向；动态测量时，记录某一信号可能有滞后的倾向等。

2.4.2 系统误差的检查和判别

系统误差（简称系差）的特征是，在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变；或者在条件改变时，误差按一定的规律变化。前者称恒定系差，后者称变值系差。

由系统误差的特征可知，在多次重复测量同一量值时，系统误差不具有抵偿性，它是固定的或者服从一定函数规律的误差。从广义上理解，系统误差即是服从某一确定规律变化的误差。

1.恒定系统误差的检查和处理

恒定系差（简称恒差）常用的判断方法有以下4种。

1）改变测量条件

测量条件指测量者、测量方法和环境条件等。在某一测量条件下，测量值为一个确定不变值。如果改变测量条件，就会出现另一个确定值，则可判断有恒差，例如，对仪表零点的调整。

2）理论分析计算

凡由于测量方法或测量原理引入的恒差，只要对测量方法和测量原理进行定量分析，就可找出恒差的大小。

3）用高档仪器比对、校准

用高档仪器定期计量检查，可以确定恒差是否存在，如电子秤校验后，则可知其测值是偏大还是偏小。可以用校准后的修正值（数值、曲线、公式或表格）来检查和消除恒差。

4）统计法

下面分析恒差对测量结果的影响。

设一系列重复测量值为x1，x2，…，xn，测量值中含有随机误差δi和恒差ε，设被测量的真值为x0，则有

xi=x0+δi+ε

当n足够大时，则

式（2.38）表明，当测量次数n足够大时，随机误差对的影响可忽略，而恒差ε会反映在中。利用修正值C=-ε可以从进行平均前的每个测量值xi中扣除，也可以在得到算术平均值后扣除。对于因测量方法或原理引入的恒差，可通过理论计算修正。

在这种情况下，残差

υi=（xi+ε+δi）-（x0+ε）≈δi

即ε不影响υi的计算，也不影响标准偏差s（x）的计算。也就是说，恒差并不引起随机误差分布密度曲线的形状及其分布范围的变化，也就无法通过统计方法来检查是否存在恒差。在数据处理中，要特别注意恒差的检查和判别。

2.变值系差的判定

变值系差是指随测量条件变化而变化的系统误差。总的来说，当测量条件变化时，系统误差客观上是有确定规律的误差。例如，温度对电阻率的影响造成了电阻值的变化属于变值系差，理论上能找出温度与电阻值之间的解析关系式以确定系统误差的大小。但在大部分情况下，很难掌握系统误差的变化规律。要对测量数据进行分析和判别，如果测量数据中变值系差的值明显大于随机误差，数据就应舍弃不用。检查后重新取得测量数据。

常用的有以下3种判据。

1）剩余误差观察法

通常采用剩余误差观察法来判断变值系统误差是否存在。剩余误差是各次测量值与其算术平均值之差，也称残差，即

剩余误差观察法就是根据测量数据系列的各个剩余误差大小和符号的变化规律，制成表格或曲线来判断有无系统误差。

为直观起见，通常将剩余误差画成曲线，如图2.12所示：图（a）表明剩余误差大体上正负相间，且无显著变化规律，可认为不存在系统误差；图（b）表明剩余误差有规律地递增或递减，且在测量开始时与结束时误差符号相反，存在线性系统误差；图（c）表明剩余误差符号有规律地由正变负，再由负变正，且循环交替，重复变化，存在周期性系统误差；图（d）表明同时存在线性和周期性系统误差。若测量列中含有不变的系统误差，用剩余误差观察法就发现不了。

图2.12 变值系差示意图

除了观察法，在实际测量中，可以利用一些较为简捷的数学方法来进行判断。

2）累进性系差的判别——马利科夫判据

图2.12（a）、（b）表示了与测量条件为线性关系的累进性系统误差，如由于蓄电池端电压的下降引起的电流下降。在累进性系差的情况下，残差基本上向一个固定方向变化。

马利科夫判据是判别是否存在累进性系差的常用方法。具体步骤如下。

① 将n项剩余误差υi按顺序排列。

② 分成前后两半求和，再求其差值D。

③ 若D≈0，则说明测量数据不存在累进性系差；若D明显地不等于0，则存在累进性系差。

3）周期性系差的判别——阿贝-赫梅特判据

周期性系差的典型例子是，当指针式仪表度盘安装偏心时，会产生这种周期性系差。

如图2.13（a）所示，如果秒表的轴心在水平方向有一点偏移，设它的指针在垂直向上的位置时造成的误差为ξ。当指针在水平位置运动时，ξ逐渐减小至零；当指针运动到垂直向下位置时，误差为-ξ；如此周而复始，造成的误差如图2.13（b）所示。这类呈规律性交替变换的系统误差称为周期性系统误差。

图2.13 周期性系差实例

通常用阿贝-赫梅特判据来检验周期性系差的存在，具体步骤如下。

① 将测量数据i项剩余误差υi按测量顺序排列。

② 将υi两两相乘，然后求其和的绝对值

③ 用贝塞尔公式求方差

④ 再与方差相比较，若

则可认为存在周期性系统误差。

存在变值系统误差的数据，原则上应舍弃不用。但是，那些虽然存在变值系差，而剩余误差的最大值明显小于测量允许的范围或仪器规定的系差范围的测量数据，可以考虑使用，但在继续测量时，要密切注意变值系差的情况。

2.4.3 削弱系统误差的基本方法

消除或减弱系统误差应从根源上着手。测量仪器本身存在误差，对仪器安装、使用不当，测量方法或原理存在缺点，测量环境变化，以及测量人员的主观原因都可能造成系统误差。在开始测量以前，应尽量发现并消除这些误差来源或设法防止测量受这些误差来源的影响，这是消除或减弱系统误差最好的方法。

在测量中，除从测量原理和方法上尽力做到正确、严格外，还要对测量仪器定期检定和校准，注意仪器的正确使用条件和方法。例如，仪器的放置位置、工作状态、使用频率范围、电源供给、接地方法，附件和导线的使用及连线等，都要注意符合规定并正确合理。

要注意周围环境对测量的影响，特别是温度对电子测量的影响较大，精密测量要注意恒温或采取散热、空气调节等措施。为避免周围电磁场及有害震动的影响，必要时可采用屏蔽或减震措施。

对测量人员主观原因造成的系统误差，在提高测量人员业务技术水平和工作责任心的同时，还可以从改进设备方面尽量避免测量人员造成的误差。例如，用数字式仪表常常可以避免读数误差；又如，用耳机来判断两频率之差时，由于人耳一般不能听到16Hz以下的频率，所以会带来误差，若改为用示波器或数字式频率计指示，就可以避免这个误差。测量人员不要过度疲劳，必要时调换测量人员重新进行测量也有利于消除测量人员造成的误差。

虽然在测量之前注意分析和采取措施可避免产生系统误差，但很难消除产生系统误差的全部因素。因此在测量过程中，可以采用一些专门的测量技术和测量方法，借以消除或减弱系统误差。这些技术和方法往往要根据测量的具体条件和内容来决定，并且种类也很多，其中比较典型的有下面4种。

1.零示法

零示法是在测量中使被测量对指示器的作用与标准量对指示器的作用相互平衡，以使指示器示零的一种比较测量法。它可以消除指示器不准所造成的系统误差。

图2.14 零示法测电压

图2.14是用零示法测量未知电压Ux的电路。图中，E是标准直流电压，R1与R2构成标准可调分压器，G是检流计。测量时，调节分压比，使U=ER2/（R1+R2）恰好等于被测电压Ux，则检流计G将示零。这样可以测得被测电压的数值为

在测量过程中，只需判断检流计中有无电流，因此只要标准直流电压准确度高，检流计灵敏度高，测量的准确度就高。检流计支路不对R2起负载作用，不影响分压比，检流计本身的读数正确与否并不影响被测Ux的测量准确度。

在电子测量中广泛使用的平衡电桥是零示法测量的另一例子。在平衡电桥中作为指示器的检流计应该具有高的灵敏度，作为已知量的各臂元件值应该具有高的准确度。

2.替代法

替代法（置换法）是指，在测量条件不变的情况下，用一个标准已知量去替代被测量，并调整标准量使仪器的示值不变，于是被测量就等于标准量的示值。由于在替代过程中，测量电路及仪器的工作状态和示值均保持不变，故测量中的恒定系差对测量结果不产生影响，测量的准确度主要取决于标准已知量的准确度及指示器的灵敏度。

图2.15 替代法测电阻

图2.15所示为用替代法测量未知电阻Rx阻值的电路。测量时，首先将被测电阻Rx接入桥路，调节电桥臂使电桥平衡。然后用一个可变标准电阻去置换被测电阻，调整这个可变标准电阻的阻值，使电桥仍然达到平衡。这时被测电阻的阻值Rx就等于可变标准电阻的阻值Rs。只要电桥中检流计G的灵敏度足够高，测量的准确度就主要取决于标准电阻Rs的准确度，而与桥臂R1、R2、R3的阻值及检流计的准确度无关。电桥中的分布电容、分布电感等对测量准确度也基本没有影响。

3.交换法（对照法）

当估计由于某些因素可能使测量结果产生单一方向的系统误差时，可以进行两次测量。利用交换被测量在测量系统中的位置或测量方向等办法，设法使两次测量中误差源对被测量的作用相反。对照两次测量值，可以检查出系统误差的存在。对两次测量值取平均值，将大大削弱系统误差的影响。例如，用旋转度盘读数时，分别将度盘向右旋转和向左旋转进行两次读数，用对读数取平均值的办法就可以在一定程度上消除由传动系统的回差造成的误差；又如，用电桥测电阻时，将被测电阻放在不同的两个桥臂上进行测量，也有助于削弱系统误差的影响。

前面介绍的在测量前消除系统误差的来源，在测量中通过一些技术措施消除或减弱系统误差的方法，大都是从根源上消除系统误差的方法，也可以说是一种“治本”的方法。但是，有时系统误差的变化规律过于复杂，采取了一定的技术措施后仍难完全解决，或者虽然可以采取一些措施来消除误差源，但在具体测量条件下，采取这些措施在经济上价格昂贵或技术上过于复杂，这时作为一种“治本”的办法，应尽量找出系统误差的方向和数值，采用修正值（包括修正曲线或公式）的方法加以修正。例如，可在不同温度时进行多次测量，找出温度对测量值影响的关系，然后在实际测量时，根据当时的实际温度对测量结果进行修正。

这里还应当指出，在现代智能仪器中，可以利用微处理器的计算控制功能，削弱或消除仪器的系统误差。利用微处理器削弱系差的方法很多，如直流零位校准、自动校准、相对测量等，可参阅有关的资料。

2.4.4 重复性测量结果的数据处理

当对某被测量进行重复性测量时，测量值中可能含有系统误差、随机误差和粗大误差，为了给出正确合理的结果，应按下述基本步骤对测得的数据进行处理。这部分内容是后面2.6节测量不确定度的重要基础。

① 计算算术平均值

② 列出残差υi=（xi-x-）

③ 按贝塞尔公式计算标准差的估值

④ 按莱特准则|υi|＞3s（x），或格拉布斯准则|υmax|＞Gs（x），检查和剔除粗大误差。若有粗大误差，则应逐一剔除，然后重新计算和s，再判别，直到无粗大误差为止。

⑤ 判断有无系统误差，若有，则应查明原因，修正或消除系统误差后重新测量。

⑥ 算术平均值标准差的估计值

⑦ 写出最后结果的表达式，即

式中，k为包含因子，可查表2.5。

【例2.15】对某电压进行16次等精度测量，测量数据xi中已计入修正值，列于表2.8中。要求给出包括误差在内的测量结果表达式。

表2.8 例2.15所用数据

解：① 求出算术平均值

② 计算，列于表中，并验证

③ 计算标准差

④ 按莱特准则判断有无|υi|＞3s=1.3302，查表中第5个数据υ5=1.35＞3s，应将对应的x5=206.65视为粗大误差，予以剔除。现剩下15个数据。

⑤ 重新计算剩余15个数据的平均值：-=205.21及重新计算列于表2.8中，并验证

⑥ 重新计算标准差

⑦ 按莱特准则再判断，现各均小于3s′，则认为剩余15个数据中不再含有粗大误差。

⑧ 对作图，判断有无变值系统误差，如图2.16所示。从图中可见，无明显累进性或周期性系统误差。

图2.16 残差图

⑨ 计算算术平均值的标准差。

⑩ 写出测量结果表达式。

2.5 误差的合成与分配

前面几节讨论的都是对单项参数进行直接测量的误差计算，但是，在实际测量中，有时误差来源于多方面。例如，用n个电阻串联，则总电阻的误差就与每个电阻的误差有关；又如，用间接法测量电阻上的功率，通常只需测得这个电阻的阻值、它上面的电压、流过它的电流这三项中的两项，然后计算电阻消耗的功率，这时，功率的误差就与各直接测量量的误差有关。不管某项误差是由若干因素产生的，还是由于间接测量产生的，只要某项误差与若干分项有关，这项误差就叫总合误差，各分项的误差都叫分项误差或部分误差。

在测量工作中，常常需要从正反两个方面考虑总合误差与分项误差的关系：

① 如何根据各分项误差来确定总合误差，即误差合成问题。

② 当技术上对某量的总误差限定一定范围以后，如何确定各分项误差的数值，即误差的分配问题。

正确地解决这两个问题常常可以指导人们设计出最佳的测量方案，在注意测量经济、简便的同时，提高测量的准确度，使测量总误差减到最小。

2.5.1 测量误差的合成

1.误差传递公式

误差的合成是研究如何根据分项误差求总合误差的问题。分项与总合的函数关系，即数学模型，是各种各样的，例如，可以是和差关系、积商关系、乘方开方关系、指数对数关系等，这里不按具体情况一一进行讨论，而只给出一个普遍适用的公式——误差传递公式，或称传播公式。

设某量y由两个分项x1、x2合成，即

y=f（x1，x2）

若在y0=f（x10，x20）附近各阶偏导数存在，则可把y展为泰勒级数

若用Δx1=（x1-x10）及Δx2=（x2-x20）分别表示x1及x2分项的误差，由于Δx1≪x1 且Δx2≪x2，则泰勒级数的中高阶小量可以略去，总合误差为

同理，当总合y由m个分项合成时，可得

即

这是绝对误差的传递公式。

【例2.16】用间接测量法测电阻消耗的功率。若电阻、电压和电流测量的相对误差分别为ΔR/R、ΔU/U和ΔI/I，问所求功率的相对误差为多少？

解：方案1，用公式P=IU

由式（2.42）可得

则算得功率的相对误差为

方案2，用公式P=U2/R

由式（2.42）可得

则

方案3，用公式P=I2R

由式（2.42）可得

则

在上例中，已知各分项误差的相对误差，求总的相对误差。例中使用的式（2.42）是求绝对误差的公式，这有时是不方便的。实际上，只要对式（2.42）稍加变换，就可以得到求相对误差的公式。将式（2.42）两端同除以y，同时考虑y为x1=x10，x2=x20时的函数值f，则

由数学中用对数求导数的方法

可求出相对误差

这是相对误差传递公式。

【例2.17】用式（2.43）重新计算例2.16。

解：方案1，P=UI

方案2

方案3，P=I2R

式（2.42）及式（2.43）称为误差传播公式或误差传递公式，是讨论误差总合及分配的很有用的公式。在实际计算误差总合时，常常知道各分项的绝对误差、相对误差，求总合的绝对误差和相对误差。由例2.16及例2.17可见，对于同一个问题选用式（2.43）比选用式（2.42）简便。但是，由这两个例子不能得出以下结论：求绝对误差时用式（2.42），而求相对误差时用式（2.43）就一定简便。观察式（2.42）及式（2.43）可见，由于对和、差式直接求偏微分方便，对积、商式及乘方、开方式取对数后可以变为和、差式。因此，作为一个技巧性问题，当y=f（x1，x2，…，xm）的函数关系为和、差关系时，可以先求总合的绝对误差；当函数关系为积、商或乘方、开方关系时，先求总合的相对误差比较方便。

2.系统误差的合成

由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。由式（2.42）得