自动化、信息化基础篇

第一章 自动控制理论的一般概念

“控制”，是一个很一般的术语或概念，日常生活中随处可见，自然界中的任何事物都受到不同程度的控制。

在工程技术领域，“控制”是指为了克服各种扰动的影响，达到预定的目标，对生产机械或生产过程中的某一个或某一些物理量进行的操作。

所谓自动控制，就是在没有人参与的情况下，利用自动控制装置（通常简称控制器）使整个生产过程或生产机械（通常简称控制对象或被控对象）自动地按预先指定的规律运行，或使它的某些参数（称为被控量或被控变量）按预定的规律变化。

在对被控量进行控制时，按照系统中是否有人参与，可分为人工控制和自动控制。若由人来完成对被控量的控制，称为人工控制；若由自动控制装置代替人来完成这种操作，称为自动控制。

第一节 控制理论的发展

自动控制理论是研究自动控制技术的基础理论和自动控制共同规律的技术科学。

近几十年来，自动控制技术得到了迅速的发展，并已广泛应用于工农业生产、交通运输、国防建设和航空航天等多个领域。随着科学技术和生产的进一步发展，在各个专业的工程领域中，它的作用越来越重要，已成为现代科学技术中最有发展前途的学科之一。

第二次世界大战期间，由于军事装备的需要，随动系统的技术和理论有很大的发展。

到20世纪50年代末期，以反馈控制理论为基础的自动控制理论已形成比较完整的理论体系，称为经典控制理论或古典控制理论。它以传递函数为基础，主要研究单输入单输出反馈控制系统的理论问题，采用的主要研究方法是根轨迹法和频域法。

20世纪60年代以来，由于航空航天技术、微电子技术、计算机技术等科学技术的高度发展，对控制系统提出了更高的要求，在理论上迫切需要解决经典控制理论所不能解决的多输入多输出（MIMO）、最优控制、多变量、变参数、非线性等控制理论问题，使自动控制理论出现了新的飞跃，进入了现代控制理论的阶段。

近年来，随着科学技术的进一步发展，现代控制理论在大系统工程、人工智能控制等方面继续向前深入发展，显示出自动控制理论和自动控制技术的无可估量的发展前景和巨大潜力。

控制理论包括经典控制理论和现代控制理论两大部分。

所谓经典控制理论，一般是指以单变量系统为主，用根轨迹法或频域法研究控制系统动态特性的理论。

在特定输入下研究系统输出的运动规律称为系统分析。

按一定动态性能要求（系统的稳定性、误差精度和各种动态指标如飞升时间、带宽、超调量和误差系数，等等）来改变这种运动规律称为系统综合。

当然，在经典控制理论发展的过程中，开始和后来都曾用过时域方法（微分方程、差分方程和积分方程），但频域法还是主导的（即使是随机过程中的维纳—霍甫积分方程也用频域法来解）。在发展过程中，某些指标的优化问题、多变量问题、采样系统问题逐步被提到日程上来，并得到了在当时被认为是较好的解决。

现代控制理论是在经典控制理论的基础上逐步发展起来的。它是以时域法，特别是以状态空间方法为主，研究系统状态的运动规律，并按所要求的各种指标最优为目标来改变这种运动规律。

现代控制理论的发展和计算机的普遍应用分不开，经典控制理论中以图表、特制曲线（奈奎斯特曲线、伯德图、尼柯尔斯图、根轨迹等）和特制计算尺为主要计算、分析、设计工具，而现代控制理论中以各种语言设计计算程序为主要设计手段。现代控制理论中不少方法是适应这种计算和特点形成的，例如，迭代算法和递推算法。前者解决了原来无法解决的多变量复杂关系的数值解问题，最优化技术——控制理论、滤波技术、数学规划等一系列学科的根本技术之所以在目前应用得如此普遍，和迭代算法的推广是分不开的。后者则更是一切计算机在线控制系统（在线最优控制、卡尔曼滤波、在线动态系统辨识、自适应滤波和自适应控制等）的基础。

现代控制理论本身在深度和广度上也是不断发展的，现在已很难严格地为它指定一个范围，况且越来越多的经典控制理论中用之有效的方法已渗透到现代控制理论内部，如零极点配置和频域方法，“现代”两个字再加在控制理论的前面已不太能作为一个含义明确的定语了。

理论归根结底是从实践发展来的，它来自实践，但又反过来指导实践。控制理论的发展又一次说明了这一真理。

远在经典控制理论形成之前，就有蒸汽机的飞轮调速器、鱼雷的航向控制系统、航海罗径的稳定器、放大电路的镇定器等自动化系统和装置出现。这些都是不自觉地应用了反馈控制概念而构成的自动控制器件和系统的成功例子。但是我们何尝知道在控制理论形成之前的漫长岁月中，由于缺乏理论指导而失败了的无数次的实践和尝试。

20世纪20年代至40年代，马诺尔斯基、奈奎斯特、海任、伯德等，当然也包括维纳的工作为经典控制理论奠定了基础，促进了第二次世界大战中许多武器和通信自动化系统的研制工作。第二次世界大战后，麦克考尔、吉姆斯、尼柯尔斯和菲利浦斯等总结了武器系统研制和设计方面的实践经验，陆续出版了许多著作。这些理论对战后的许多实际自动控制工程起到了良好的指导作用，为人类在较短时间内征服宇宙空间做出了贡献。

事物是不停地发展的，第二次世界大战后到20世纪50年代中期，控制理论中又添加了根轨迹法、非线性系统的谐波近似法（描述函数法）、采样控制系统、自寻最优问题和部分最优控制，多变量控制，系统灵敏度分析和系统动态测试等新篇幅。

最具有决定性意义的是状态空间方法的应用、极大值原理和卡尔曼滤波技术的提出。有人就曾把这三件事，或再加上贝尔曼的动态规划方法，作为现代控制理论的起点。

20世纪60年代以来，现代控制理论各方面都有明显进展，而且已形成了几个分支学科：线性系统理论、最优控制理论、自适应控制、动态系统辨识、大系统理论。有些分支学科还渗透到了相邻学科中，如滤波技术和适应滤波、自学习理论和人工智能、系统辨识和建模理论、大系统理论和系统工程，等等。

经典控制理论和现代控制理论要点对照如表1-1所示。

为便于大家形象地理解自动控制系统的构成，以拟人方式简述系统构成，如表1-2所示。

第二节 经典控制理论

自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。

控制技术的广泛应用，不仅将人们从繁重的体力劳动和大量重复性的操作中解放出来，而且也极大地提高了劳动生产率和产品质量。在科学技术发展的历史上，控制技术始终起着重要的作用。

一、自动控制的基本概念

在自动控制原理中，“控制”是指为了克服各种扰动的影响，达到预期的目标，对生产机械或生产过程中的某一个或某一些物理量进行的操作。

例如，日常生活中，对房屋的室内温度、汽车的方向和速度、洗衣机的控制；工业生产过程中，对电网电压、电机转速、锅炉的温度和压力、机器人的控制；生物工程中的人体温度和血压以及市场经济中的商品质量和价格的控制；航空航天工业中，对航天飞机的发射、飞行器的姿态控制等。这些都是在自动控制原理中涉及的控制问题。在这里，房屋、汽车、电网、电机、锅炉、航天飞机、飞行器等称为被控对象，室内的温度、汽车的方向和速度、电网的电压、电机的转速、航天飞机发射时的角度和速度、飞行器的姿态等称为被控变量（以下简称被控量）。

在对被控量进行控制时，按照系统中是否有人参与，可分为人工控制和自动控制。若由人来完成对被控量的控制，称为人工控制；若由自动控制装置代替人来完成这种操作，称为自动控制。

图1-1描述的是人工控制的恒值水位系统。水池中的水源源不断地经出水管流出，以供用户使用。随着用水量的增多，水池中的水位必然下降。这时，若要保持水位高度不变，就得开大进水阀门，增加进水量以作补充。在本例中，若由人工控制来完成对水位的控制，需要操作者根据实际水位的多少（它反映出用水量大小）来调节进水阀门的开启程度（以下简称开度）。

具体操作步骤如下：首先，操作者用眼睛测量实际水位，与期望水位进行比较，得到误差值；其次，根据误差的大小和正负，由大脑指挥手来正确地调节进水阀门的开度。其控制目的是要尽可能地减小误差，使被控量尽可能地保持在期望值附近。

若用杠杆机构代替人工来进行操作，就成为自动控制，具体如图1-2所示。

图1-2中用浮子代替人的眼睛来测量水位的高低；另用一套杠杆机构代替人的大脑和手来计算误差和调节阀门开度。具体操作步骤如下：杠杆的一端由浮子带动，另一端则连向进水阀门。当用水量增大时，水位开始下降，浮子也随之降低，通过杠杆的作用，进水阀门上提，开度增大，进水量增加，使水位回至期望值附近。反之，若用水量变小，水位及浮子上升，进水阀门关小，减少进水量，使水位自动下降至期望值附近。其结果是，无论出水量多还是少，实际水位的高度总是在期望值附近。

上述的自动控制和人工控制的区别在于，在自动控制系统中某些装置被有机地组合在一起，代替了人工控制系统中人的功能。由于这些装置担负着控制的功能，通常称为控制器。因此，自动控制系统可定义为：由被控对象和控制器按一定方式连接起来，完成某种自动控制任务的有机整体。

二、自动控制系统的基本形式

自动控制系统种类繁多，有机械的、电子的、液压的、气动的、抽象的，等等。虽然这些控制系统的功能和复杂程度都各不相同，但就其基本结构形式而言，可分为两种类型：开环控制系统和闭环控制系统。

（一）开环控制系统

若系统的输出量（被控量）不返回到系统的输入端，则称为开环控制系统。图1-3所示的汽车怠速控制系统就属于开环控制系统。

为了节省燃料，对于汽车怠速控制系统而言，不管发动机负载如何变化，都要尽量将汽车发动机转速维持在较低水平。如果没有转速的控制，那么负载的突然增加，将引起发动机转速急剧下降，从而导致发动机熄火。因此，怠速控制系统的主要目的，一个是消除或减小由于负载变化引起的速度下降；另一个是维持发动机转速为较低的期望值。

如图1-3所示，在怠速控制系统中，风门角度α和发动机转速ω分别是系统的输入量和输出量，它们之间存在着一一对应的关系。负载力矩TL称为扰动（或干扰），它包括空调的使用、加油和刹车等动作引起的力矩变化。扰动是不希望的系统输入量，在这个系统中它的存在将使发动机的转速偏离期望值。

通常，发动机转速处于期望值附近。当负载力矩TL 增加时，发动机转速将下降。对于图1-3这样的开环控制系统，发动机转速的下降是无法反映到系统输入端的，因此对风门角度α不产生影响，也就无法消除负载力矩TL 的变化对被控量发动机转速的影响。这就是开环控制系统的缺陷，它无法消除由于系统部分参数变化或外部扰动对系统被控量的影响。

开环控制系统结构如图1-4所示。由于在开环控制系统中，控制器与被控对象之间只有顺向作用而无反向联系，系统的被控变量对控制作用没有任何影响，系统的控制精度完全取决于所用元器件的精度和特性调整的准确度。因此，开环系统只有在输出量难以测量且要求控制精度不高以及扰动的影响较小或扰动的作用可以预先加以补偿的场合，才能得以广泛应用。

对于开环控制系统，只要被控对象稳定，系统就能稳定地工作。

（二）闭环控制系统

通常，在实际控制系统中，扰动是不可避免的。为了克服开环控制系统的缺陷，提高系统的控制精度以及在扰动作用下系统的性能，人们在控制系统中将被控量反馈到系统输入端，对控制作用产生影响，这就构成了闭环控制系统。

图1-5所示为汽车闭环怠速控制系统的原理方块图。其中，参考输入ωr 给出了系统的期望转速。系统的输出量（被控量）汽车发动机的转速ω通过转速传感器反馈到系统输入端。理想情况下，汽车发动机的转速将维持在较低的期望值附近。如果负载力矩TL 变化引起发动机转速ω发生变化，则这种转速的变化将通过转速传感器反馈到系统输入端，与参考输入比较，产生误差信号ωe。控制器将根据误差信号对风门角度α进行调节，以消除发动机转速与期望值之间的误差，使发动机转速维持在期望值附近。

这种通过负反馈产生偏差，并根据偏差的信息进行控制，以达到最终消除偏差或使偏差减小到容许范围内的控制原理，称为负反馈控制原理（以下简称反馈控制原理）。因此闭环控制系统又称为反馈控制系统或偏差控制系统。

通常，在闭环控制系统中，从系统输入量到系统被控量之间的通道称为前向通道，从被控量到输入端的反馈信号（用以减少或增加输入量的作用）之间的通道称为反馈通道。

（三）闭环控制系统的组成

虽然闭环控制系统根据被控对象和具体用途的不同，可以有各种各样不同的结构形式。但是，就其工作原理来说，闭环控制系统是由给定装置、比较元件、校正装置、放大元件、执行机构、检测元件和被控对象组成的。闭环控制系统典型方块图如图1-6所示。图中的每一个方块，代表一个具有特定功能的装置或元件。

（1）给定装置。其功能是给出与期望的被控量相对应的系统输入量（参考输入信号或给定值）。

（2）比较元件。其功能是将检测元件测量到的被控量的实际值，与给定装置提供的给定值进行比较，求出它们之间的偏差。

（3）放大元件。比较元件通常位于低功率的输入端，由于提供的偏差信号通常很微弱，因此须用放大元件将其放大，以便推动执行机构去控制被控对象。如果偏差是电信号，则可用集成电路和晶闸管等元器件所构成的电压放大器和功率放大器来进行放大。

（4）执行机构。其功能是执行控制作用并驱动被控对象，使被控量按照预定的规律变化。

（5）检测元件。其功能是测量被控制的物理量，并将其反馈到系统输入端。在闭环控制系统中，检测元件及相关的元器件构成系统的反馈装置。如果被测量的物理量为电量，一般用电阻、电位器、电流互感器和电压互感器等来测量；如果被测量的物理量为非电量，通常检测元件应将其转换为电量，以便于处理。

（6）校正装置。由于被控对象和执行机构的性能难以满足要求，在构成控制系统时，通常需要引入校正装置对其性能进行校正。校正装置的功能是对偏差信号进行加工处理和运算，以形成合适的控制作用，或形成适当的控制规律，从而使系统的被控量按预定的规律变化。通常在控制系统中，将校正装置和放大器组合在一起构成一个器件，称为控制器。在有计算机参与的控制系统中，往往用计算机（或微处理器）作为控制器。

下面给出图1-6所示的闭环控制系统方块图各信号的定义。

输入信号：是指参考输入，又称给定量、给定值或输入量。它是控制着输出量变化规律的指令信号。

输出信号：是指被控对象中要求按一定规律变化的物理量，又称被控量或输出量，它与输入信号之间满足一定的函数关系。

反馈信号：由系统（元件）输出端取出并反向送回系统（元件）输入端的信号称为反馈信号。反馈有主反馈和局部反馈、正反馈和负反馈之分。在反馈通道中，当主反馈信号与输出信号相等时，称为单位反馈。

偏差信号：是指输入信号与主反馈信号之差。偏差信号简称偏差。

误差信号：是指系统被控量期望值与实际值之差，简称误差。在单位反馈情况下，误差值也就是偏差值，二者是相等的。在非单位反馈情况下，两者存在着一定的关系。

扰动信号：简称扰动或干扰，它与控制作用相反，是一种不希望的、影响系统输出的不利因素。扰动信号既可来自系统内部，又可来自系统外部，前者称为内部扰动，后者称为外部扰动。

（四）闭环控制系统的特点

为了进一步说明闭环控制系统的特点，可将图1-6所示的系统方块图简化为如图1-7所示的图。

图中，r和y分别是系统的输入和输出信号；e为系统的偏差信号；b为系统的主反馈信号；假设参量G和H分别是前向通道和反馈通道的增益，亦即放大系数。

由图1-7可得出如下关系：

将（式1-3）和（式1-2）代入（式1-1），整理后可得出输入与输出之间的关系为

这一关系式将有助于理解闭环控制系统的一些特性。

概括起来，闭环控制系统有如下特性。

1）闭环控制系统是利用负反馈的作用来减小系统误差的

在闭环控制系统中，控制器与被控对象之间不仅有正向作用，而且还有反馈联系，因而信号的传递形成一个闭合回路，闭环控制系统也因此而得名。因此，当输出量偏离期望值时，这个偏差将被检测出来，对控制作用产生影响，从而使系统具有自动修正被控量偏离的能力，减小了系统误差，较好地实现了自动控制的功能。

2）闭环控制系统能够有效地抑制被反馈通道包围的前向通道中各种扰动对系统输出量的影响

从上面列举的控制系统可以看出，扰动实际上是制约控制系统性能提高的一个重要因素，因而克服扰动的影响已成为控制系统的重要任务。对于闭环控制系统而言，由于引入了负反馈的控制作用，使得作用在被反馈通道包围的前向通道中各环节（如被控对象或控制装置）上的任何形式的扰动，包括已知的或未知的，只要它们使系统的被控量偏离期望值而出现偏差，就可以被检测出来，产生相应的控制作用去减小或消除这些偏差，使被控量与期望值趋于一致。故闭环控制系统能够抑制扰动的影响，从而提高系统的控制精度。

分析图1-8所示的带扰动的闭环控制系统也可得出相同的结论。在图1-8中，n为系统扰动，k1和k2分别为输入到扰动作用点之间以及扰动作用点到输出之间的增益，h为反馈通道的增益。

当系统是开环控制系统，并且输入r=0时，有

而对于图1-8所示的闭环控制系统，当输入r为零时，有

比较（式1-5）和（式1-6）可知，当1+k1 k2 h>1时，在闭环控制系统中由扰动引起的输出部分被减小了k1 k2 h倍，即闭环控制系统具有抑制扰动的能力。

3）闭环控制系统可以减小被控对象的参数变化对输出量的影响

为了讨论参数变化的影响，首先给出系统灵敏度的概念。

系统增益M对于被控对象增益G变化的灵敏度可定义为

将（式1-4）代入（式1-7），有

根据（式1-8），当GH>0时，灵敏度函数的幅值小于1，并将随着GH的增大而减小，这表明系统增益M对被控对象G变化的敏感程度将随着增益GH的增大而降低。而对于开环控制系统而言，有S MG =1。

对于实际控制系统，通常G和H并不是常量，而是频率的函数。因此并不能保证对于所有的频率范围都有GH>0，但在人们所关心的频率范围内，常常GH远大于1。因此，可以说闭环控制系统对被控对象的灵敏度低于开环控制系统。正是由于闭环控制系统的这一特点，使得闭环控制系统对被控对象参数的要求不像开环控制系统那样苛刻。

下面讨论系统增益M对于反馈装置增益H变化的灵敏度。其定义如下

由（式1-9）可以看出，当GH很大时，灵敏度的幅值约为1，这说明反馈装置增益H的变化将直接影响系统输出。因此，保持反馈装置参数不因环境的变化而变化，或者说保证反馈增益为常数是非常重要的。

由上面的分析可知，闭环控制系统由于有了反馈的作用，确实克服了开环控制系统的缺点，带来了很多优势，但同时也带来了一些问题。

（1）由于增加了反馈通道，使闭环控制系统增加了元器件的数目和系统的复杂程度。

（2）闭环控制系统用增益的损失换取了系统对于参数改变和干扰敏感度的降低，即换取了对系统响应的控制能力。说明如下：对于开环控制系统，开环增益为G。而由（式1-4）知，单位反馈控制系统的闭环增益为{L-End} 由此可知，单位反馈控制系统的增益比开环控制系统减小了{L-End} 倍，即闭环控制系统损失了系统增益。

（3）闭环控制系统带来了系统稳定性问题。对于开环控制系统，只要被控对象稳定，系统就能稳定地工作。而在闭环控制系统中，输出信号被反馈到系统输入端，与参考输入比较后形成偏差信号，控制器再按照偏差信号的大小对被控对象进行控制。在这个过程中，由于控制系统的惯性，可能引起超调，造成系统的等幅或增幅振荡，使系统变成不稳定，从而产生闭环控制系统的稳定性问题。

三、自动控制系统分类

对于种类繁多的自动控制系统，根据不同的分类原则有不同的分类结果。

（一）按输入信号特征分类

1. 恒值控制系统（又称自动调节系统）

恒值控制系统的特点是：输入信号为某个恒定不变的常数，要求系统的被控量尽可能保持在期望值附近。系统面临的主要问题是存在使被控量偏离期望值的扰动：控制的任务是要增强系统的抗扰动能力，使扰动作用于系统时，被控量尽快地恢复到期望值上。因此，恒值控制系统又称为自动调节系统。前文中图1-2所示的水位控制系统和图1-5所示的汽车怠速控制系统均为恒值控制系统。实际上，工业生产过程中广泛应用的温度、压力、流量等参数的控制，都是采用恒值控制系统来实现的。

2. 随动控制系统（又称伺服系统）

随动控制系统的特点是：输入信号是随时间任意变化的函数，要求系统的输出信号紧紧跟随输入信号变化。系统面临的主要矛盾是：被控对象和执行机构因惯性等因素的影响，使得系统的输出信号不能紧紧跟随输入信号变化；控制的任务是提高系统的跟踪能力，使系统的输出信号能跟随难以预知的输入信号变化。

在随动控制系统中也存在着各种扰动的影响，但是系统的主要任务是提高跟踪能力，抑制扰动的影响则是次要任务。而恒值控制系统的主要任务则是抑制扰动的影响。这是两者的主要差别。

工业自动化仪表中的显示记录仪，跟踪卫星的雷达天线控制系统，以及火炮自动跟踪系统均属于随动控制系统。

3. 程序控制系统

程序控制系统的特点是：输入信号按照预先知道的函数变化。例如，热处理炉温度控制系统中的升温、保温、降温等过程，都是按照预先设定的规律进行的。又如，机械加工的数控机床也是典型的程序控制系统。

（二）按系统中传递的信号的变化特征分类

1. 连续控制系统

连续控制系统的特点是：系统中各环节间的信号均是时间t的连续函数。连续控制系统的运动规律可用微分方程描述。上述的蒸汽机转速控制系统和船舶舵角位置跟踪系统均属于连续控制系统。

2. 离散控制系统

离散控制系统的特点是：系统中某处或几处信号是脉冲序列或数字编码的形式。离散控制系统的运动规律可用差分方程描述。

凡是有计算机参与的自动控制系统均属于离散控制系统。近年来，随着计算机应用技术的迅猛发展，越来越多的自动控制系统采用计算机作为控制器。在计算机引入控制系统后，控制系统就由连续系统变成离散系统了。因此，随着计算机在控制系统中的广泛应用，离散控制系统理论得到了迅速发展。

（三）按系统特性分类

1. 线性控制系统

凡是同时满足叠加性与均匀性（或齐次性）的系统均为线性控制系统。

所谓叠加性是指，当几个输入信号同时作用于系统时，系统的响应等于每个输入信号单独作用于系统时所产生的响应之和。例如，已知某系统对应于输入信号r1（t）时的系统响应为y1（t），对应于输入信号r2（t）时的响应为y2（t），则当系统满足叠加性，且系统的输入信号为r1（t）+r2（t）时，系统的响应为y1（t）+y2（t）。

所谓均匀性是指，当输入信号按倍数变化时，系统响应也按同一倍数变化。例如，对于某系统当输入信号为r1（t）时，系统响应为y1（t）。如果该系统满足均匀性，则当输入信号为kr1（t），系统响应为ky1（t）。

线性控制系统的上述特性将使系统分析大大简化。例如，实际控制系统并非完全是单输入单输出的系统，而往往是多输入单输出系统。应用叠加原理可分别考虑每个输入单独作用时系统引起的响应，然后将它们叠加，从而将多输入单输出问题转化为单变量系统问题来讨论。又如，实际系统输入信号的幅值各种各样，运算很不方便，应用均匀性则可将输入信号的幅值取为1（或其他便于计算的值），这样得到的响应和实际输入信号所产生的响应，其变化特性完全相同，所不同的只是在幅值上按比例缩小或放大而已。

线性控制系统可用线性函数来描述其特性，对于线性单变量连续系统，可用下列线性微分方程描述：

式中，r（t）和y（t）——系统的输入量和输出量；

系数ai 和bj（i=0，1，…，n-1；j=0，1，…，m）——常数或时间的函数。

2. 非线性控制系统

凡是不同时满足叠加性和均匀性的系统均为非线性系统。典型的非线性特性有饱和特性、死区特性、间隙特性、继电特性、磁滞特性等。

实际上，自然界中任何物理系统的特性都是非线性的。但是，为了研究问题方便，在一定条件下和一定范围内，可将许多非线性系统在其工作点附近近似为线性系统，从而用线性系统理论对其进行研究。

（四）按系统参数是否随时间变化分类

1. 定常系统

如果描述系统运动的微分或差分方程的系数均为常数，则称这类系统为定常系统，又称为时不变系统。

该类系统的特点是：系统的响应特性只取决于输入信号的形状和系统的特性，而与输入信号施加的时刻无关。若系统在输入信号r（t）作用下的响应为y（t），则当输入信号延迟一段时间t作用于系统时，系统的响应也延迟同一时间t，且形状保持不变，如图1-9所示。定常系统的这一特性给分析研究带来了很大的方便。

对于（式1-10）描述的线性系统，如果微分方程系数ai和bj（i=0，1，…，n-1；j=0，1，…，m）均为常数，则该类系统为线性定常连续系统。

2. 时变系统

如果系统的参数或结构随时间而变化，则称这类系统为时变系统。

这类系统的特点是：系统的响应特性不仅取决于输入信号的形状和系统的特性，而且还与输入信号施加的时刻有关。

对于同一系统来说，当输入信号r（t）在不同时刻作用于系统时，系统的响应是不同的，如图1-9所示。时变系统的这一特性给系统的分析研究带来了困难。

对于（式1-10）描述的线性系统，若微分方程系数ai和bj（i=0，1，…，n-1；j=0，1，…，m）是时间的函数，则称该类系统为线性时变连续系统。

四、对自动控制系统的基本要求

自动控制系统的基本任务是：根据被控对象和环境的特性，在各种扰动因素作用下，使系统的被控量能够按照预定的规律变化。

对于恒值控制系统来说，要求系统的被控量维持在期望值附近；

对于随动控制系统而言，要求系统的被控量紧紧跟随输入量的变化。

无论是哪类控制系统，当系统受到扰动的作用或者输入量发生变化后，系统的响应过程都是相同的。因此，对系统的基本要求也都是相同的，可以归结为稳定性、快速性和准确性，即稳、快、准的要求。

1. 稳定性

稳定性是保证控制系统能够正常工作的先决条件。对于稳定的系统来说，当系统受到扰动的作用或者输入量发生变化时，被控量会发生变化，偏离给定值。由于控制系统中一般都含有储能元件或惯性元件，而储能元件的能量不可能突变，因此，被控量不可能马上恢复到期望值，或者达到一个新的平衡状态，而总是要经过一定的过渡过程。其过程如图1-10中（a）和（b）所示。我们把这个过渡过程称为瞬态过程，而把被控量达到的平衡状态称为稳态。

通常，被控量的具体响应过程可归结为四类，如图1-10所示。

图1-10中（a）和（b）所描述的系统，被认为是稳定的。而图1-10中（c）和（d）所描述的系统，其被控量的响应过程或者呈现等幅振荡（c），或者呈现发散振荡的现象（d），被认为是不稳定的。

不稳定的系统是无法使用的，系统激烈而持久的振荡会导致功率元件过载，甚至使设备损坏而发生故障，这是绝对不允许的。

2. 快速性

为了很好地完成控制任务，控制系统仅满足稳定性要求是不够的，还必须对其瞬态过程的形式和快慢提出要求，一般称为瞬态性能。通常希望系统的瞬态过程既要快（快速性好）又要平稳（平稳性高）。

3. 准确性

对于一个稳定的系统而言，当瞬态过程结束后，系统被控量的实际值与期望值之差称为稳态误差，它是衡量系统稳态精度的重要指标。通常希望系统的稳态误差尽可能小，即希望系统具有较高的控制准确度或控制精度。

第三节 现代控制理论

简单地说，现代控制理论的基本内容可以用下列五个问题概括。

一、如何按一定目标来确定一个控制函数（最优控制）

假设图1-11所示的系统中，有一组输入函数（控制函数）u（t）作用在受控系统上，其相应状态变量是x（t），则通过测量系统可得到这些状态的某种组合为y（t）。

从实际需要出发，可以为受控系统指定一些目标。例如，一个飞行器的飞行时间最短、燃料耗费最少、能量损失最小和指定轨线的偏离或偏离均方最小等，可以提出一系列目标函数：

当然，受控系统本身的输入和输出和其状态变量间有一定的动态关系，称为受控系统的状态方程，如

当（式1-11）和（式1-12）已知，则找到一个控制函数u*（t）满足条件（式1-12），并使J为极值（最小或最大）的问题，就是现代控制理论中最普遍的课题之一，称为最优控制问题。

如果所选用的目标函数J是一种二次型函数，则（式1-11）变成

式中，t0，tf——控制过程的开始和结束时间；

Q0，Q1，Q2——要加以确定的权矩阵。

这就是最优控制问题中最成熟的线性二次型最优控制问题。

更普遍的问题是受控系统本身状态方程也是非线性的，即

如果将x（t）和u（t）离散化，则可得到离散时间方程式

由于目前控制理论的应用都离不开计算机，实际系统的最优控制也往往要依靠计算机，故研究这种离散时间系统是有其实际意义的。

控制理论的根本是反馈控制，上面提到的都是开环控制，因而最优控制问题中自然包含如何构成最优反馈控制律的问题。当然，可以模仿经典控制理论那样，构成以输出y（t）反馈的最优控制律，这就是输出最优控制。由于输出中不可能包含系统状态的全部信息，因此，理论上就不能从输出反馈控制得到最优控制，最多也只能称为次优控制。理论上的最优控制应当来自状态反馈，所以就有最优状态反馈。对于线性二次型最优控制问题，这种最优状态反馈控制律是

式中，K（t）表示增益矩阵，即

而P（t）这个线性变换矩阵则为下列黎加蒂矩阵微分方程的解

并不是在所有系统中都能够直接观测到状态x（t）=[x1（t），x2（t），…，xn（t）]T的，所以在得到（式1-17）所示的最优控制律之前，就要设法从输出向量y（t）找到系统的全部状态x（t）。这就是所谓的观测器设计问题。这种在确定性系统中估计状态的问题是比较成熟的问题。

在为系统设计一种最优控制律时，当系统状态不能全被直接测量到时，为系统设计一个状态观测器，却涉及受控系统是否能够被控制和被观测的问题，这就是系统的能控性和能观测性问题。

在以研究系统状态运动规律为主的现代控制理论中，状态的能控性和能观测性是设计系统最优控制的先决条件。

二、如何从受到随机干扰的输出y（t）来求状态向量x（t）（最优估计）

图1-11中系统输出y（t）是通过测量系统由状态转换过来的，实际的测量系统却受到噪声v（t）干扰，如图1-12所示。这时，从y（t）尽可能消除干扰v（t）的影响反求状态x（t）的问题就称为最优状态估计问题。或更广泛些，在图1-12中，我们可以把整个系统看成一个信息传递系统。

输入噪声w（t）表示这个信息传递系统的模型误差，或称动态噪声。从y（t）克服w（t）和v（t）的影响来估计x（t），称为最优状态估计。解决这种问题最基本的方法是卡尔曼滤波技术，它在各种信息系统（通信、广播、电视、计算机等系统），以及统计数据处理和现代控制理论中都有广泛应用。

描述输入噪声w（t），v（t）干扰的信息状态x（t）和测量此状态的输出y（t）的方程是

如果已知干扰{w（t）}和{v（k）}的统计特性，就可以从输出{v（k）}来估计状态x（k）。

一般来说，用具有零平均值的高斯分布特性来说明{w（t）}和{v（k）}是完全可以的。

如果用k=1，2，…，t时的测量数据{v（k）}来估计k=t时的状态x（t），则当t<j时，称为预测问题；当t=j+1，称为一步预测问题；当t=j时，称为滤波问题；当t>j时，称为平滑问题。

预测是一类最优控制问题的先决条件，有些叫做一步预测控制的最优控制，可以达到相当不错的控制效果。滤波的作用更为明显，可以从被干扰信号中得到真实信号。经典滤波技术只在信息和干扰噪声分布在不同频段或少量交叠的情况下才有效，而维纳滤波对信息与干扰混杂在相同频段的情况提出了处理办法，卡尔曼滤波则将此方法扩大到各种不平稳过程。平滑则为用更多的测量数据，包括后来的数据来估计以前某一时间点上的信息，牺牲时间以换取估计精度的做法在有些场合是合适甚至是必要的。

本节公式的时间变量，有时用t，有时用k，表示滤波技术和控制一样，既可以在连续时间t上进行，也可以在离散时间k上进行，从实际应用来说，离散时间k更占多数。

三、如何为一个承受随机干扰的系统按一定目标确定一个控制函数（随机最优控制）

实际系统都会受到许多噪声干扰，其中主要的是动态噪声w（t）和测量噪声v（t），在这种情况下最优控制问题就称为随机最优控制（见图1-13）。由于所处理的都是随机变量，所以在随机控制中目标函数一般都用统计平均值来表示，例如，受控系统的输出y（t）偏离给定值yd的方差最小，J=E[（y（k）-yd）2]。

随机最优控制中有一类比较成熟的问题是线性二次型高斯控制（LQG）问题。这里，系统状态方程和测量方程是

而要求的目标函数是

LQG问题中主要是应用了分离定理，就是可以把对随机系统求最优控制的问题分成两部分：一部分是用卡尔曼滤波技术从系统输出y（k）求状态x（k）的估计值 ^x（k），另一部分是按确定性线性二次型最优控制问题，把x（k）当成状态来求状态反馈最优控制律

四、如何从动态系统输入和输出求系统的方程（动态系统辨识问题）

前面提到的最优控制和最优状态估计都是在已知系统方程（数学模型）的基础上进行的，而在实际设计最优控制系统时，最根本的是必须先建立系统的数学模型。如图1-14所示，就是为了消除w（t）和v（t）的影响来找一个最适合u（t）和y（t）的数学模型。这一大类问题称为动态系统辨识问题，它在实际应用和理论上都有重要意义。

当模型结构已经确定，用输入/输出来确定其参数的，称为参数估计问题，而同时确定模型结构和参数的则泛称系统辨识问题。模型结构问题包括用何种方程式，多少阶或什么结构的不变量来迫近输入/输出数据。

用输入/输出关系（有时也称为系统的外部关系）表达系统动态特性的数学模型有传递函数和自回归滑动平均等多种方式，同样的输入/输出关系也可以用全面表示系统内部及外部关系的状态方程来表达。这种由外部关系找系统内部关系的问题称为实现问题。由状态方程表示输入/输出关系是唯一的，但其逆运算却非唯一，即可以有无穷多个状态方程相当于同一个输出/输入方程。

在这无穷多个方程中，有一大类维数最小的方程，由输入/输出关系转化到这一类相应的最小维数状态方程称为最小实现问题。

求出系统数学模型的目的在于用它来求解最优控制律。

为了尽可能确切地反映输入/输出所表达的系统，由此得到系统数学模型往往有一定的复杂程度。但为了便于实际计算和控制，往往希望得到模型的阶次不要太高，因此许多人就开始研究模型的降阶问题。

由于反映事物输入/输出关系（或因果关系）的数学模型可以用来分析系统、设计最优控制、预测将来或者可以用仿真技术做种种试验。数学模型已被广泛地应用到控制以外的各个领域。例如，在社会经济系统中，数学模型已被用来进行经济预测、建设规划、决策分析和政策评价。所以，系统辨识工作有广泛的实用意义。在上面提到的社会经济系统中，不少时候往往只有以统计数据形式表达的系统的输出数据，而很难找到相应的输入。因而，单以输出数据分析系统的时间序列分析方法得到了广泛应用。当然，这已超出了控制领域。

在不少控制系统上，往往要同时估计系统的参数和状态，由于这两种估计方法是相同的，所以只要把向量增广，就可以很容易地把参数和状态合并在一个向量中同时估计。这也是为什么卡尔曼滤波技术在参数估计中能起作用的道理。

五、如何用各种直接或间接辨识系统动态特性的方法随时调整控制律得到最优控制（适应控制问题）

自适应控制是指随时辨识系统的数学模型，随时按此模型来调整最优控制律。图1-15就是要通过w（k），v（k），y（k），x（k），u（k）来确定U*（k+1）。

按实际要求不同，自适应控制也有很多种类：

（1）有些是寻求由于控制过程中实际受控系统特性改变而导致的系统目标的极值漂移，调整系统可调的控制律，以求系统当时可能达到的最优目标。这是一种自寻最优调节器。

（2）有些是随时测试系统的动态特性，如用伪随机输入信号随时测量全系统的脉冲响应面积比（图1-16中脉冲响应曲线和时间轴围成的面积，轴上总面积∑A和轴下总面积∑B之比），随时调整控制律以使比值最小，如图1-16所示。

（3）有些是所谓模型参考适应控制。在此，系统有一个理想的参考模型，承受一定输入作用后其输出就是受控系统实际输出应当遵循的最优轨线（用输出实际轨线作为目标，往往比一般二次型目标更为直接）。当实际输出和理想参考模型之输出有偏差时，就改变自适应机构按一定规律去调整控制器，改变控制律，最后使系统输出跟随理想参考模型之输出，以此适应不断改变的情况，最终达到最优控制。

（4）带有可调参考模型的自适应控制系统。这种安置在控制系统中的参考模型，其参数及（或）阶次均可按在线辨识结果加以调整，以跟随实际系统的动态特性，再据此计算最优控制律来控制实际系统。在这类系统中，辨识和控制是交替进行的。