第2章 力系的平衡

力系的平衡是静力学最重要的内容。本章将根据第1章中力系的简化结果导出力系的平衡方程，然后介绍平衡方程的应用，最后讨论考虑摩擦的平衡问题。

2.1 力系的平衡方程

力系的平衡是指力系的平衡条件，即力系作用于刚体，使刚体保持平衡的条件。

设刚体受力系F1，F2，…，Fn作用，由力系简化的结果知，该力系向一点O简化可得一力 和一力偶矩等于 的力偶。由平衡原理知，刚体保持平衡的充要条件是：作用于刚体的力系等效于零力系，即

这说明力系的主矢和对一点的主矩为零是力系平衡的充要条件。式（2-1）称为力系的平衡方程。

在具体应用时，常用平衡方程在直角坐标系下的投影式。建立直角坐标系Oxyz。设Fi={Fix，Fiy，Fiz}（i=1，2，…，n），由力对点的矩和力对轴的矩的关系，式（2-1）在直角坐标系下的投影式为

式（2-2）常写成简略形式为

对空间一般力系而言，式（2-3）最多提供6个独立的平衡方程。

下面讨论几个特殊力系的平衡方程。

1.空间汇交力系

由伐里农定理知，对于汇交力系，各分力对一点的矩的矢量和等于合力对该点的矩，因此当合力为零时，各分力对一点的矩的矢量和一定等于零，即各分力对坐标轴的矩的代数和一定为零，由此可以知，独立的平衡方程为

尽管独立的平衡方程数不大于3，在具体应用时，并不排斥应用矩方程，即某个投影方程可用对某轴的矩方程代替。

2.平行力系

设力系平行于y轴，则

∑Fx=0，∑Fz=0，∑My=0

是三个恒等式，所以独立的平衡方程为

独立的平衡方程数不超过3。

3.平面力系

设力系的作用平面是xy平面，则

∑Fz=0，∑Mx=0，∑My=0

是三个恒等式，所以独立的平衡方程为

独立的平衡方程数不大于3。对于平面力系，∑Mz=0常称为对点O的矩为零，记为∑MO=0，这是一种简便记法。

了解各种力系的独立平衡方程数是为了分析问题时明确能求解的约束力所包含未知量的个数。若平衡问题中未知约束力所包含的未知量的个数小于或等于独立的平衡方程数，则称这种问题为静定问题，这是可直接求解的问题。若问题中未知约束力所包含未知量的个数大于独立的平衡方程数，则称这种问题为静不定问题或超静定问题，这是在理论力学范围内不能求解的问题。它要通过其他途径去寻求足够多的补充方程。

两个力作用于刚体，使刚体保持平衡，则此二力一定大小相等、方向相反、作用线相同。对三个力的情况有下面定理。

定理 作用于刚体的三个力F1、F2、F3使刚体保持平衡，则此三力必共面，且作用线交于一点。

证明：考虑F1和F2，此二力的简化结果是：①合力F12；②力偶或力螺旋。显然，后者不可能与F3平衡，因此，只可能是合力F12，并且F12与F3有相同的作用线。这说明F1、F2、F3共面。

若F1和F2的作用线相交于一点，则F3的作用线必过此点，否则三力不平衡。若F1和F2平行，则F1、F2、F3是平衡的平行力系，它们的作用线相交于无限远处。

当使用上述定理时，某些平衡问题能起到很大的简化作用。

例2-1 均质杆AB长2l，重P，放在直径为r的光滑圆槽内，如图2-1所示，试求杆AB平衡时与直径ED的夹角φ及A、D两点处的约束力。

解：杆AB的受力分析如图2-1所示，杆AB所受的力系为平面任意力系。未知约束力为FA、FD，还有一个未知的角度φ，共三个未知量，可以求解。

建立坐标系Axy，如图2-1所示。

由式（1）、（2），得

式（4）代入式（3），得2rcos2φ-lcosφ=0

即

由于，负号不合题意，取

式（4）、（6）即是要求的量。

讨论：①显然，2rcosφ＜2l，否则FD改变方向指向点O。

②cosφ＜1，即

这意味着重心C在圆槽内，否则难以平衡。由式（7）、（8）得

例2-2 如图2-2所示的多拱结构，重量不计。已知拱的尺寸a和作用力F1、F2，试求支座A、B的约束力。

解：拱结构的受力如图2-2所示，它所受的力系为平面任意力系。结构整体有4个未知量FAx、FAy、FBx、FBy，但只有三个独立的平衡方程，不能直接求解。由于这是一个刚体系统，有6个刚体，一共有18个未知约束力分量，而对每个刚体有3个独立的平衡方程，因此独立的平衡方程数也是18个，问题是可以求解的。下面通过精心选择研究对象来求解问题。

首先，考虑整体。

FAx、FBx只要有一个确定，另一个便可由式（3）确定。为此，考虑刚体BDE，如图2-3（a）所示。

这里有5个未知约束力分量，有些是不需要求的，应用对点E的矩方程，得

为求FDy，考虑CDHG部分，如图2-3（b）所示。

由式（3）、（4）、（5），得

负号表示FAx、FBx的方向与所设的方向相反。

平面力系的平衡问题是静力学的重点。从分析问题的独立的平衡方程数和未知约束力所包含未知量数入手，确定问题是静定问题，还是静不定问题；然后，灵活选取研究对象及运用三个基本的平衡方程，直到求得问题的解答。在求解过程中，对矩方程的灵活应用往往可以降低问题求解的复杂性，因为选择适当的矩点（矩心）可以避免方程出现不必要的未知约束力。

对于平面力系的三个基本平衡方程，由于只有一个矩方程，通常称为一矩式。在应用上，还有其他形式的平衡方程可以代替一矩式，但有一些限制条件，它们是

（1）二矩式

限制条件是u轴不能与点A、B的连线垂直。

（2）三矩式

限制条件是点A、B、C三点不能共线。

式（2-7）、式（2-8）的证明从略，有兴趣的读者可参考相关文献。

例2-3 已知F=q0a，试求图2-4所示结构的支座约束力。

解：结构所受的支座约束力如图2-4所示，有FAx、FAy、MA、FD四个未知量。考虑整体，结构受的力系为平面一般力系，只有三个独立的平衡方程，不能直接求解。为此，先考虑CD部分，受力如图2-5所示。根据例1-4的结果，得

然后，考虑整体，有

考虑整体时，也可用二矩式或三矩式方程进行求解。

下面的例子是关于空间一般力系的。

例2-4 自重可不计的直杆AC，一端以光滑球铰A与地面相连，另一端挂一重为W 的重物，在点B系两根与铅垂墙面相连的绳子，在图2-6所示的位置（两绳在同一水平面内）处于平衡。试求球铰链A处的约束力和两绳的张力。

解：建立坐标系Oxyz，直杆AC的受力分析如图2-6所示。有FAx、FAy、FAz、T1、T2五个未知约束力，这是空间力系，最多有6个独立的平衡方程，可以求解。

∑Mx=0，FAy·c-W（a+b）=0

这里还有一个方程∑Fx=0没有用到。

∑Fx=0，FAx+T 1 si nα-T 2 si nα=0

上式并不独立，是方程∑Mz=0和方程∑My=0的线性组合。只所以出现这种情况是因为这个力系各力的作用线都通过杆AC，因此力系对AC轴的矩恒为零，从而独立的平衡方程数减少了一个。

2.2 桁架

桁架是由杆组成的一种承载结构，它满足下列条件：①杆为不计重量的刚性直杆；②各杆都由光滑铰连接；连接点称为桁架的节点；③载荷均作用于节点上。显然，组成桁架的杆都是二力直杆。

桁架是一种比较理想的力学模型。铁路桥梁、屋架、电视发射架、建筑用起重机架等都可以看成桁架结构。

在理论力学中仅讨论静定桁架，即桁架各杆的内力都可以由平衡方程求得。求解桁架中杆的内力的方法有两种：节点法和截面法。所谓节点法是以桁架节点为研究对象，考察它的平衡。所谓截面法是以桁架某一部分为研究对象，用假想的截面把这部分从桁架中分离出来，考虑它的平衡。对于平面桁架（即桁架所受的内力和外力的作用线在同一平面内），节点法处理的是平面共点力系，截面法处理的是平面一般力系。下面以例子加以说明。

例2-5 如图2-7所示，已知，试求桁架中杆4、5、6的内力。

解法1：节点法

先判断结构中内力为零的杆（称为零杆）。约定所有杆内力为拉力。考虑节点C，如图2-8（b）所示，有FN3=0。同理，杆5为零杆，即FN5=0。

整体考虑，如图2-7所示。

考虑节点A，如图2-8（a）所示，

考虑节点C，如图2-8（b）所示，可得

FN 4=FN 1=-6（kN）

考虑节点D，如图2-8（c）所示，可得

解法2：截面法

考虑整体，可求得

用假想截面截断杆4、5、6，考虑ACD部分，受力如图2-9所示，则

显然，FN5=0。

例2-6 试求如图2-10所示桁架中杆CD的内力，已知F 1=F 2=F。

解：由于桁架的构造，用节点法求解，要求解联立方程组。下面用截面法来求解。

考虑整体，受力如图2-10所示。

∑M A=0，FB ·3a-F1 ·a-F2 ·2a=0

FB=F

用截面截断杆AE、CD和BG，以BED为研究对象，受力如图2-11所示，以线段AE和BG的延长线的交点K为矩心。

2.3 摩擦

如果两个物体接触，那么在接触处会产生一对相互作用的力，如图2-12所示。图中F是物体B对物体A的作用力，F′是F的反作用力。由于两物体在接触处并不光滑，F的方向并不沿公切面的法线方向，因此公切面上有F的分力Ff，以阻碍物体间的相对运动，这种现象称为摩擦。Ff称为摩擦力。如果两个物体在接触处没有相对滑动，这种摩擦称为静滑动摩擦，简称静摩擦，否则称为动滑动摩擦，简称动摩擦。

实验表明，静摩擦力Ff的大小不超过一个最大值Ffmax，Ffmax与法向力FN的大小成正比，即

式中，fs是一个与两个接触物体的材料、接触处的状况相关的因数，称为静摩擦因数。对于动摩擦力Ff，其大小也与法向力FN的大小成正比

式中，f称为动摩擦因数。在一般情况下，f略小于fs，在精度要求不高的问题中，可以近似认为两者相等。式（2-10）、式（2-11）称为库仑摩擦定律。

用斜面实验可以简单确定静摩擦因数fs，方法如下：

把要测的两个物体的材料分别做成一可绕轴O转动的平板OA和物块B，并使两者表面情况符合预定要求，如图2-13（a）所示。当φ较小时，物块B在斜面上静止，其受力如图2-13（b）所示。显然

Ff=Wsi nφFN=Wc o sφ

逐渐增大φ，使物体B达到将要下滑的临界平衡状态，φ达到其最大值φm，这时

Ff m a x=Wsinφm FN=Wcosφm

由库仑摩擦定律，Ffmax=fsFN，则

fs=ta nφm

φm称为摩擦角。轴线垂直于两物体接触面平面，当摩擦各向同性时，母线与轴线成角φm的圆锥称为摩擦锥。

定理 如果作用于物体上的主动力的合力作用线在摩擦锥内，则不论主动力合力的大小怎样，物体仍将保持平衡。这种现象称为自锁。

证明：如图2-14所示，作用于物体上的主动力的合力F1与接触面的法线方向的夹角φ≤φm，物体受到的约束力分力为Ff、FN。

物体要保持平衡，必须满足

显然，不管F1多大，接触面能提供约束力FN=F1cosφ，即式（2）能满足，因此问题的关键是式（1）能否成立，即接触面能否提供足够大的摩擦力。由于

Ff=F1 cosφtanφ=FN tanφ≤tanφmFN=fsFN

上式表明地面能提供足够大的摩擦力，因此物体仍将保持平衡。

在摩擦问题中，正确判断摩擦力的方向非常重要。判断摩擦力方向的基本原则是：静摩擦力的方向总是与物体相对滑动趋势相反；动摩擦力的方向总是与物体相对滑动方向相反。

例2-7 斜面上重物的自锁问题。如图2-15所示，物体重为W，放在倾角为φ的斜面上，物体与斜面的摩擦角为φm。当φ≤φm时，重力作用线在摩擦锥内，不管物体多重，都不会下滑，处于自锁状态；当φ＞φm时，物体下滑，因为斜面能提供的约束力的作用线只能在摩擦锥内，这时重力作用线与约束力作用线不重合，即不能平衡。

例2-8 楔形槽的摩擦问题。

如图2-16所示，楔体在主动力F作用下，斜面产生法向约束力FN，由于没有滑动趋势，图平面内沿斜面并不产生摩擦力。由平衡方程得

当楔体受垂直图平面方向的作用力而没有滑动时，斜面上产生的摩擦力也沿垂直图平面的方向，楔体受到的总摩擦力为

式中，fs是楔体与斜面的静摩擦因数，sα，显然f′s＞fs，即楔体沿槽方向受到的摩擦力比平面上的情况大α倍，这意味着利用摩擦力传递力，楔形槽要比平面大α倍。工程实际中，传动轮上的梯形截面皮带就是根据这个原理设计的。

例2-9 如图2-17所示，斜面上的物体重P，物体与斜面间的静摩擦因数为fs，斜面倾角为φ，且φ＞φm（tanφm=fs），试求能维持物体在斜面上静止所需的水平力Q的大小。

解法1：物体有向上、向下两种滑动趋势，建立坐标系O xy，如图2-17所示。

（1）设物体有向下滑动的趋势，物体受力如图2-18（a）所示。

∑Fx=0，Q c o sφ+F f-P si nφ=0 Ff=-Qc o sφ+Psi nφ ∑Fy=0，F N-Q si nφ-P c o sφ=0

FN=Qsi nφ+Pc o sφ

但

Ff≤fsFN=ta nφmFN-Qcosφ+Psinφ≤tanφm（Qsinφ+Pcosφ）

（2）设物体有向上运动的趋势，物体受力如图2-18（b）所示。

∑Fx=0，Q c o sφ-F f-P si nφ=0

Ff=Qc o sφ-Psi nφ

∑Fy=0，F N-Q si nφ-P c o sφ=0

FN=Qsi nφ+Pc o sφ

但

Ff≤fsFN=ta nφmFN

当时，由式（2）得

当时，式（2）恒成立，即不论Q多大，物体保持静止，处于自锁状态。

综上所述，当时，

Pta n（φ-φm）≤Q≤Pta n（φ+φm）

当时，

Q≥Pta n（φ-φm）

解法2：以物体为研究对象，Q和P的合力为F，F与P的夹角为α，如图2-19所示，则

画出摩擦锥，则物体平衡时主动力的合力F的作用线不能超出摩擦锥，如图2-19所示。即

|α-φ|≤φm

展开

当时，

tan（φ-φm）≤tanα≤tan（φ+φm）

即

Pta n（φ-φm）≤Q≤Pta n（φ+φm）

当时，由于，得

tan（φ-φm）≤tanα＜+∞

即 Pta n（φ-φm）≤Q＜+∞

例2-10 如图2-20所示，重为P的均质长方形木块放置在水平桌面上，已知木块的长为a，高为h，与桌面间的静摩擦因数为fs，若主动力F水平向右作用于木块的左侧上，试求木块保持平衡的力F的大小。

解：由于考虑木块的尺寸，木块有两种可能的运动趋势：滑动和绕点B的转动。

（1）当木块有滑动趋势时，木块的受力如图2-21（a）所示。

∑Fx=0，F-Ff=0

Ff=F

∑Fy=0，FN-P=0

FN=P

不滑动的条件为

（2）当木块有绕点B转动的趋势时，力F作用在木块左侧最高点A最容易发生这种翻倒趋势，木块的受力如图2-21（b）所示。

木块不发生翻倒的条件是。

取，则当F≤F0时，木块能保持平衡。

习题

2-1 平面任意力系平衡方程的独立方程数最多是多少？可以有哪几种形式？这些形式的方程组各有什么要求？若不满足这些要求，则会出现什么结果？

2-2 空间汇交力系、空间平行力系、空间力偶系最多各有几个独立的平衡方程？空间汇交力系的平衡方程一定不能有力矩形式吗？

2-3 有人认为任何物体系统平衡的充要条件是：作用于该物体系统上的所有外力主矢FR=0和对一点O的主矩MO=0。你认为正确吗？为什么？

2-4 图示F1，F2，…，Fn为一平面力系，则下列平衡方程中相互独立的平衡方程有________。

（a）∑Fy=0，∑MA=0，∑MB=0

（b）∑Fx=0，∑Fy=0，∑MO=0

（c）∑MA=0，∑MB=0，∑MO=0

（d）∑MA=0，∑MB=0，∑MC=0

（e）∑MA=0，∑MB=0，∑Fx=0

2-5 图示结构受三个已知力作用，分别汇交于点B和点C，有___________。

（a）FA=0，FD不一定为零

（b）FD=0，FA不一定为零

（c）FA=0，FD=0

（d）FA、FD均不一定为零

2-6 一刚体只有两力FA、FB作用，且FA+FB=0，则此刚体________；一刚体只有两力偶MA、MB作用，且MA+MB=0，则此刚体_________。

（a）一定平衡

（b）不一定平衡

（c）平衡与否不能判定

2-7 图示平衡问题中，静定的有________，静不定（超静定）的有_________。

2-8 机器起吊时若应用两个吊环螺钉，通常规定起吊角α不超过90°，这是为什么？

2-9 试举出日常生活中三个以上摩擦自锁的例子。

2-10 如图所示，物体重W，放在倾角为α的粗糙斜面上，受方向与底边AB平行的力F作用，物体处于平衡状态，试确定物体受的摩擦力的方向。

2-11 在图示系统中，不计杆的重量和接触处摩擦，试求各支座的约束力。

2-1 2如图所示，梁AB上铺设有起重机轨道，起重机重G 1=50 k N时，重物G=10 k N，梁重（包括轨道）G2=30kN。试求重物和起重机在图示位置时，支座A、B的约束力。

2-13 如图所示，无底的圆柱体空筒放在光滑的固定水平面上。内放两重球，其重均为G，半径为r，且，圆筒的半径为R，不计球与球之间，球与筒之间的摩擦及筒的厚度，试求圆筒不致翻倒的最小重量。

2-14 重为G=1.8kN的重物悬挂如图所示。其他重量不计，R=10cm，试求铰链A的约束力及杆BC所受的力。

2-15 在图示系统中，忽略各杆的重量，试求各支座的约束力。

2-16 图示均质杆OA重P，长l，放在宽度为的光滑槽内。试求杆在平衡时的水平倾角α。

2-17 如图所示，两根重量均为P、长度均为l的均质杆光滑铰接置于铅垂平面内，若在B端作用一大小为F的水平力，系统处于平衡状态，试求角φ和ψ的值。

2-18 图示平面结构由杆OA、AC、BD和BE在连接处相互铰接而成，已知F=2qa，M=qa2，若不计自重和摩擦，试求固定端O和活动铰支座B的约束力。

2-1 9 挂在空间物架上的重物重为G=1000 N，物架三杆用光滑球铰相连。已知BOC为水平面，且△BOC为等腰直角三角形，杆AO的位置如图所示。试求三杆所受力。

2-20 图示长方形均质薄板重P=200N，用球铰链A和蝶形铰链B固定在墙上，并用绳CE维持在水平位置。试求绳子拉力及支承约束力。（注意：这里的蝶形铰约束相当于轴心为y轴的轴承，只有两个约束力分量。）

2-21 图示重量为P、长为l的均质直杆AB用两根与杆等长的相互平行的绳索DA和EB（质量不计）挂在水平天花板上。现在杆上作用一主动力偶，其力偶矩M的方向垂直向上，试求平衡时杆转过的角度及绳索拉力的大小。

2-22 长2b、宽b的均质矩形板ABCD重量为W，由6根光滑铰接的二力杆支承在水平位置，受集中力F的作用，如图所示，不计杆的重量，试求各支承杆的内力。

2-23 组合结构其载荷和尺寸（单位：m），如图所示。试求各支座约束力和1、2、3、4、5各杆的内力。

2-24 平面桁架的载荷和尺寸如图所示。试先用节点法求各杆内力，然后用截面法校核杆2、3、4的内力。

2-25 平面桁架的载荷和尺寸如图所示，试求杆1、2、3的内力。

2-26 平面桁架的载荷和尺寸如图所示，其中ABCDE H为正八角形的一半，试求杆1、2、和3的内力。

2-27 重为G的物体放在倾角为α的斜面上，物体与斜面间的静摩擦因数为fs，且tan＞fs，如物体上作用一力F，方向与斜面平行。试求能使物体相对斜面不产生滑动时，F的大小应等于多少？

2-28 如图所示，在轴上作用一力偶矩为M=1000N·m的力偶，已知制动轮与制动块之间的摩擦因数fs=0．25，r=0．25m，试问制动时，制动块对制动轮的最小压力应等于多大？

2-29 如图所示，欲转动放于V形槽的棒料，需作用力偶矩为M的力偶。已知其最小值为15N·m，棒料重为400N，直径为25cm，试求棒料与槽的摩擦因数fs。

2-30 有人水平地执持一叠书，他用手在这叠书的两端加压力F=225N，如图所示。假设每本书的质量为0．95kg，手与书之间的摩擦因数为0．45，书与书之间的摩擦因数为0．40。试求可能执书的最大数目。

2-31 某人骑自行车以匀速上一坡度为0．05的斜坡，如图所示。人与自行车的总重量为820N，重心在点G。若不计前轮摩擦，且后轮处于滑动的临界状态，试求后轮与路面的静摩擦因数为多大？若静摩擦因数加倍，加在后轮上的摩擦力为多大？为什么可忽略前轮的摩擦力？

2-32 如图所示，轧机的两个轧辊直径均为d=500mm，辊面间开度为a=5mm，两轧辊绕它们的中心转动的转向相反，已知烧红的钢板与轧辊的摩擦因数fs=0．1，试问能轧制的钢板厚度b是多少？