1.4 光在介质分界面上的反射和折射

电磁波从一种介质传播到另一种介质，在分界面上其电磁场量是不连续的。但它们的边值之间仍存在一定的关系，通常把这种关系称为电磁场的边值关系，其中有两个重要的关系为

和

式中，n为界面法线单位矢量。以上两式表明，光波通过介质1和介质2的界面时，界面两边的电场强度和磁场强度的切向（沿界面）分量相等。下面根据这两个边值关系来研究平面光波在两介质分界面上的反射和折射问题。

1.4.1 反射定律和折射定律

反射定律和折射定律是我们熟知的。当一个单色平面光波射到两种不同介质的分界面上时，一般情形下将分成两个波：一个反射波和一个折射波。从上述两个边值关系可以说明两个波的存在，并导出反射和折射定律。

设介质1和介质2的分界面为无穷大平面，单色平面波从介质1射到分界面上（图1.11）。入射平面波在界面上产生的反射波和折射波也应该为平面波。设入射波、反射波和折射波的波矢分别为 k1、 和 k2，角频率分别为ω1， 和ω2，那么三个波可表示为

式中，位置矢量r的原点可选取分界面上某点O；此外，由于三个波的初位相可以不同，故振幅A1， 和A2 一般都是复数。由边值关系，即式（1.4-1），并注意到介质1中的电场强度是入射波和反射波的电场强度之和，得到

将式（1.4-3）中E1， 和E2 的波函数代入上式，有

上式对任何时刻t都成立，这就要求式中各项t的系数相等，即

表明入射波、反射波和折射波的频率必须相等。又由于式（1.4-4）对整个界面上的位置矢量r都成立，所以在界面上有

或写成

和

由于它们对分界面上任意的位置矢量r都成立，故（）和（k1 -k2）与界面垂直，即与界面法线平行。这就是说，k1， 和k2 共面，同在入射面内。这是反射定律和折射定律的第一个内容。

下面再确定反射波和折射波波矢的方向。如图1.11所示，设入射角、反射角和折射角分别为θ1、 和θ2，在介质1和介质2中光波的传播速度分别为v1 和v2，则有

和 k2 =ω/v2

因而由式（1.4-7），得到

或

即反射角等于入射角。这是反射定律的第二个内容。

再由式（1.4-8），可得

也可写成

或

式中，n1 和n2 分别是介质1和介质2的折射率。这是折射定律的第二个内容。

1.4.2 菲涅耳公式

下面进一步导出表示反射光、折射光与入射光振幅和位相关系的菲涅耳公式。

对于电矢量E1 垂直入射面和平行于入射面的入射平面波，其反射光和折射光的振幅和位相关系并不相同，所以有必要对这两种情形分别予以讨论。自然，入射光的电矢量E1可以在垂直于传播方向的平面内取任意方向，但是总可以把E1 分解为垂直于入射面的分量E1s和平行于入射面的分量E1p（图1.12），这就是说，可以把入射光分解为电矢量垂直于入射面和平行于入射面的s波和p波，然后分别予以讨论。此外，由于我们的讨论涉及反射波和折射波的位相，所以还有必要规定s波和p波电矢量的“正”向和“负”向。我们规定Es的正向沿y轴方向，即与图面垂直并指向读者；Ep的正向如图中所示。不用说，这只是一种约定，实际上Es和Ep的正向可选为上述方向，也可选为与之相反的方向而不会影响结果的普遍性。

1. s波的反射系数和透射系数

当入射平面波是电矢量垂直于入射面的s波时，电矢量的正向和相联系的磁矢量的方向如图1.13所示。假定在界面处入射波、反射波和折射波同时取正向或负向，或者说三个波同相，则根据边值关系，即式（1.4.1）和式（1.4.2），应有

和

由式（1.2-14）、式（1.1-8）和μ≈μ0，得到

因此，式（1.4-12）可写为

或

将式（1.4-3）代入式（1.4-11）和上式，注意各指数项相等并利用折射定律，便可得到

和

由以上两式可求出反射波和入射波的振幅比

以及折射波和入射波的振幅比

rs和ts分别称为s波的反射系数和透射系数，而以上两式就是关于s波的菲涅耳公式。

2. p波的反射系数和透射系数

p波的电矢量的正向和相联系的磁矢量的方向如图1.14所示。设在界面处入射波、反射波和折射波同时取正向或负向，因而由边值关系式（1.4.1）和式（1.4.2），可得

和

利用式（1.2-14），可把式（1.4-16）用电场表示为

再用折射定律把上式写为

将式（1.4-3）代入式（1.4-15）和上式分别得到

和

由以上两式可求得反射波与入射波的振幅比

和折射波与入射波的振幅比

rp和tp分别称为p波的反射系数和透射系数，式（1.4-17）和式（1.4-18）则是对于p波的菲涅耳公式。

总括起来，菲涅耳公式包括式（1.4-13）、式（1.4-14）、式（1.4-17）和式（1.4-18）。在正入射或入射角很小时（这时tanθ≈sinθ≈θ，，其中n=n2/n1 为相对折射率），容易证明菲涅耳公式有如下简单形式：

1.4.3 菲涅耳公式的讨论

下面分别对n1 ＜n2（光从光疏介质射到光密介质）和n1 ＞n2（光从光密介质射到光疏介质）两种情况进行讨论。

1. n1 ＜n2

设n1 =1，n2 =1.5（如最常见的光从空气射向玻璃），这时根据菲涅耳公式画出的rs，rp，ts和tp随入射角θ1 的变化曲线如图1.15所示。由图可见，ts 和tp 相差不大，并都随入射角θ1的增大而减小。当θ1 =0°时，ts和tp均等于0.8；当θ1 =90°时，ts和tp等于零，没有折射光波。对于反射光波，当θ1 =0°时，rs 和rp 等于0.2；而当θ1 增大时，rp 先随θ1 的增大而减小，至入射角θ1 满足θ1 +θ2 =90°时（这时θ1 记为θB），rp=0。经过θB后，rp 随θ1 增大而增大，当θ1 =90°时，rp =1。rs 则随θ1 的增大而单调地从0.2增大到1。

菲涅耳公式不仅给出了反射光和折射光的振幅随入射角的变化关系，也给出了反射光和折射光与入射光的位相关系。由图1.15可以看出，不管θ1 为何值，rs总是负的，即与A1s总是异号。因此，在界面上和E1s应取相反方向，当E1s在入射光中取正方向时，在反射光中取负方向，反之亦然。这表示对于s波，在界面上反射光振动相对于入射光振动总有π的位相跃变。对于 rp，情况稍复杂一些。当θ1 +θ2 ＜90°时，rp 为正；而当 θ1 +θ2 ＞90°时，rp 为负。前一情形表示在界面上p波的和在反射光和入射光中同取正方向或负方向，后一情形表示和E1p分别取正（负）方向和负（正）方向。当θ1 +θ2 =90°时，rp =0，表示这时p波没有反射，全部透入介质2。

图1.16绘出了在三种不同入射角下在分界面反射时电矢量的取向情况。这里设入射平面波的电矢量为E1，反射光电矢量 的准确取向应根据菲涅耳公式计算出和来决定（参阅例题1.3），图中 是示意画出的。由图1.16不难看出，在入射角很小和入射角接近90°（掠入射）两种情形下，和E1s，和E1p的方向都正好相反（尽管在入射角很小时，形式上有rp＞0），这表示在上述两种情形下，s波和p波在界面上反射时其电矢量的方向都发生突然的反向，或者说振动的位相突然改变π。由此可以得出结论：当平面波在接近正入射或掠入射下从光疏介质与光密介质的分界面反射时，反射光振动相对于入射光振动发生了π的位相跃变。这一结论在讨论光的干涉现象时极为重要。通常，我们把反射时发生的π位相跃变称为“半波损失”，意即反射时损失了半个波长。

对于平面波在一般斜入射的情形，由图1.16可以看出，反射光和入射光p波的电矢量成一定的角度，这时讨论它们的位相差没有什么意义。

2. n1 ＞n2

再看平面波从光密介质入射到光疏介质（n1 ＞n2）的情况。设n1 =1.5，n2 =1，根据菲涅耳公式画出的rs，rp，ts 和 tp 随入射角 θ1 的变化关系如图1.17所示。与n1 ＜n2 的情况（图1.15）比较，有两点值得注意：

（1）入射角θ1≥θC 时（θC 为θ2 =90°时对应的入射角，即全反射临界角），rs 和rp 变为复数，但模值为1，这表示发生了全反射现象（见下节）；

（2）在θ1 ＜θC时，关于rs和rp的正负号的结论将与n1 ＜n2 的情况得到的结论相反，因而在n1 ＞n2的情况下反射光在界面上不会发生位相跃变。

上面主要讨论了反射波。对于折射波，在n1 ＜n2 和n1 ＞n2 两种情况下，透射系数ts 和tp 都大于零，透射时s波和p波的电矢量取向都不会突然反向，因而不会有π的位相跃变。

1.4.4 反射率和透射率

由菲涅耳公式还可以得到入射波、反射波和折射波的能量关系。我们知道，平面波的光强度由下式给出[见式（1.3-8）]：

它表示单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的能量。如果把入射波的强度记为I1，则每秒入射到分界面单位面积上的能量为（参考图1.18）

而反射波和折射波每秒从分界面单位面积带走的能量为

式中，和I2 分别为反射波和折射波的强度。因此在分界面上反射波、折射波与入射波的能量流之比为

式（1.4-24）中利用了μ1 =μ2 的关系，R和T分别称为反射率和透射率。根据能量守恒定律，应有

将菲涅耳公式代入式（1.4-23）和式（1.4-24），可得到s波的反射率和透射率的表达式

p波的反射率和透射率的表达式为

同样应有

通常遇到入射光为自然光的情况，这时可以把自然光分成s波和p波，它们的能量相等，都等于自然光能量的一半，即

因此自然光的反射率为

将式（1.4-26）和式（1.4-28）代入上式，得到自然光反射率随入射角变化的关系

图1.19给出了光在空气和玻璃界面（n1 =1，n2 =1.52）反射时Rs，Rp，Rn 随入射角变化的曲线。可见，自然光在θ1 ＜45°时其反射率几乎不变，约等于正入射时的反射率；而正入射时自然光的反射率为

在n1 =1，n2 =1.52的情形下，Rn =0.043，即约有4%的光能量在界面上反射。对于一些结构复杂的光学系统，即使是近于正入射下入射的，但由于反射面过多，光能量的反射损失也是相当严重的。例如，一个包含6块透镜的系统，反射面共有12面；假定透镜的折射率同为1.52，光在各面的入射角都很小，则透过该系统的光能量为

W2 =（1-0.043）12 W1 =0.59W1

即由于反射损失了41%的能量。现代的变焦距物镜有10多个透镜，光能的反射损失将非常严重。为了减少光能的反射损失，近代光学技术普遍采用在光学元件表面镀增透膜的方法。有关它的原理，将在第2章里讨论。

例题1.2 一光束入射到空气和火石玻璃（n1 =1，n1 =1.7）界面，问在什么角度下入射恰可使电矢量平行于入射面分量（p波）的反射系数rp=0？

解 根据菲涅耳公式

当rp=0时，θ1 +θ2 =π/2。记这时的θ1 为θB，因此

θB+θ2 =π/2

或者

由折射定律

故tanθB=n2/n1 =1.7

求得 θB=59°32′

这时的入射角称为布儒斯特角。光束在这一角度下入射到界面，反射光的电矢量没有平行于入射面的分量。如果入射光是自然光，反射光则变为偏振光，其电矢量的振动垂直于入射面。

例题1.3 电矢量振动方向与入射面成45°的偏振光入射到两种介质的分界面，介质1和介质2的折射率分别为n1 =1，n2 =1.5。问入射角θ1 =60°时反射光中电矢量与入射面所成角度是多少？

解 当θ1 =60°时，由折射定律有

因此，反射光电矢量的振动方向与入射面所成的角度为（参见图1.16（c））