1.2 信号的基本概念

1.2.1 信号的定义

按照《现代汉语词典》的定义，信号是“用来传递信息或命令的光、电波、声音、动作等”。这是对各种各样信号的一般性定义，而电信号的定义是：电信号是“电路中用来控制其他部分的电流、电压或无线电发射机发射出的电波”。

物质的一切运动或形态的变化，广义地说都是一种信号（signal），即信号是物质运动的表现形式。例如，在我国古代烽火台上的烽火与狼烟这个信号，是来传递敌军入侵这个消息的。也就是说，信号是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容。

信号有千万种，例如，机械运动产生力信号、位移信号及噪声信号；雷电过程产生声、光信号；大脑、心脏运动分别产生脑电和心电信号；电气系统随参数变化产生电磁信号等。

在通信过程中，通过各种消息的传递，使受信者获取各种不同的信息（information）。信息作为一个科学术语被提出和使用，可追溯到1928年R.V.Hartly在《信息传输》一文中的描述。他认为：信息是指有新内容、新知识的消息。而关于“信息”一词，有多种定义。1948年，C.E.Shannon博士在《通信的数学理论》中给出信息的数学定义，认为信息是用以消除随机不确定性的东西（信息是肯定性的确认，确定性的增加）。1956年，英国学者Ashby提出“信息是集合的变异度”。1975年，意大利学者G.Longo在《信息论：心得趋势与未决问题》指出：信息是反映事物构成、关系和差别的东西，它包含在事物的差异之中，而不在事物的本身；等等。可见，至今为止，信息的概念仍然仁者见仁、智者见智。

所以，一般地说，信息是指具有新内容、新知识的消息，是排除消息中那些不确定性的东西，它既不是物质，也不是能量，但它也必须依附于物质，依附于能量。

通常，传送消息的信号形式是随时间变化的。如温度信号、压力信号、光信号、电信号等，它们反映的事物在不同时刻的变化状态，把这类信号统称为时间信号。

由于电信号处理起来比较方便，所以工程上常把非电信号通过传感器转变为电信号进行传输。基于电信号的重要性，本书仅研究电信号，并把它简称为信号。

由于飞机的航向、速度、高度等随时间发生变化，雷达所接收到的有关飞机的信号也就随时间而变化。作为物理过程的信号，我们可以借助示波器或其他测试仪表来进行观察与记录。但这种实验的方法有其固有的局限性，即所得到的结果往往只是局部的、个别的，缺乏普适性。因此，为了对信号进行分析与研究，必须使用语言来对信号进行描述，或者说，建立信号的数学模型。

数学上，信号可表示为一个或多个自变量的函数。一般模拟信号表示为时间t的函数f（t），离散信号表示为序号k的函数f（k）。函数的图形则称为信号的波形。在叙述上，常常将“信号”与“函数”不加区分地互相混用。

在电系统中，信号的两种主要形式是电压信号和电流信号，可分别用时间函数u（t）和i（t）表示。若u（t）和i（t）表示输入信号，一般记为f（t）；若u（t）和i（t）表示输出信号，一般记为y（t）。

1.2.2 信号的分类

按照信号的不同性质与数学特征，可以有多种不同的分类方法。例如，按照信号的物理特性，可以分为光信号、电信号等；按照信号的用途，可以分为雷达信号、电视信号、通信信号等；按照信号的数学对称性，可以分为奇信号、偶信号、非对称信号等；从能量的角度出发，可以分为功率信号与能量信号；从信号的特征出发，可以分为模拟信号与离散信号、确定信号与随机信号、周期信号与非周期信号，等等。基于信号特征的分类方法是我们在信号分析中最常用到的。

1.确定信号与随机信号

对于任意的确定时刻都有确定的函数值相对应，这样的函数称为确定函数。凡是可以用确定函数加以描述的信号，称为确定信号。

例如，对于一个正弦信号来说，只要给出一个确定的时间点t0，就可以得到一个确定的函数值sinωt0。可见，正弦信号是一个确定信号。

但是，实际传输的信号往往具有未可预知的不确定性。这种信号称为不确定信号，或随机信号。如果通信系统中传输的信号都是确定信号，接收者就不可能由它得到任何新的信号，从而失去了可通信的意义。所以对接收者而言，它所接收到的有用信号都是不确定信号。

信息是信息论中的一个专用词。它是消息（如命令、光、电波、声音、动作等）的一种量度，即消息中有意义的内容。在本书中消息、信息未加区分。

此外，在信号的传输过程中，不可避免地要受到各种干扰和噪声的影响，这些干扰和噪声都具有随机特性。可见，严格意义上的确定信号实际上是不存在的，因此，随机信号的研究具有极为重要的实际意义。

对于随机信号，不能用确定的实际函数来加以描述，只可能知道它在某一时刻取某一函数值的概率。

本书只讨论确定信号，但应该指出的是，随机信号及其通过系统的研究是以本书所讨论的确定信号通过系统的理论为基础的。

图1.1给出了几种信号波形，其中图1.1（a）～图1.1（e）所示信号为确定信号，图1.1（f）为随机信号。

2.模拟信号与数字信号

一个信号，若在某个时间区间内，除有限个间断点外的所有瞬时都有确定的值，就称这个信号为在该区间内的连续时间信号，又称模拟信号。

我们所熟悉的正弦信号，其表达式为

f（t）=sinωt

显然，在时间区间-∞＜t＜∞内，它没有任何间断点，且在任意的确定时刻t0，都有确定的函数值sinωt0。可见，正弦信号满足上述定义，因而是一个模拟信号。

一个信号，如果只是在离散的时间瞬间才有确定的值，就称为离散时间信号，简称离散信号。

将上述正弦信号通过一个开关，这个开关每隔时间T就合上，瞬间后又断开，就得到一个离散信号

f（k）=f（kT）=sinωkT，k=0，±1，±2，…

如图1.2所示。

随着电子计算机的飞速发展与普及使用，以及对模拟时间信号进行抽样的各种技术与元器件的发展，离散信号与系统的分析具有越来越重要的地位。

应该指出，尽管模拟信号的自变量是连续变化的，而离散信号的自变量是离散取值的，但它们的函数值都是连续变化的。我们称自变量（例如时间t）与函数值都连续变化的信号为模拟信号。

一个信号，如果不仅自变量（例如时间t）的取值是离散的，其函数值也是“量化”（离散）的，则这种信号就称为数字信号。例如，某个数字信号如图1.3所示。

所谓“量化”，就是把经过抽样得到的瞬时值将其幅度离散，即用一组规定的电平，把瞬时抽样值用最接近的电平值来表示。也就是说，在信号处理中，将连续的信号取值离散化为有限多个取值的过程。

数字信号与一般的离散信号在数学模型与分析方法上并无原则区别，实际上，我们在讨论中对它们不再区分，统称为数字信号。

3.周期信号与非周期信号

无始无终地重复着某一变化规律的信号，称为周期信号。

用数学语言来描述，周期信号f（t）必定满足

使上式得以成立的最小的T值，称为f（t）的周期。也就是说，经过一个周期T，f（t）的取值就重复一次。

图1.4是两个周期信号的例子，它们都满足式（1.1）。其中

f1（t）=sinωt

容易看出，它的周期是T=2π/ω。不满足式（1.1）的信号是非周期信号。

图1.5是三个非周期信号的例子，它们都不满足式（1.1）。其中，f1（t）是有始无终的，f2（t）无论经过多长的时间都不再会重复区间内信号的规律，而f3（t）则完全无规律可言。

1.2.3 信号的频谱

当周期信号分解为傅里叶级数后，得到直流分量和无穷多个谐波分量之和，从而可在频域内方便地予以比较。为了直观地反映周期信号中各频率分量的分布情况，可将其各频率分量的幅值和初相位随频率变化的关系用图形表示出来，这就是信号的频谱图（也称频谱、频率特性或频率响应）。频谱包括幅值频谱和相位频谱两种，前者表示谐波分量的振幅An随频率变化的关系；后者表示谐波分量的初相位φn随频率变化的关系。

除周期信号外，在自然界和各种工程技术领域中还广泛地存在着非周期信号。例如，放射性信号随时间的衰变呈指数规律；汽车点火装置产生的电火花是一种脉冲信号；振荡器的频率漂移几乎随时间呈线性增长等。人们天天打交道的语音信号也是非周期的。傅里叶本人在提出他的著名论断“周期信号可表示为成谐波关系的三角函数之加权和”以后，曾致力于非周期信号的分解。研究非周期信号频谱的数学工具是傅里叶变换。

1.周期信号的频谱

通过一个例子来分析周期信号的频谱。

例1.1 把图1.6所示周期性矩形波展开成正弦形式的傅里叶级数，并讨论它的频谱特性。

解 傅里叶级数计算如下：

所以有

由上述结果画出的周期性矩形波的幅值频谱和相位频谱如图1.7所示。

频谱图上相应各谐波分量的竖线称为谱线，其位置nω0即为该次谐波的角频率，每根谱线的高度即为该次谐波的振幅（或相位）值。从图1.7可以看出周期信号的频谱具有下列几个特点。

（1）离散性

如图1.7所示，周期信号的频谱由基频ω0为间隔的若干离散谱线组成，其分布情况取决于信号的波形，这样的频谱称为离散频谱。图中的虚线是通过各条谱线端点的连线，称为频谱包络线。

（2）谐波性

周期信号中两谱线间的距离正好是基波角频率ω0，在任何两个相邻谱线中间不可能出现非整倍数ω0分量。信号频谱的疏密程度与信号基波周期（或基波角频率）有关。信号基波周期越长（ω0越小），谱线越密，反之越疏。当信号基波周期趋向无穷大，则频谱间隔趋向无穷小，最后当信号成为非周期信号时，其频谱就成为连续频谱，这是下一节要讨论的内容。

（3）收敛性

频谱中谱线的高度随谐波次数的增大而逐渐减小。当谐波次数无限增大时，谐波分量的幅值无限减小。

上述周期信号频谱的三个特点，虽然是通过具体信号得出的，但周期信号频谱都具有这些特点。在实际工程中，信号的幅值频谱可用频谱分析议直接测量得到。

2.非周期信号的频谱

下面通过一个例子来分析非周期信号的频谱。

例1.2 实指数信号如图1.8（a）所示，其函数表达式为

f（t）=e-atε（t），a＞0

求其频谱。

解 实指数信号的傅里叶变换为

即

其幅值频谱为

相位频谱为

绘制的幅值频谱和相位频谱如图1.8（b）所示。从图中可以看出：当ω=0时，幅值为1/a，且为最大值，信号主要能量集中在坐标原点附近；相位频谱在之间变化。可见，非周期信号的频谱特点是：幅值频谱和相位频谱都是连续的。