1.1 计算机中的信息及表示

计算机是能够对输入的信息进行加工处理、存储并能按要求输出结果的电子设备，又称电脑或信息处理机。计算机中处理的信息，主要有数值信息和非数值信息两大类。数值信息是指日常生活中接触到的数字类数据，主要用来表示数量的多少，可以比较大小；非数值信息有多种，有用来表示文字信息的字符数据，也有用来表示图形、图像和声音等其他信息的数据。不同的信息在计算机中的表示形式不一样。从计算机内部角度来说，由于计算机内部只能识别二进制数，因此所有信息在计算机内都通过二进制编码表示。

1.1.1 数在计算机内的表示

计算机中的数通常有两种：无符号数和有符号数。两种数在计算机中的表示是不一样的。

1.无符号数在计算机内的表示

无符号数不带符号，表示时比较简单，在计算机中一般直接用二进制数的形式表示，位数不足时前面加0补充。对一个n位二进制数，它能表示的无符号数的范围是0～2n-1。例如，假设机器字长8位，无符号数156在计算机中表示是10011100B，45在计算机中表示是00101101B。

2.有符号数在计算机内的表示

有符号数带有正负号。数学上用正负号来表示数的正负。由于计算机只能识别二进制符号，不能识别正负号，因此计算机中只能将正、负号数字化，用二进制符号表示。在计算机中表示有符号数时，一般用二进制数的最高位来表示符号，正数表示为0，负数表示为1，称为符号位；其余位用来表示有符号数的数值大小，称为数值位。通常，把一个数及其符号位在计算机中的二进制数的表示形式称为“机器数”。机器数所表示的值称为该机器数的“真值”。机器数的表示如图1.1所示。

机器数通常有3种表示方法：原码表示法、反码表示法和补码表示法。为了运算方便，计算机中通常用补码表示。为了研究补码表示法，首先了解原码表示法和反码表示法。

（1）原码

原码表示方法如下：最高位为符号位，用0表示正数，用1表示负数，数值位用数的绝对值表示，数值位如位数不足前面加0填充。由于正数的符号位为0，因而正数的原码表示与相应的无符号数的表示相同。原码的表示如图1.2所示。

【例1-1】 求+78、-23的原码（设机器字长8位）。

因为

|+78|=78=1001110B

|-23|=23=10111B

所以

[+78]原=01001110B

[-23]原=10010111B

原码表示时，如果机器字长为n位二进制数，其原码表示的有符号数范围为-（2n-1-1）～+（2n-1-1）。例如，如果机器字长为8位二进制数，则表示的有符号数范围为-127～+127。

另外，“0”的原码表示有两个，-0和+0的编码不一样。假设机器字长为8位，-0的编码为10000000B，+0的编码为00000000B。

原码表示简单直观，且与真值的转换很方便，但不便于在计算机中进行加减运算，运算时符号位与数值位必须分开处理。两数相加时，必须先判断两个数的符号是否相同。如果相同，则符号位不变，对数值位相加得结果数值位；如果符号位不同，则应将数值位相减，数值位相减时，必须比较两数的数值位大小，再由大数减小数得结果的数值位，而结果的符号位要和数值位大的数的符号位一致。两数相减时情况类似。按上述运算方法设计的运算电路很复杂。为运算方便，后来计算机中引入了反码表示和补码表示。

（2）反码

反码是在原码的基础上发展而来的，反码表示方法如下：最高位为符号位，用0表示正数，用1表示负数，对于数值位，正数的反码数值位与原码相同，而负数的反码数值位由原码的数值位取反得到。反码的表示如图1.3所示。

【例1-2】 求+78、-23的反码（设机器字长8位）。

因为

[+78]原=01001110B

[-23]原=10010111B

所以

[+78]反=01001110B

[-23]反=11101000B

反码的表示范围与原码相同，如果机器字长为n位二进制数，则反码表示的有符号数范围为-（2n-1-1）～+（2n-1-1）。例如，如果机器字长为8位二进制数，则表示的有符号数范围为-127～+127。

另外，“0”的反码表示也有两个。假设机器字长为8位，-0的反码编码为11111111B，+0的反码编码为00000000B。

反码表示时，数的运算也不方便，也存在与原码相同的问题，因而，反码在计算机中用得很少，很快就被补码表示方法所替代。

（3）补码

补码表示时，数的加减运算非常简单、方便，因而现在的计算机有符号数都用补码表示。补码表示如下：最高位为符号位，正数用0表示，负数用1表示。正数的补码与原码、反码相同，而负数的补码可在反码的基础之上，末位加1得到。对于一个负数X，其补码也可用2n-|X|得到，其中n为计算机字长。补码的表示如图1.4所示。

【例1-3】 求+78、-23的补码（设机器字长8位）。

因为

[+78]反=01001110B

[-23]反=11101000B

所以

[+78]补=01001110B

[-23]补=11101000B+1=11101001B

补码表示时，这里再介绍一种比较重要的运算：求补运算。

求补运算：一个二进制数，符号位和数值位一起取反，末位加1。加1时可能向前面依次产生进位，最高位产生的进位自然丢失。

求补运算具有以下特点：对于一个任意的数X

那么，在计算机中，如果已知一个正数的补码，则可通过求补运算求得对应负数的补码；如果已知一个负数的补码，相应也可通过求补运算求得对应正数的补码。也就是说，在用补码表示时，求补运算可得到数的相反数。由于正数的补码简单，很容易计算，因而它给我们提供了另外一种计算负数补码的方法，先计算出正数的补码，再用求补运算。另外，负数的补码转换成真值不方便，我们也可以通过先计算出相应的正数来得到。

【例1-4】 用求补运算计算-25的补码（设机器字长8位）。

因为 [+23]补=00010111

所以 [-23]补=[[+23]补]求补=11101000+1=11101001B

补码表示时，如果机器字长为n位二进制数，则补码表示的有符号数范围为-（2n-1-1）～+（2n-1-1）。例如，如果机器字长为8位二进制数，则表示的有符号数范围为-128～+127。-0和+0的补码是相同的，假设机器字长为8位，则0的补码为00000000B。

（4）补码的加减运算

在现在的计算机中，有符号数的表示都用补码表示，用补码表示时运算简单。

补码的加、减法运算规则如下：

[X+Y]补=[X]补+[Y]补

[X-Y]补=[X]补+[-Y]补=[X]补+[[Y]补]求补

即：求两个数之和的补码，直接用两个数的补码相加；求两个数之差的补码，用被减数的补码加减数的相反数的补码（[-Y]补），对于[-Y]补用[Y]补求补运算就可以得到，也就是说，减法运算可通过加法和求补运算来处理，下面通过例子来看看补码的加减运算。

【例1-5】 假设计算机字长为8位，完成下列补码运算。

（1）（+78）+（+23）

因为 [+78]补=01001110B，[+23]补=00010111B

所以 [（+78）+（+23）]补=[+78]补+[+23]补=01100101B=[+101]补

（2）（+78）+（-23）

因为 [+78]补=01001110B，[-23]补=11101001B

所以 [（+78）+（-23）]补=[+78]补+[-23]补=00110111B=[+55]补

（3）（+78）-（+23）

因为 [+78]补=01001110B，[+23]补=00010111B[[+23]补]求补==11101000+1=11101001B

所以 [（+78）-（+23）]补=[+78]补+[[+23]补]求补=00110111B=[+55]补

（4）（+78）-（-23）

因为 [+78]补=01001110B，[-23]补=11101001B[[-23]补]求补=00010110+1=00010111B

所以 [（+78）-（-23）]补=[+78]补+[[-23]补]求补=01100101B=[+101]补

从以上可以看出，通过补码进行加减运算非常方便，减法可转换成加法和求补运算，得到正确的结果。

3.十进制数在计算机内的表示

人们在日常生活中习惯使用十进制数，但计算机内部只能处理二进制数，为了处理方便，在计算机中，对于十进制数也提供了相应的二进制编码形式。

在计算机中，十进制数的二进制编码称为BCD码。BCD码有两种：压缩BCD码和非压缩BCD码。压缩BCD码又称8421码，用4位二进制编码来表示一位十进制符号。十进制数符号有0～9共10个，它们的压缩BCD码如表1.1所示。

表1.1 压缩BCD编码表

用压缩BCD码表示十进制数，只要把每个十进制符号用对应的4位二进制编码代替即可。例如，十进制数54的压缩BCD码为01010100。

非压缩BCD码是用8位二进制编码来表示一位十进制符号，其中低4位二进制编码与压缩BCD码相同，高4位任取。下面介绍的数字符号的ASCII码就是一种非压缩的BCD码。例如，十进制数24的非压缩BCD码为0011001000110100。

当运算的两个数是十进制BCD码表示形式时，我们希望运算的结果也是十进制BCD码表示形式。但在计算机内部并不能直接按十进制关系进行运算，只能按二进制关系进行运算，这样计算机运算时有时候结果正确，有时候结果又不正确。例如，0100（4）+0011（3）=0111（7），结果正确，而0100（4）+1000（8）=1100，结果显然不对，在压缩的BCD码中根本没有1100的编码，而正确的结果应该是00010010。怎样解决这个问题呢？在计算机中，通常通过对运算结果进行调整的方法来处理，通过对运算结果进行调整使之符合十进制数的运算和进位规律。这种调整称为十进制调整，不同的运算调整方法不同，对于两位十进制压缩BCD码加法调整过程如下：

①若加得结果的低4位为十六进制数A～F或低4位向前有进位，则低4位的内容做加0110（6）调整；

②若加得结果的高4位为十六进制数A～F或高4位向前有进位，则高4位的内容做加0110（6）调整。

【例1-6】 用压缩BCD码完成58+69的运算。

解：

58的压缩BCD码为01011000

69的压缩BCD码为01101001

运算结果做了两次调整，低4位加时向前面产生了进位，所以先对低4位做加0110（6）调整，高4位的结果为十六进制数C，所以再对高4位做加0110（6）调整。两次调整后得到正确的结果000100100111（127）。

1.1.2 字符在计算机内的表示

计算机中处理的非数值信息，最重要的就是西文字符，西文字符包括字母、数字、专用字符及一些控制字符等，它们在计算机中也通过二进制编码表示，现在计算机中西文字符的编码通常采用的是美国信息交换标准代码ASCII码（American Standard Code for Information Interchange）。标准ASCII码定义了128个字符，用7位二进制数来编码，包括26个英文大写字母A～Z，26个英文小写字母a～z、10个数字符号0～9，还有一些专用符号（如“：”、“！”、“%”）及控制符号（如换行、换页、回车等）。计算机中一般以字节为单位，而8位二进制数为1字节，西文字符ASCII码通常放在低7位，高位一般补0，在通信时，最高位常用作奇偶校验位。常用西文字符的ASCII码如表1.2所示。

表1.2 常用字符的ASCII码（用十六进制数表示）

表1.2中，数字0～9的ASCII码为30H～39H，大写字母A～Z的ASCII码为41H～5AH，小写字母a～z的ASCII码为61H～7AH。常用的控制符如回车键的ASCII码为0DH（表中用CR表示），换行键的ASCII码为0AH（表中用LF表示），空格键的ASCII码为20H（表中用SP表示）等。