2.2 材料媒质中的波动方程及其解
导体的特点在于传导电流，电介质的特点在于极化电流，而磁性材料的特点在于磁化电流。传导电流密度和电场强度通过导体的电导率σ联系起来。考虑到极化的作用，可以通过引入电介质的介电常数ε，修正了D和E之间的关系。类似地，如果考虑磁化的作用，通过引入磁性材料的磁导率μ，修正H和B之间的关系。表征媒质宏观电磁特性的三个适当的关系式称为本构关系：
一个给定的的材料可以同时具有全部的三个特性，但通常只有一个占主导地位。因此，将通过σ、ε和μ来考虑材料媒质的特性。媒质中的麦克斯韦旋度方程为
为了讨论电磁波在材料媒质中的传播，假定材料媒质中无限大电流平面，如图2.8所示。
无限大电流面位于z=0的面上，均匀分布着沿负x方向的电流，电流密度为
这种简单情况的电场和磁场可表示为
图2.8 材料媒质中无限大电流平面
对应的麦克斯韦旋度方程的简化形式为
利用向量法来求解这些方程。令
分别将式（2.33）和式（2.34）中的Ex和Hy用它们的向量形式
和
替换，∂/∂t用jω代替，可以得出对应相量形式
和
的微分方程，即
式（2.36）两边对z求导，并利用式（2.37），可以得到
定义
代入式（2.38），则有
式（2.40）是
在材料媒质中的波动方程，它的解为
式中，
和
是任意常数。注意：
是一个复数，可写为
和的指数形式分别为Aejφ和Bejφ，那么
或
分别考虑因子cos（ωt-βz+θ）和cos（ωt+βz+φ），现在可以确定式（2.43）右边两项分别代表了均匀平面波向正z方向和负z方向的传播，相位常数为β。然而，它们又分别乘以e-αz和eαz，因此场的振幅从一个等相面到另一个等相面是不同的。由于在z＜0的区域内，即在载流平面的左侧，不可能有正向前进波；在z＞0的区域内，即在载流平面的右侧，不可能有负向前进波，因此电场的解可写为
由于σ、ε和μ均为正值，jωμ（σ+jωε）的相角在90°～180°之间，因此γ的相角在45°～90°之间，使得α和β均为正值，这意味随着z值的增大，即沿正z方向，e-αz减小；随着z值的减小，即沿负z方向，eαz减小。这样，与式（2.44）中的Ex解有关的指数e-αz和eαz有减小场的振幅的效应。也就是说，波在离开载流面向两侧传播时，振幅在衰减。基于这个原因，α称为衰减常数。每单位长度的衰减量等于eα。如果采用分贝单位，则等于20lgeα或8.686αdB。α的单位是奈培每米，简写为Np/m。
称为传播常数，它的实部α和虚部β是波的衰减和相移，共同决定了波的传播特性。
重新回到γ的表达式（2.39），通过对等式两边平方，并且令两边的实部和虚部分别相等，可以得到α和β的表达式。因此
现将式（2.45a）和式（2.45b）两边平方并相加，然后取平方根，可以得出
从式（2.45a）和式（2.46）中可得
由于α和β都是正数，最终得到
从式（2.47）和式（2.48）中看出，α和β都通过σ/ωε与σ有关，σ/ωε称为损耗角正切，是材料媒质中传导电流密度
的幅度与位移电流密度
的幅值的比值。实际上，损耗角正切并不是简单地与ω成反比，因为σ和ε通常都是频率的函数。
沿波传播方向的相速为
相速与波的频率有关。波的频率不同，则传播的相速也不同。也就是说，在任何确定的时间，相位随z的变化经历不同的速率。材料媒质的这种特性引起的现象为色散。媒质中波长为
有了波的电场的解，并且讨论它的一般性，将
代入式（2.36）中，推导对应磁场的解，即
式中
它是媒质的本征阻抗。写为
可以得到Hy（z，t）的解：
式（2.54）右侧的第一项和第二项分别对应（+）和（-）波，因此代表了在z＞0区域和z＜0区域内磁场的解，回顾电流面附近的Hy的解为
可以得到
因此，位于xy平面内的无限大电流面密度为
电流面两侧的材料媒质由σ、ε和μ确定，那么电流面两侧的电磁场为
从式（2.57）中可以看出，电磁波在材料媒质中传播时，E和H之间除了衰减之外，它们的相位也会不同。